научная статья по теме ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ (МАТРИЧНЫХ) УРАВНЕНИЙ ЭРНСТА В ТЕОРИИ СТРУН Математика

Текст научной статьи на тему «ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ (МАТРИЧНЫХ) УРАВНЕНИЙ ЭРНСТА В ТЕОРИИ СТРУН»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ *-.• -и: : -Г ■■ <к,т-.' г.

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

ФИЗИКА -atwitw л< i .4,<M.ypjarrjiK)H .mfhî'- '>

Том 144,№2 . - » . JSHàiaeïl ,'AJj .N.li ./ .».i

август, 2005 • JMq«;i swj. л цгчП. «qo'^an € ъаб«Ш ,4!./» .<>^¿1/, Ф

•;. ;•'»•-».. я ;'rj кг.а ыш'/ижа! vuu'j*..-"ii «il M

(i r Kïjomjowa^j йЙ7Г.''Ки. -i,:,;, :<„ н«.п'.к -, • i к.^шо/н.доючмде „агшэвл^Ф .Г..М ¡а^ашвП Л.О

П-ПЯ îtiiKimatiqy. шш» О .нг • >«•£,. wrm*»*»a " >F mi,vil .A ./•.

©200&г. Г.А.Алексеев* *

ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ (МАТРИЧНЫХ) УРАВНЕНИЙ ЭРНСТА В ТЕОРИИ СТРУН "" %

Выявлены интегрируемые структуры матричных обобщений уравнения Эрнста для эрмитовых или комплексных симметричных (d х ¿)-матричных потенциалов Эрнста. >V; Эти уравнения возникают в теории струн как уравнения движения для укороченной бозонной части низкоэнергетического эффективного действия, соответственно, для ди-латона и (d х d)-матрицы модулей или для модели струнной гравитации со скалярным (дилатонным) полем, одним 1/(1)-калибровочным векторным полем и полем 3-формы, зависящими только от двух пространственно-временных координат. Сформулированы соответствующие спектральные задачи, основанные на переопределенных линейных (2d х 2й)-системах со спектральным параметром и универсальной (т.е. не зависящей от решений) структурой канонических жордановых форм их матричных коэффициентов. Требования существования для каждой из этих систем двух матричных интегралов с определенными симметриями обеспечивают специфическую (косетную) структуру соответствующих матричных переменных. Доказана эквивалентность этих спектральных задач исходным полевым уравнениям и намечен общий подход к построению многопараметрических семейств их решений.

Ключевые слова: уравнения Эрнста, струнная гравитация, интегрируемость, спектральные задачи, монодромия.

1. ВВЕДЕНИЕ

В общей теории относительности при изучении интегрируемых редукций уравнения Эйнштейна для полевых конфигураций, допускающих двумерные группы пространственно-временных симметрий, авторами использовались различные формы редуцированных динамических уравнений, которые оказывались наиболее удобными в тех или иных контекстах. Построение эквивалентных этим уравнениям спектральных задач, продолженных структур и представлений бесконечномерной алгебры внутренних симметрий открыло возможности использования различных идей и методов современной теории нелинейных интегрируемых систем, таких как методы обратной задачи теории рассеяния и теории солитонов, теоретико-групповой подход и теория преобразований Бэклун-да, алгебро-геометрические методы и построение конечнозонных решений и другие.

* Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, ул. Губкина 8, 119991, Москва, Россия. E-mail: G.A.Alekseev@mi.ras.ru

[ЧНЫХ)

н

ста для Эрнста, ченной для ди-ирным (юрмы, ирова-ииней-! зави-коэф-1ЧНЫХ

гную) .этих стро-

ктральные

равнения »странст-цирован-1ли иных ,продол-мметрий \ теории I рассея-Бэклун-^гие.

, Россия.

%

■1 1 -

ц ■■

Хотя интегрируемость уравнений Эйнштейна при наличии пространственно-временных симметрии была открыта сначала для гравитационных полей в вакууме, записанных в форме некоторой ст-модели [1], уравнения Эрнста (или обобщенные уравнения Эрнста) представляют собой очень компактную форму различных интегрируемых редукций уравнений Эйнштейна, весьма удобную для анализа их структуры и внутренних симметрий, а также для развития различных методов генерации решений. Редукция уравнений Эйнштейна для стационарных осесимметричных гравитационных полей в вакууме была получена Эрнстом как нелинейное уравнение для одного скалярного комплексного потенциала £ [2]. Аналогичная редукция электровакуумных уравнений Эйнштейна-Максвелла для стационарных осесимметричных гравитационных полей приводит к системе двух квазилинейных уравнений для двух скалярных комплексных потенциалов Эрнста £, Ф [3]. Эта система сводится к упомянутому выше вакуумному уравнению Эрнста, если электромагнитный потенциал Эрнста Ф обращается в нуль. Помимо этих эллиптических уравнений, аналогичные редукции вакуумных уравнений Эйнштейна и электровакуумных уравнений Эйнштейна-Максвелла для полей, зависящих от времени и одной из пространственных координат, приводят к так называемым гиперболическим уравнениям Эрнста. Дальнейшее обобщение этих интегрируемых редукций полевых уравнений в классической общей теории относительности было найдено для уравнений Эйнштейна-Максвелла-Вейля для гравитационного, электромагнитного и безмассового двухкомпонентного спинорного полей [4]. . .....

В последние годы в литературе много внимания уделялось различным эффективным низкоэнергетическим моделям теории струн и струнной гравитации, в которых динамика бозонных мод описывается некоторыми обобщенными уравнениями Эйнштейна для системы гравитационных и безмассовых скалярных, векторных и тензорных полей с весьма специфическим характером их взаимодействия. В простейших моделях возбуждаются только некоторые из бозонных мод, а полевые конфигурации обладают двумерными пространственно-временными симметриями, и в этом случае редуцированные динамически е уравнения соответствующей упрощенной полевой теории оказываются эквивалентными некоторым матричным обобщениям вакуумного уравнения Эрнста. В частности, для редуцированных динамических уравнений струнной модели со скалярным полем (дилатоном), (с1 х ¿)-матрицей модулей и при отсутствии калибровочных полей обобщенный потенциал Эрнста является эрмитовой (с1 х й)-матрицей [5]. В модели гравитации с одним скалярным полем (дилатоном), одним 1/(1)-калибровочным векторным полем и полем 3-формы, выражающейся через псевдоскалярное поле акси-она1), эти поля описываются обобщенными (матричными) уравнениями Эрнста с комплексным симметричным (2x2) -матричным потенциалом Эрнста [6], [7]. Сходство этих матричных уравнений с вакуумным уравнением Эрнста, являющимся, как известно, ин-

^Эта модель известна так же, как теория Эйнштейна-Максвелла с аксионом и дилатоном, или просто ЕМДА-модель. Однако здесь представляется полезным упомянуть, что это название и его аббревиатура столь же удобны, сколько и не точны, поскольку, как легко заметить, полевые уравнения этой модели при отсутствии аксионного и дилатонного полей сводятся не к стандартным уравнениям Эйнштейна-Максвелла общей теории относительности, а к этим уравнениям с существенными дополнительными связями.

А

/

216

в

г. а. алексеев

тегрируемым, и наличие богатого набора внутренних симметрии, найденных для этих обобщенных уравнений, стали естественной основой уверенности многих авторов, что эти матричные уравнения также являются вполне интегрируемыми. Однако теория этих уравнений была развита недостаточно, что не позволило раскрыть их богатую (интегрируемую) внутреннюю структуру и использовать ее для построения различных нетривиальных решений. Цель настоящей работы состоит в том, чтобы заполне-нить этот пробел, переформулировав упомянутые выше обобщенные уравнения Эрнста в терминах эквивалентной матричной спектральной задачи, и наметить общий подход к построению многопараметрических семейств их решений.

2. МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭРНСТА п

Для полевых конфигураций, зависящих от двух из четырех пространственно-временных координат, динамические уравнения упомянутых во введении струнных моделей могут быть записаны в виде комплексного матричного уравнения с дополнительными условиями на потенциал:

2£^ -

1

£-1

— £п) — ■ (Ые£) •

£п ■ (11е£)-1 ■ = О,

(а) = £

или

(Ь) г=£,

(1)

где • означает эрмитово сопряжение, а * - транспозицию матриц, £ есть комплексный (<1 х (¿)-матричный потенциал Эрнста. В случае (Ь) при (1=1 уравнение (1) совпадает с известным вакуумным уравнением Эрнста. Размерность й матрицы £ для различных моделей может быть разной, в частности (I = 8 для двумерной модели гетеротической струны [5], й = 2 для четырехмерной модели гравитации с аксионом, дилатоном и одним {/(1)-калибровочным векторным полем [7], поэтому далее мы будем полагать, что (1 может принимать любые (целые положительные) значения.

Пространственно-временные координаты £ и т] в (1) в гиперболическом случае являются вещественными изотропными координатами (при этом потенциал Эрнста £ и все полевые переменные являются функциями времени и одной пространственной переменной), а в эллиптическом случае - комплексно-сопряженными друг другу координатами (при этом потенциал Эрнста £ и все полевые переменные зависят только от двух пространственных координат). Чтобы различить эти два случая, будем использовать параметры

Г 1, е =

в гиперболическом случае, в эллиптическом случае,

Далее мы будем рассматривать пространство всех локальных решений уравнения (1), которые будут предполагаться функциями от £ и г/, голоморфными в некоторой локальной окрестности выбранной начальной точки (£о, %)• Предполагается также, что с помощью калибровочных преобразований потенциалы Эрнста в этой точке приведены к "стандартному" значению:

£(&,%) = Оо, <?о = ¿2, ■■■,£<!},

4 = 1.

(2)

Ниже мы бу Выбор £к{с от модели и

Для фор! альные" пер шие систем} те [8]. Сиск

ЛИЧНЫХ ИНТ1

и приведенн чи была пр< для (2(1 х 2(

где ш есть с

Переоп

нейной сист буется лиш ноническук

При этомм кроме уело твовали дв

Матри1

К(ш) доля

тогда как 1

где

могательн единичнук

/

рий, найденных для этих >сти многих авторов, что уемыми. Однако теория ю раскрыть их богатую для построения различ-гг в том, чтобы заполне-енные уравнения Эрнста наметить общий подход

1СТА

ространственно-времен-и струнных моделей мо-с дополнительными ус-

(1)

ш, £ есть комплексный эавнение (1) совпад£1ет рицы £ для различных юдели гетеротической оном, дилатоном и од-ы будем полагать, что

гическом случае явля-ишал Эрнста £ и все ранственной перемен-- другу координатами только от двух прос-

м использовать пара-= 1'

= -1.

решений уравнения ими в некоторой ло-пагается также, что гой точке приведены

1.

(2)

Ниже мы будем предполагать, что такая "нормировка" имеет место для всех решений. Выбор £к (сигнатуры Оо) одинаков для всех решений одной модели, но может зависеть от модели и различен в гипе

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»