ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2007, том 70, № 9, с. 1614-1617
= ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ D-ИНСТАНТОН НА ФОНЕ ЛИНЕЙНОГО ДИЛАТОНА
© 2007 г. Д. В. Гальцов*, Д. Г. Орлов**, С. Е. Клевцов
Московский государственный университет, Россия Поступила в редакцию 13.04.2006 г.; после доработки 21.12.2006 г.
Показано, что теория суперструн типа IIB содержит помимо стандартного асимптотически плоского ß-инстантона также возбуждение инстантонного типа на фоне линейного дилатона. Решение является асимптотически плоским, но дилатон линейно растет на бесконечности. Полное действие при этом расходится, однако действие инстантона становится конечным после вычитания бесконечного вклада фона.
PACS:11.25.Pm, 11.27.+d, 04.65.+e
1. ВВЕДЕНИЕ
Инстантоны в струнной теории типа IIB, открытые в [1], играют важную роль в понимании непертурбативных аспектов теории. Они индуцируют новые эффективные вертексы в низкоэнергетическом действии, изменяют поведение струнных амплитуд при высоких энергиях и т.д. [2—7]. С точки зрения супергравитации эти решения формально относятся к классу р-бран при р = —1, их построение подробно рассматривалось в ряде работ [8—12]. Существует экстремальный инстантон, обладающий 1/2-суперсимметрией, а также его несуперсимметричные деформации. Все известные инстантонные решения являются асимптотически плоскими, причем дилатон стремится к нулю на бесконечности, так что евклидово действие конечно. Эти решения соответствуют амплитудам в теории струн на фоне пространства Минковского.
В настоящей работе строится классическое решение инстантонного типа в супергравитации IIB, которое также является асимптотически плоским, но в котором дилатон линейно растет на бесконечности. Оно может быть интерпретировано как инстантон на фоне решения, обычно называемого линейным дилатонным фоном. Это последнее является 1/2-суперсимметричным и используется для голографического описания теорий с 16 суперзарядами. На фоне линейного дилатона можно построить также р-браны, обладающие регулярным горизонтом событий [13—16]. Рассматриваемое здесь решение представляет собой случай p = = —1 этого класса. В квантовой теории оно должно соответствовать пертурбативной теории струн на
E-mail: galtsov@mail.phys.msu.ru
E-mail: orlov_d@mail.ru
классическом фоне линейного дилатона. В соответствии с такой интерпретацией мы перенормируем классическое действие, вычитая из полного евклидова действия бесконечный вклад линейного дилатонного фона. В результате этой процедуры действие для нового инстантона становится конечным.
Используется техника интегрирования полевых уравнений путем их сведения к системе уравнений Лиувилля [13—18]. Ранее [16] нами было построено общее решение соответствующей системы, содержащее максимально возможное число свободных параметров. Из этого семейства было выделено неэкстремальное инстантонное решение с плоской асимптотикой. Дальнейшее исследование полного интеграла системы показало, что существует второй класс решений, который и описывается ниже.
2. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ
Рассмотрим бозонный сектор евклидова действия супергравитации IIB, содержащий метрику, поле антисимметричной формы F[9] и дилатон ф. Полное действие включает объемный (I) и поверхностный (Ik ) члены:
5 = I + Ik, (1)
I = J d10x^g х (2)
Ik = -2 J Tr[K]dZ, (3)
где R — скаляр Риччи, интеграл в Ik берется по границе многообразия, [K] = K — K0 — разность внешних кривизн границы для рассматриваемого
1614
ß-ИНСТАНТОН НА ФОНЕ ЛИНЕЙНОГО ДИЛАТОНА
1615
пространства и выбранного фонового пространства. Внешняя кривизна задается выражением
Käß = -hivy Uß, (4)
где ha,ß = ga,ß — uauß — индуцированная на границе метрика, ua — вектор нормали к поверхности границы.
Уравнения движения можно записать в виде
RßV — 2 дрфд„ ф —
е-2ф 2 • 8!
F F V2...V9
F ßV2...Vg F V
9 F[9] gßV
dß {ßer^F^2= 0,
jgö, (^ф) + ±e-22>F[9] = 0.
(5)
(6) (7)
Метрику удобно параметризовать двумя функциями А(г), С (г) радиальной переменной:
ds2 = е2Айг2 + е2С dQ|, (8)
сохранив свободу выбора калибровки для дальнейшего. Для поля формы магнитного типа, удовлетворяющего уравнению (6) и тождеству Бианки, имеем
*[9]= &У01(Пд), (9)
где Ь — параметр, уо1(П9) — форма объема сферы.
Общее решение системы (5)—(7) было получено в работе [16] в произвольной калибровке в терминах переменной т, связанной с исходной радиальной переменной соотношением
^ 8 (10)
dr F
где калибровочную функцию F:
ln F = —A + 9C,
(11
можно выбрать произвольно. Для нашего случая будем иметь
q
A = — H — ln F,
16 '
C = — H, 16 '
где
ф = — ln у 2
16а2
1
b2 sh2 (а(т — то)/2)_
а2 =
Для выявления сингулярностей решения рассмотрим скаляр Риччи
/9\ 1/4
R = 18в2Г-2е-2АЛ 8Ъ9/4[0т/2]. (17)
Можно выделить четыре специальные точки в области изменения т £ (-то, то): т = ±то, т = 0,т = = т0. В точке т = 0 скалярная кривизна обращается в нуль, причем эта точка находится на бесконечном расстоянии по афинному параметру от любой другой точки многообразия. В точке т = = т0 расходится экспонента от поля дилатона. На границах т = ±то> скаляр кривизны расходится, кроме случая экстремального решения
а = в = 0. (18)
3. АСИМПТОТИЧЕСКИ ПЛОСКИЕ РЕШЕНИЯ
Переход от т к радиальной координате обусловлен интерпретацией особых точек. Асимптотически плоское решение отвечает интерпретации точки т = 0 как пространственной бесконечности г = = +то, точки т = +то — как положения центральной сингулярности, при этом величине т = —то сопоставляется конечная точка г = г+. Положение точки г0 (образ т = т0) выберем так, чтобы особенность экспоненты от поля дилатона была расположена левее г+: г0 < г+. Соответствующее преобразование координат имеет вид
т = 11п ¡+, (19)
что отвечает выбору калибровочной функции
Г = ги+, (20)
где
£ = г8, в = г+, и = 1 — в/£.
В результате преобразования координат (19) решение (12)—(15) принимает вид:
(12) (13)
е-2ф =
е2А = f-
96ß2
b2 е-
2C 2 л/8
е = r f- ,
1 f3/4 — ¿3ßT0 /4 f-3/4
(21)
2
H = 2 ln (ß/2) — ln(sh2[ßT/2]) , (14) и поле дилатона
(15)
(22)
Подставляя Г и А в выражение (17) для скаляра кривизны, будем иметь
18?/+-9/8- (23)
R
Решение содержит три свободных параметра т0, а, в, два из которых удовлетворяют уравнению связи
9в2. (16)
4
Экстремальное решение (БПС-инстантон) [1] отвечает предельному случаю а = в = 0, при этом метрика в эйнштейновской системе отсчета становится плоской:
(24)
е2А = 1,
2C
e2E = 1,
х
х
1616
ГАЛЬЦОВ и др.
—2ф =
64
(Ьто)2
--1 и
1 +
к-1
2
ds2 _ Z+/S [f-1dr2 + тЧП] ,
но дилатонная экспонента
е
-2ф _
144ß2 г. э/4_ -э/^ -2 Ь2 Г + f+
будет линейно расти на пространственной бесконечности:
-2ф
r
16
е ^ — ( — I для r Jo,
, b ,1/8 где ro ' b 1
то,
Величина в является параметром инстантона; полагая его равным нулю, получим фоновое решение, для которого дилатон имеет прежний вид:
е-2ф _
16
Таким образом, полное решение этого типа можно интерпретировать как ^-инстантон на фоне линейного дилатона.
5. ДЕЙСТВИЕ
Для получения нетривиального вклада от ин-стантонных решений при расчетах эффектов тун-нелирования в квантовой теории поля необходимо, чтобы действие инстантона было конечным. Объемную часть действия (1) для полученных решений после интегрирования по угловым координатам,
дающего фактор V9 _ 2п5/2/Г(5), получим в виде
i _ V9
8
У R + 32е-2А(дтф)2 +
+ Г9! е-2Ф^и) ^^
где
R = 18ß2 е-2А, F29] = 9!b2 е-2А
Неэкстремальное решение ранее обсуждалось в [13,16].
4. ^-ИНСТАНТОН НА ФОНЕ ЛИНЕИНОГО ДИЛАТОНА
В вышеприведенном решении параметр т0 предполагался положительным и не равным нулю. Если же т0 = 0 (причем рассматривается предел со стороны отрицательных значений), то бесконечно удаленной точке г = то соответствует т = т0 = 0. Это можно представить как предельный переход к случаю т0 = —0 в решении (21), (22). Заметим, что метрика решения от параметра т0 не зависит:
Jg = е2А+1п F, A = A + ln F.
Используя уравнения движения, будем иметь
I
b2 V9 k-1
-^dl
Подставляя ( 15), перепишем действие в виде
I
9ßV9 2
dr
sh2(3ß(т - то)/4)
(31)
(25)
(26)
= - 6ßV cth(f(т - то)4 ' 2
Как для обычного инстантона, так и для нового решения на фоне линейного дилатона пределами интегрирования являются величины т1 = -то и т2 = -0, что соответствует r G (r+, то). При этом для асимптотически плоского решения особая точка т = т0 > 0 не лежит в области интегрирования и результат будет конечным:
I = 6ßV9 ( cth ( Мто) - 1
(32)
(27)
Для решения на фоне линейного дилатона интеграл расходится на верхнем пределе:
I = -6ßV9 lim
У 9 Т2^-0
cth
3ß
т
т2 +1
(33)
(28)
Нетрудно видеть, что расходимость связана с поведением дилатона для фонового решения. Собственный вклад инстантона получим, вычитая действие для фонового решения, которое отвечает ß = 0.
Метрическая функция е2С(г') задает радиус сферы для случая метрики решения (25) при ß = 0. Для фонового решения ß = 0 такой функцией будет
еЖ(г) = е2С(г) '^_0r_r, причем радиальные переменные могут различаться. Они должны быть связаны условием
е2С(г) = е2С(г)
(34)
(29)
обеспечивающим геометрическое совпадение граничных поверхностей для полного и фонового многообразий. Нетрудно видеть, что область г € € (г+, то) соответствует области Г € (0, оо), или в терминах координат Г — величине Г € (—то, —0), где Г = —1/Г8 (см. преобразование координат (19) для в = 0). Объемный вклад в действие фонового решения в заданных пределах будет иметь вид
Ib = - 8V9 lim —
Т2^-0 т2
е
Д-ИНСТАНТОН НА ФОНЕ ЛИНЕИНОГО ДИЛАТОНА
1617
Разность (33) и (35) дает конечную величину: Iren = I - IB = -6/3V9.
(36)
Теперь рассмотрим поверхностный член (3). Для общего решения след внешней кривизны будет равен:
ТгК = —8Ае-А, (37)
а элемент поверхности с учетом калибровочного соотношения (11) —
dS = еЛ(1У*9. (38)
Разность между интегралами по бесконечно удаленной поверхности и по поверхности г = г+ для обоих классов решений равна:
1к = 9вV9. (39)
В результате полное действие ^-инстантона для асимптотически плоского решения запишется в виде
SAF = 3в
2(^(3^0) - !)+3
V9, (40)
что совпадает с результатом, полученным в работе [13] для деся
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.