ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2004, том 67, № 5, с. 1059-1073
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО МОДУЛЯРНОМУ ПРОСТРАНСТВУ В ТЕОРИИ СУПЕРСТРУН
© 2004 г. Г. С. Данилов
Петербургский институт ядерной физики РАН, Гатчина
Поступила в редакцию 15.10.2003 г.
Рассмотрено вычисление многопетлевых суперструнных амплитуд, обсуждается эквивалентность популярных подходов к определению указанных амплитуд. Проясняется вычисление плохо определенных интегралов по сингулярным конфигурациям. Корректно полученные амплитуды не имеют расходимостей в любом порядке теории возмущений.
1. ВВЕДЕНИЕ
При вычислении [1 — 11] многопетлевых амплитуд суперструны Рамона—Невэ—Шварца важную роль играет нерасщепленность суперсимметричных преобразований, т.е. подмешивание ферми-онных состояний к бозонным. Амплитуда вычисляется при заданных пробных полях диады ет и двумерного гравитино фт. Здесь т есть векторный индекс на мировом листе струны, а — векторный индекс в касательном пространстве. Благодаря локальным симметриям, в том числе суперсимметрии, амплитуда не зависит от ет, фт .Два основных подхода к вычислению амплитуд используют разные описания мирового листа струны.
В суперковариантной схеме [7—11], c явной суперсимметрией на мировом листе струны, ет и фт оба имеют конформно-плоский вид, т.е. ет = ебт, и фт = 1т1. Здесь ^т — двумерная матрица Дирака, а 1 — двумерный спинор. Спиновые структуры определены посредством супергрупп типа Шотки на комплексном (1|1) супермногообразии [12]. Вообще говоря, преобразование указанной супергруппы зависит от трех бозонных и двух грассмановых (нечетных) комплексных параметров. При ненулевых нечетных параметрах это преобразование смешивает бозоны и ферми-оны. Такие суперконформные расширения обычных спиновых структур [13] не все пригодны для теории суперструн [14]. Подходящие супергруппы для всех спиновых структур, в том числе для рамоновского сектора, построены в [11, 15—17]. Меры интегрирования были получены решением соотношений [10, 11], выведенных из требования, что амплитуда не зависит от выбора пробных диады и поля гравитино. Группа локальных симметрий (супер)струны достаточно широка для того, чтобы каждая из мер интегрирования однозначно определялась указанными соотношениями с точностью
до не зависящего от модулей множителя. Множитель устанавливается из требования факторизации амплитуды, когда ручки удаляются друг от друга (это приводит к факторизации в полюсах, обусловленных одночастичными промежуточными состояниями). Вычисление не использует явные супердифференциалы Бельтрами. При этом локальные амплитуды с любым числом петель в рамках теории замкнутой и ориентированной струны были вычислены [11] в явном виде, удобном для исследования.
При описании [1—6] супермногообразия посредством задания римановой поверхности диада выбирается конформно-плоской, но группа Клейна расщеплена, т.е. при обходе нестягиваемых циклов фермионы не подмешиваются к бозонам. Грассма-новы модули несет поле двумерного гравитино, которое, следовательно, не может иметь конформно-плоскую форму всюду на римановой поверхности. В таком случае двумерная суперсимметрия не видна. Тем не менее амплитуда не должна зависеть от выбора поля двумерного гравитино фт. Обычно фт
выбирается как ф т — ффгп , где
I
А<+> = Ав, А(-)=А
2п-2
Е
8=1
7 тфт
0,
(1)
\ (т) ,
причем А8 суть грассмановы модули, а ф8т зависит от координат и, вообще говоря, от бозонных модулей. При простейшем выборе [2] супердифференциалов Бельтрами амплитуда получается зависящей от ф8т. При других предположениях 2-петлевая амплитуда была недавно рассмотрена в работах [6]. В [6] меры интегрирования инвариантны относительно тех суперсимметричных преобразований, для которых локальный параметр преобразования является суммой слагаемых, пропорциональных грассмановым модулям. Поскольку
указанные преобразования способны изменить фзт, меры интегрирования не зависят от фзт. Кроме того, меры интегрирования являются модулярными формами, а их СБО-проекция обращается в нуль. То же самое ожидается для 1, 2 и 3-точечных функций безмассовых состояний.
На самом деле амплитуда не должна зависеть
от поля гравитино общего вида фт = фФт0 + фт,
где фт не зависит от грассмановых модулей, но зависит от бозонных модулей и от посторонних грассмановых чисел (не модулей). Редукция фт ^
^ фт требует преобразования общей формы, которое содержит посторонние грассмановы величины. Поэтому независимость от фт не является достаточным критерием того, что амплитуда вычислена верно. В действительности локальные амплитуды определяются требованием, чтобы интеграл от локальной амплитуды по обычным и грассмановым модулям не зависел от локальных вариаций полей ет, фт. В суперсимметричной схеме это было продемонстрировано в [10, 11]. В настоящей работе мы предлагаем подобное вычисление, используя описание [1—6]. Мы увидим, что для различных выборов бозонных и фермионных модулей, а также для различных ет,фт локальные амплитуды связаны между собой якобианом соответствующего преобразования. Тем самым устанавливается соотношение между схемами [1—6] и [7—11], которое до сих пор оставалось непонятным. Мы получим необходимое условие для того, чтобы супердифференциалы Бельтрами были совместны с двумерной суперсимметрией. Это условие ограничивает их выбор в схемах, где суперсимметрия не является явной. Как в [2], так и в [6] супердифференциалы Бельтрами не удовлетворяют упомянутому ограничению. Для 2-и 3-петлевых амплитуд в качестве модулей можно взять элементы матрицы периодов на супермногообразии. Именно это сделано в работах [6]. Тогда амплитуда действительно представляется интегралом без поверхностных членов, причем локальная амплитуда имеет "хорошие" свойства [6]. Тем не менее полученное нами выражение для амплитуды сильно отличается от предложенного в [6]. Упомянутые свойства локальной амплитуды обусловлены тем, что при указанном выборе модулей группа модулярных преобразований на супермногообразии является расщепленной. Такой выбор модулей возможен только для поверхностей родов 2 и 3, где модули и матрица периодов находятся во взаимно однозначном соответствии.
На супермногообразии рода п > 3 модулярная группа не расщеплена ни при каком выборе модулей. Поэтому локальная амплитуда не ковари-антна относительно модулярных преобразований на римановой поверхности. В интеграле указанная модулярная симметрия восстанавливается за
счет поверхностных слагаемых, которые всегда присутствуют в этом случае. В схемах с неявной суперсимметрией на мировом листе струны поверхностные слагаемые компенсируют, кроме того, зависимость локальной амплитуды от поля двумерного гравитино. Вычисление интеграла требует осторожности из-за сингулярностей в подынтегральном выражении. Действительно, мы увидим, что данный интеграл по бозонным и грассмановым переменным может сходиться или расходиться в зависимости от выбора переменных интегрирования. В таком случае процедура интегрирования должна быть установлена из требования сохранить локальные симметрии амплитуды. В суперковари-антной схеме такая процедура была развита в [18]. При этом амплитуды получаются конечными и за-нуляются 1, 2 и 3-точечные амплитуды безмассовых состояний. Подобная процедура могла бы быть развита также в схемах с неявной суперсимметрией.
В действительности при вычислении амплитуды можно использовать различные выборы модулей, а также различные способы описания супермногообразий. За исключением гиперэллиптических поверхностей для явного вычисления амплитуды взаимодействия требуется выразить 1-дифференциалы и матрицу периодов через параметры группы Клейна, преобразования которой соответствуют обходам нестягиваемых циклов. В общем случае такие выражения могут быть получены через параметры групп Шотки, а не через параметры несвободных групп. Поэтому локальные амплитуды естественным образом получаются в переменных Шотки, но мы увидим, что их можно также выразить через тэта-подобные функции [2]. В [11] для локальных амплитуд с произвольным числом петель п > 1 в суперковариантной схеме даны явные выражения, удобные для исследования, что вряд ли достижимо в описании [2—6].
2. СУПЕРДИФФЕРЕНЦИАЛЫ БЕЛЬТРАМИ
В схемах типа [2—6] амплитуда Ап с числом петель п дается интегралом по бозонным и фермион-ным модулям от локальной амплитуды
ВьММм^мУЛФ})--
Вь,ь>(и'м,я'мУЛФ}) = [ №)((12Ам)УеХ рБф,
Ап= [(^д'м)^2ВьМи'м,ЯмУЛФ}),
(2)
'-'Черта сверху всюду означает комплексное сопряжение.
где сумма идет по спиновым структурам Ь и Ь' правых и левых полей, а ('.) есть произведение дифференциалов полей материи и полей духов, умноженное на фазовый объем. Кроме того, интегрирование производится по глобальным параметрам Лм, Лм, дуальным к соответствующим модулям. Далее, М = (т,а), причем т нумерует бозонные (т = 1,...,3п — 3), а а £{аг} — фер-мионные (г = 1,...,2п — 2) модули. Мы возьмем поле гравитино (1), так что фт задается своими компонентами ф±, и д'а. = Аг. В общем случае
Вць'Цд'муЯ'мЬ Ш) зависит от фт, хотя Ап ожидается не зависящей от указанного поля фт. Через V обозначено произведение вершин взаимодействия, проинтегрированное по супермногообразию. Супермногообразие параметризуется координатой г = (г|§), где § есть грассманов партнер локальной координаты г. Обходу вокруг нестягиваемого цикла в отвечает преобразование г ^ Г8(г) группы Клейна, где
г ^ ГДг): г ^ {дт}), (3)
д
дг
Так как мы допускаем различные выборы модулей, дт и д'т не предполагаются обязательно совпадающими с модулями Шотки. В общем случае д'т = = дт = дт({дП, Аг}), например при выборе [6], см. разд. 3. При этом д'т является функцией модулей Шотки и фермионных модулей Аг. Поля материи образуют скалярные супермультиплеты X^(г, г), где N = 0,..., 9. Духи образуют (3/2)-суперполе В(г, г) и (—1)-суперполе С (г, -£). Далее,2)
Б+ = [ й2г В (г, г)г{+ (г, г {д'М1,}) — (4)
— В(г,1)Т{-)(г,1; {д'ме})
Лме +
+ БМ(X)+Б+(В, С; В, С),
где Б(ф) (X) есть действие материи, Б^ф) (В, С; В, С) есть действие духов, а так называемые супердифференциалы Бельтрами Т^±1(г,1; {д'ме}) появляются из-за нулевых мод духов; М£ = М±, д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.