ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 4, 2014
УДК 621.822.174
© 2014 г. Винокуров В.Н., Емельянов А.В.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОРИСТОГО ГАЗОСТАТИЧЕСКОГО
ПОДПЯТНИКА
Калужский филиал МГТУим. Н.Э. Баумана, г. Калуга
Рассматривается плоский подпятник с подводом сжатого газа через кольцевой дроссель, выполненный из анизотропного пористого материала. Дифференциальное уравнение для давления в смазочном слое, примыкающем к пористой стенке, решается численно методом Рунге—Кутта с учетом двух краевых условий, одно из которых, являющееся интегральным, до последнего времени оставалось вне поля зрения при анализе пористых опор. Изложен алгоритм вычисления подъемной силы и жесткости опоры, а также массового расхода газа через нее. Решена задача оптимизации опоры и сделаны выводы о влиянии на ее работу различных факторов.
Опоры скольжения, работающие за счет подвода сжатого газа, полностью снимают проблему износа рабочих поверхностей, поскольку в периоды пуска и выбега несущие свойства смазочного газового слоя сохраняются. Однако сжатый газ на входе в рабочий зазор у всех газостатических подшипников должен дросселироваться отверстиями малого диаметра, микрощелями или пористыми вставками.
Наибольшее практическое применение до сих пор находят опоры с дискретным наддувом, но давно известно [1, 2], что в несущем слое происходит резкое снижение давления вокруг отверстий наддува, вследствие чего преобладающая площадь несущего слоя оказывается под недостаточным избыточным давлением. Этот недостаток, влекущий за собой снижение несущей способности и жесткости опоры, частично компенсируется повышением давления наддува и применением карманов, окружающих дросселирующие отверстия на входе в рабочий зазор. Карманы являются основной причиной возникновения пневматической неустойчивости.
Пористые дроссели не только полностью устраняют опасность нарушения устойчивого режима работы, но и радикально улучшают ее силовые характеристики. Есть две причины сравнительно редкого использования пористых газостатических подшипников на всей территории бывшего Советского Союза. Первая причина заключается в отсутствии надежных алгоритмов расчета и оптимизации пористых опор; вторая — в неосвоенности промышленностью выпуска пористых материалов с нужными свойствами, например, пористой нержавеющей стали.
Весьма ценный опыт по созданию суперпрецизионных металлорежущих станков специального назначения с газостатическими опорами из пористого углеграфита был в бывшем СКТБ Института сверхтвердых материалов Украины. Пористый углеграфит выпускался в СССР для других нужд и не всегда по своим характеристикам годился для высокоточных газовых опор. Станки, созданные Украиной, позволяли вытачивать из латуни и алюминия параболические зеркала для оптических приборов. Рабочая поверхность этих зеркал была безукоризненной по геометрии и отражающим свойствам.
я
^12 ¿'И
уАш//к/л
-Ро
Ло(1 + С)
Рис. 1
Рис. 2
Целью настоящей работы является развитие теории пористых опор на примере газостатического подпятника с одной открытой границей и с кольцевым пористым дросселем, состоящим из капилляров, ориентированных вдоль оси вращения подпятника (рис. 1). Эта конструкция наиболее экономична с точки зрения расхода сжатого газа.
Газ под давлением рн подводится к тыльному торцу пористого дросселя. Из дросселя газ попадает в щелевой канал между параллельными рабочими поверхностями, откуда вытекает в окружающую среду при давлении р0 на внешней границе (г = Я, где г — радиальная координата). Смазочный слой толщиной П0(1 + где к0 — номинальное значение зазора, а ^ — безразмерная осевая координата, меняется от —1 до +1, когда рабочий зазор меняется от нуля до 2к0, состоит из трех областей. Кольцевой слой газа, примыкающий к открытой границе, имеющий протяженность гх < г < Я, ограничен непроницаемыми стенками. Соседний с ним кольцевой слой протяженностью г2 < г < г1 подпитывается сжатым газом через пористую стенку. Третий слой занимает центральную область зазора (0 < г < г2) и находится под давлением р12 (давление вдоль границы г = г2), не зависящем от радиальной координаты.
В монографиях [1, 2] рассматриваются не кольцевые, а сплошные пористые дроссели, занимающие всю центральную область от г = 0 до г = г:. Однако в реальных условиях чаще всего приходится ориентироваться на пористый материал с жестко заданными характеристиками, поэтому приемлемая жесткость опоры достигается путем правильного подбора толщины I дросселя. При использовании же кольцевого дросселя можно добиваться наилучших характеристик, варьируя два параметра (I и г2), что значительно удобнее. Заметим, что достижение необходимой жесткости за счет сужения или расширения границы г = г: малоэффективно, поскольку в первом случае ухудшаются силовые характеристики опоры, а во втором — растут утечки сжатого газа.
Пусть р1 = р1(г) — давление в слое газа в области пористого дросселя. Поскольку задача о течении газа осесимметрична, то на первый план выступает уравнение Рей-нольдса [4] для течения газа в направлении радиальной координаты
д V.
I--
1 2 д г
ср йг
(1)
где - — динамический коэффициент вязкости; г — координата, отсчитываемая по толщине слоя; V — радиальная скорость.
Поскольку давление по толщине смазочного слоя во всех задачах теории смазки считается постоянным, то после интегрирования уравнения (1) по переменной г получаем
-2 йР\
+ Схг + С2 -
2 - йг
(2)
г
п
I
V
г
3 ПМ и НМ, № 4
65
Граничные условия для вычисления констант C1 и ^ выглядят так
чг = 0 при г = 0; чг = 0 при г = к. (3)
Здесь необходимо объяснить, почему радиальная скорость газа на пористой стенке равна нулю. Из этой стенки газ вытекает, имея только ортогональную к стенке скорость. В смазочном слое эта скорость поворачивается на 90° в сторону радиальной координаты. Столь резкое изменение направления скорости частиц газа, казалось бы, должно сопровождаться значительными силами инерции, препятствующими реализации этого изменения. Однако течением газа в щелевых проточных каналах и в капиллярах управляют главным образом силы вязкости и силы давления.
Сама пористая стенка представляет собой плоскую поверхность, пронизанную выходными отверстиями капилляров, изолированных друг от друга. В самом пористом теле нет течения газа в радиальном направлении, нет его и на его плоской поверхности vr = 0.
Рассматривая выражение (2) совместно с граничными условиями (3), найдем
= г ( к - г) г 2 ц йг .
Вычислим массовый расход газа Qr через грань размером Му х h0(1 + считая течение газа изотермическим
ко( 1 + О 3 2
г кк0( 1 + О йр,
а = кр.гйу | vrdr =--гйу й1, (4)
0
где k — отношение плотности газа к давлению при температуре смазочного слоя.
На рис. 2 расход газа через грань, отстоящую от контрольной грани с расходом (4) на расстоянии dr, определяется выражением
( Qr )г + ^ = ( Qr)r + dr
dQ
dr
Отсюда за промежуток времени dt из контрольного объема за счет разности между вытекающими и втекающими массами через грани r + dr = const и r = const вытечет масса газа, равная
3/1 -1 2 ,2
dtdrdQ- kh0( 1+Z)
dr 24 ц
1 dPi + dJh\ rd^drdt. (5)
r dr dr2
За это же время через пористую грань контрольного объема в него втечет масса газа [3]
йй, = н -р1 )гйгйуй(, (6)
2
где ст — коэффициент проницаемости дросселя [3] в осевом направлении.
При установившемся режиме масса газа в контрольном объеме не меняется, поэтому массы газа, втекающие (6) в контрольный объем и вытекающие (5) из него должны быть равны. Отсюда получаем уравнение
,2 2 ,2
йР1 1 йР1 12ст I 2 2.
"Г = "" ~А---3-3 (Рн " Р1) . (7)
йг1 гйг ш0( 1 + о3
Пусть р = r/R — безразмерная радиальная координата, Рн = рн/ра — безразмерное давление наддува, U1 = p2 /p2a — квадрат безразмерного давления в слое газовой смазки, прилежащем к пористой поверхности. Тогда уравнение (7) преобразуется к виду
2
d U
1 dU К - U
'
d р2 rdP 9( 1 + Z)3
где 9 — безразмерный параметр пористого подпятника
, 3
9 =
lhn
12а R
(8)
(9)
Дифференциальное уравнение (8) представляет одну из разновидностей уравнения Бесселя [1], однако найдя по таблицам функцию ^(р), необходимо находить подъемную силу смазочного слоя графическим интегрированием [2], что снижает точность расчетов. Отсюда уравнение (8) лучше интегрировать численно методом Рунге—Кутта. В любом случае наиболее ответственным шагом оказывается установление краевых условий, которые для пористого подпятника до сих пор не рассмотрены с достаточным обоснованием и физической ясностью.
Пусть и11 — квадрат безразмерного давления вдоль границы р = р1 = г1/Я, разделяющей два кольцевых смазочных слоя. Тогда полный радиальный массовый расход газа через эту границу определяется выражением [5]
Qr (р = Pi) =
п kp2ah3 ( 1 + z) 3 Uli - P0
12 ц ln ( 1 / р i )"
(10)
Этот расход найден с внешней стороны границы р = р1, т.е. на основе течения газа во внешней кольцевой области (р1 < р < 1). Расход с другой стороны границы можно
2 2
найти, умножив выражение (4) на 2л/^ф и придав производной йрх/йг = (ра/К)( йих/йр) ее значение на границе р = р1
2 3 3
П kp2ah 0 ( 1 + z ) 3 p(dUl] Qr(р = P1) =--^-4 dPT^ P1 •
(11)
Приравняв расходы (10) и (11), найдем первое краевое условие для уравнения (8)
и
dp ' P1
_ U1 1 - P2 _ P1ln (1/P1)'
(12)
Заметив, что радиальный расход (10) есть полный массовый расход газа через опору, найдем этот же расход через пористый дроссель на основе выражения (6)
Qz =
2 п d qdt
\dQz (r) =
22 П kCzpa R
рн(р2 - p2) -1 U1(p)p dp
12 2
P2
(13)
Приравняв выражения (13) и (10) по требованию неразрывности течения газа, получим второе условие
P1
[U1(p)pdp + (Un - p2) - 2 Рн (pi - P2) = о.
ln (1/P1) 2
(14)
P2
r
r
3* 67
В этом месте может возникнуть сомнение в том, что условие (14) содержит в себе информацию, отличную от условия непрерывного втекания газа из дросселя в рабочий зазор, использованного при выводе уравнения (8). Однако на самом деле условие (14) является более сильным, поскольку баланс элементарных расходов через грани контрольного объема (рис. 2) будет соблюден и в том случае, когда вдоль границы r = r2 в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.