№ 1
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2013
УДК 539.3
© 2013 г. КАРТАШОВ Э.М.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПЕРЕНОСА
Развит метод функций Грина для уравнений гиперболического типа. Получена интегральная форма записи аналитических решений соответствующих краевых задач, в частном случае дающая точное решение волновых уравнений. Описан новый эффект влияния термоизолированной движущейся границы на термонапряженное состояние области при тепловом ударе. Изучена динамическая реакция нецилиндрической области на тепловой удар.
В статье рассмотрен аналитический метод для уравнений гиперболического типа при решении краевых задач сравнительно нового класса, имеющих многочисленные приложения в различных областях науки и техники, в частности в ядерной энергетике, электроэнергетике, атомной физике, электронике и др. [1, 2].
Пусть В — конечная или частично ограниченная выпуклая область изменения М(хь
х2, х3); — кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая область В; п — непрерывно меняющийся вектор внешней нормали к S; О = {М е В, ? > 0} — цилиндрическая область в фазовом пространстве (х1, х2, х3) с основанием В при ? = 0; Щ(М, ?), Т(М, ?) — функции, подлежащие нахождению из условий:
а> ЩМ, г) + 2а2у ^ и(М г ) - = адЩД, {М,г) 6 П; (1)
^ дх1дг д{2 дг2
I = 1
ЩМ, 01, = 0 = Фо(М), М 6 Б; (2)
= Ф1 (М), М 6 Б; (3)
д и( М, г) 5 г
г = 0
и(М, г) = М, г), М6 Б, г> о, (4)
где функция Т(М, ^ есть решение задачи
5 т(М г) = аат(М, г) + 0(М, г), (М, г) 6 П, (5)
д г
Т(М, г)| г = о = Fо(М), М 6 Б; (6)
p djXMj) + р2tm f) = рзф(м, t), M e t> o. (7)
on
При этом необходимо должны быть выполнены условия гладкости:
Ф0(М е С°(5); Ф^М е C°(5); ^0(М е C:(5); ©(М, t) е C°(Q); у(М, t) и ф(М, t) ку-
2 2
сочно-непрерывны на S ■ t > 0; + р2 > 0; a, a, Pi — const (i = 1, 2, 3).
Выполнение начальных условий (2), (3), (6) для VM е 5 и граничных (4), (7) для Vt > 0 предполагает наличие условий согласованности
, M е S;
t = o
Ф0(М) = ¥(М, 0), М е 5; Ф1(М) = 1 Т( М,1)
(И
вд_£д(М) + р2^о(М) = Рзф(М, 0), М е дп
При этом искомые решения Щ(М, ?) и Т(М, ?) достаточно гладки вплоть до границы Б: и(М, 1) е С2(О) п С°(О); Т(М, 1) е С2(О) п С°(О);
ёгадМТ(М, 1) е С°(О); О = (М е Б, 1 > 0).
В силу принципа суперпозиции, справедливого для линейных задач переноса (5)—(7), можно записать интегральное представление для Т(М, ?) в виде [3]:
,<5Т - ТдГ^ пр дпР р е 5
Б 05 (8)
T(M, t) = J>o(P)G(M, t, P, т) It = odVp + a {{[^Щ- - тЩ-) dxdaP +
+
0 5
JJ©(P, x)G(M, t, P, x)dxdVP,
если известна соответствующая функция Грина 0(М, t, Р, т) для данной области, как решение более простой задачи для однородного уравнения (5) с однородными граничными условиями того же вида, что и (7):
— = а\0(М, Р, т), Ме Б, 1 >т; (9)
¿я
0(М, Р,т) = т = 8( М, Р), (М, Р)е Б; (10)
(р1 дг + в2 Г = 0, 1 >т. (11)
Здесь 8(М, Р) — дельта-функция Дирака, Р = Р(х!, х2 , х3). Методы построения функций Грина, как решение задачи (9)—(11) для широкого класса областей В изложены в [2, 3]. В частности, можно показать, что в случае конечной области В функция 0(М, t, Р, т) = в(М, Р, t — т) в (9)—(11) имеет вид
ТО
0(М, р, 1 - т) = У ^ШЩШ ехр[-(ТаУп)2(1 - т)],
£ И^ п\\
где уп и ^п(М) — собственные значения и собственные функции соответствующей однородной задачи
2
А*¥(М) + у2*¥(М) = 0, М 6 Б;
= 0.
^тр+Р2*< М) ■
п
М е Б
Получим далее аналогичное интегральное представление аналитических решений для случая (1)—(4), и в качестве иллюстрации развитого подхода рассмотрим ряд проблем в нецилиндрической области х > I + Ы, t > 0, имеющих обширные практические приложения [2].
Используя [3], можно показать, что функция Грина 0(М, t, Р, т) для гиперболического уравнения (1) с условиями (2)—(4) по переменным (М, 0 является решением задачи
I = 1
д2О сЛО дхд дг2
а\АМО + 2а2 У ^-О- - -Т-О = 0, М 6 Б, г >т;
/—I р " * °
О(М, г, Р,т)|т = г = 0, (М, Р)6 Б;
= Ъ(М, Р), (М, Р)6 Б;
д О(М, г, Р, т )
дг
О(М, г,Р,т)\меБ = 0, г>т,
по переменным (Р, т) —
3 2 2
а2 АРО + 2 а2 V -дтО- - = 0, Р 6 Б, т< г;
I = 1
дх'дт дт2
О( М, г, Р,т) |т = г = 0, (Р, М) 6 Б;
= -8(Р, М), (Р, М) 6 Б,
д О(Мт г, Рт т) дт
О(М, г, Р,т)\ре Б = 0, т < г.
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18) (19)
Соотношения (12)—(19) имеют важное значение для дальнейших рассуждений. Рассмотрим равенство:
д_
дт
щР,т)дО(М,г,Р, т) - 0(м, ^ р,т)дШРЩ = Vц^О - ОдЦ =
V я-2 я-2/
т
т
32
( 3 2 2
= а1 (иАРО - ОАрЩ + 2а21 иУ /О - ОУ 5Ц
V дх,д т дх, д т,
у I = 1 I = 1 7
(20)
+ ОЖ,
где Ж(Р, т) = а3
д 2 Т(Р, т )
дт2
. Проинтегрируем (20) по Р(х1, х2 , х3) е В, используя спра-
ва формулу Грина для оператора Лапласа [2] и учитывая граничное условие для О (19): 96
3
т = г
т = г
Л - 1ГР = а21 и1г1°
Б 5
+ Щ(Р, т)Г(М, Р, т) 1УР.
р + 2а2 ( и У - Г У ^
Л ¿—¡дт.д т ¿—1дт.
Б
I = 1
I = 1
дх'д тJ
(УР +
Соотношение (21) справедливо при всех т < t и, следовательно, его можно проинтегрировать по т для 0 < р < ^ — е), где е > 0 — сколь угодно малое число (при 0 < т < ^ — е) подынтегральные функции в (21) достаточно регулярны, так как исключена особенность у функции О в точке Р = Мпри т = 0. Получим:
- е 2 2 ' -Е
Г (т г( и- Од-Ц) 1УР = а! Г (т Г и* д дт2 дт2J -1 -1 '
0Б
1 - е
до
дпР
йоР +
0 5
з
(22)
2
д2 и
+ 2а2 Г (т (1 иу - СУ^ J Д дх'д т дх'д т 0 Б4 ' =1 ' I = 1 ' '
Рассмотрим интегралы в (22):
1 - е
1УР +
| (т |Щ(Р, т)О(М, 1, Р, т)(УР.
0Б
= г (т |( и^ - ст (V, = |( т№ - от (Гг
J ^ дт2 дт2J ^ дт дтJ т = 1-е
0 Б Б
- ГГ идГ - оди ИУР;
1 ( дт д-т = 0 Р;
Б
Иш/1 = - Си(Р, Г)д(Р, М)(УР - [Гид— - от (УР =
е —0 J Л дт дтJт = 0
Б Б
= - и(М, 1) -1(идт - оЩ) (УР,
(23)
J- = 2 а-
1 л Лиу
2о
-0 У
0 Б 4 ' = 1 ' = 1
х . т
д 2 и
х . т
(УР.
(24)
Интегрируя (24) по частям (по т), используя при этом формулу Остроградского—Гаусса [4] и граничные условия (19) при е ^ 0 находим
Нш J- = -а2 I и
ХдО о^Г ди
х . х .
з
и)
е —> 0
Б I = 1
х .
х .
I = 1 '' т = 0
(УР
(25)
Соотношения (23)—(25), оставшиеся в (22) интегралы, при е ^ 0 дают следующее (искомое) интегральное представление аналитических решений краевых задач для уравнения (1) через функцию Грина О(М, t, Р, т):
4 Энергетика, № 1
97
Б
Б
г - е
т = 0
U(M, t) = U(P,T) fT - dVp +
i"
+ a
3 3
U( P>T) Z fx, -G Z
i = 1
д U(P, т ) dxi
dVP -
т = 0
-a
daP - a -.
P e S
2
d РдЩрG(M, t, P, т)dVp J J дт2
В качестве приложения развитой теории рассмотрим некоторые практические задачи теории теплового удара в области с движущейся границей [5]. Эти случаи принципиально отличны от классических задач термомеханики [2]. Вследствие зависимости границы области от времени к этому типу задач в общем случае неприменимы классические методы математической физики, так как оставаясь в рамках этих методов не удается согласовать решение основных уравнений задачи с движением границы термонапряженного состояния. Естественный выход из этой ситуации — развитие модифицированных аналитических методов, основанных на классических подходах.
Пусть Qt = (z > l + ut, t > 0; l, и — const) — нецилиндрическая область; T(z, t) — температура в Qt, a(z, t) = CTzz(z, t) — температурные напряжения в Qt функции a(z, t) и T(z, t) удовлетворяют условиям задачи:
aV-^ = uuv)aiptr^ z;
dz
22 uP dt
(1 - V)
t2
°(z, t)L = о = 0,
t
= 0, z > l;
t = 0
°(z, t)lz = i + ut = 0, a(z, t)|z = „ = 0, t> 0;
— = a — , z > I + ut, t > 0;
t z 2
T(z, t)It = 0 = T0, z > l;
Pi+ P2T(z, t)
z
= p3t), t > 0;
z = l + ut
I T(z, t)\< + да, z > l + ut, t > 0.
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
Предполагая, что в (32) могут быть реализованы режимы нагрева: = 0, в2 = в3 = 1 — температурный нагрев; = 1, в2 = 0, в3 = —1 — тепловой нагрев; = 1, в2 = в3 = —к — нагрев средой (к — относительный коэффициент теплообмена). В (27)—(33) все параметры
постоянные величины: иР = л/(ХТ~2р/)7Р — скорость звука в материале; (к, ц) — изотермические коэффициенты Ламе; р — плотность; V — коэффициент Пуассона; ат — коэффициент линейного теплового расширения. В безразмерных переменных [2] (как это принято в приложениях)
0
s
г' = z/l; Р0 = at/l ; Ре = ul/а; 50 = аТ(ЗА, + 2ц); а0 = ор1/а; Т(г, ^0) = [Т(г, г) - Т0]/Т0; а,¿(г', Р) = о(г, г)/(ад)
и в подвижной системе координат ^ = г' = (1 + РеГ0) при ^0) = о^г', ^0), ^0) = = Т(г', /"„) задача (27)—(29) сводится к случаю (1)—(4):
Л2 Л2 Л2 (а0 - Ре2 )д"°О + 2 Ре - = ^ Л), 0, Р > 0;
д^2 д^д^0 др
О(£, ^0) ^ = 0 = (да/др )р = 0 = 0, 0; о(£, ^0)= 0 = ^0)= „ = 0, ^0 > 0.
Здесь а0 — Ре2 > 0, (а0 > Ре [2]);
Р(£, Р)
) = М + РеА - 2 Ре—
дР0 (д р0 J д ^
— + (Ре2/2 )А
.дР0
(34)
(35)
(36)
(37)
Функция ^0), как решение преобразованной задачи (30)—(33) в системе координат ^0), в пространстве изображений по Лапласу .. ехр(—р¥0)ё¥0 имеет вид:
А(£, Р) = ехр [-(Ре/2 + л/р + Ре2/4)£], 0( Р)
(38)
где
0(Р) =
1 — температурный нагрев;
Ре/2 + Vр + Ре2/4 — тепловой нагрев;
В1 + Ре/2 + Ур + Р е2 / 4
(39)
В1
— нагрев средой,
В1 = Ы, ф (Р) — изображение граничной функции ф(^0).
Интегральное соотношение (26) для случая (34)—(36) имеет вид:
ст(£, Р) = - ', т)о(£, Р0, т)(т^'.
00
Функция Грина О(^, т) является решением задачи:
(а0 - Ре2) ^ + 2 Ре -д°- - д-0 = 0, 0, Р0 >т;
(40)
д^2 д^др0 др0
о|р0=т = 0, 0,
до
др0
= 5(2, - О, 0;
(41)
(42)
Р = т
0
0 То
Щ% = 0 = Щ^ = „ = 0, ^ >т.
(43)
Отсюда следует, что Г0, т) = Г0 — т, и в пространстве изображений по Лапласу соотношение (40) с учетом (37) запишется в виде:
КЪ, р) = -£р(р + Ре2)А(Ъ\ р) - 2Ре(р + Ре2/2)ШеЗ.
-Ъ
в(&, ') '. (44)
Функция Грана Р0 — т, как решение задачи (41)—(43) в пространстве изображений по Лапласу (по = Г0 — т) имеет вид:
р,Ъ') =
1
2а0р
{ ехр[к2(Ъ - Ъ')] - ехр(к£, - к1Ъ)}, 0 < Ъ' < Ъ;
(45)
р,Ъ') =
2а0р
{ ехр [-к, (Ъ' - Ъ)] - ехр (к2 Ъ - кЪ')}, 0 <Ъ<Ъ',
к1 = р/(а{] + Ре); к2 = -р/(а{] - Ре).
(46)
Интегральное соотношение (44) и выражения (37), (45)—(46) дают следующее базовое операционное решение задачи (27)—(33) (в системе координат Р0)):
(Ъ,р) = ехр[-(Ре/2 + 7р + Ре2/4)Ъ] - ехр
22 а0 - Ре
Ъ
ь (а0 - Ре)
1, (47)
]
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.