ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2013, том 451, № 6, с. 643-646
= МЕХАНИКА =
УДК 539.374
ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ И СОВМЕСТНОСТИ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬЮ К СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИИ © 2013 г. И. Э. Келлер
Представлено академиком В.П. Матвеенко 20.03.2013 г. Поступило 20.03.2013 г.
БО1: 10.7868/80869565213250087
1. Рассматриваются уравнения квазистатического движения несжимаемой вязкопластиче-ской среды в двумерном случае
V • о = 0, о = -pI + D,
22, ,
D = 2(Vv + vV), V • v = 0
(1)
Институт механики сплошных сред
Уральского отделения Российской Академии наук,
Пермь
мые распространением уединенных волн локализации деформаций и релаксационными автоколебаниями [1, 4—6].
2. Уравнения (1) в декартовых ортогональных координатах х, у принимают вид
CT xx'x + CT xy 'y 0 CT xy'x + CT yy'y 0
xy'x ~yy'y
(2)
где V — оператор Гамильтона в текущей конфигурации, о и Б — тензоры напряжений и деформаций скорости, р — гидростатическое давление, I — единичный тензор второго ранга, V — скорость
перемещений, 2, = Б: Б — интенсивность деформации скорости. Материальная функция х(^) является произвольным элементом модели (1).
Известны лишь два частных вида функции х(^), обеспечивающих полную интегрируемость системы (1): т = т* (идеально-пластическое твердое тело) и т = (линейно-вязкая жидкость). В данной работе обнаружено, что в общем случае эта функция существенно нелинейная и имеет М-образный вид. Результаты способны расширить класс интегрируемых задач на материалы со "спинодальной" зависимостью напряжений от скорости деформаций: металлы в условиях динамического деформационного старения [1], динамической рекристаллизации [2], мартенситных превращений, двойникования; металлические стекла; твердые полимеры [3]; среды с внутренним сухим трением (сыпучие среды и горные породы [4]). Такая скоростная метастабильность среды в соединении с ее упругими свойствами может отвечать за режимы деформирования, сопровождае-
т(2) Т©
= -Р + vxx, CTyy = -p - -f- vxx,
22, 22,
т(2)
= (v x'y + vyx), v xx + v yy = 0 (3)
2 = ((vxx)2 + 4 (vx'y + vyx)
1/2
где запятая означает частную производную по указанной координате.
Общие свойства нелинейной системы (2), (3) первым исследовал А.А. Ильюшин [7], записавший ее в терминах функции тока vx = ф,у, vy = в виде уравнения
L(x(^-1Хф) + M(x(^ ф) = 0, \ = ((Хф)2 + (M ф)2)1/2,
где L = 1(^2 -дx), M = дxdy, а также (при обратимости х(2)) в виде аналогичного уравнения в терминах функции напряжений у: а xx = у ,yy, оуу = y,xx, ст xy = -у ,xy. Однако далее мы будем следовать другому пути, исключающему из (3) радикал.
3. Компоненты тензоров напряжений и деформаций скорости записываются в виде [8]
о xx =-p -1 т(^т2ф,
ст yy = -p + 2 т(^т2ф, а xy = 2 х(^)ео82ф,
644
КЕЛЛЕР
Рис. 1. График функции (10).
V х >х = -% вт2ф, V у у = % вт2ф, V х, у + ч у = 2% ео82ф,
(5)
удовлетворяющем уравнениям (3), где ф — угол между одной из линий максимальных касательных напряжений и осью х. Выражения (4) подставляются в (2), а из (5) вместе с выражениями V ,х = ^еоБ2ф + д,
Vx,у = £еоБ2ф- д, где д = ^ , х - Vx, у) - вихрь
скорости, образуются уравнения совместности деформации скорости.
В итоге уравнения равновесия и совместности сводятся к однородной квазилинейной системе
и х + Си у = 0, С = А 1В
(6)
и =
X т ^т2ф 2т еоз2ф 2 0"
ф >, А = -т 'еов2ф 2т 8т2ф 0 0
р - еов2ф 22, в1п2ф 0 1
_ - в1п2ф -22, еоз2ф 0 0_
-т 'еов2ф 2т 8т2ф 0 0
в -т 'в1п2ф -2т еов2ф 2 0
- з1п2ф -22, еов2ф 0 0
_ еов2ф -22, з1п2ф 0 1_
т' = —, для исследования которой применимы й
методы [9].
Собственные числа матрицы С суть
Х1± = 18(ф±р), X 2± =-е18(ф±р),
182р = 4-т,
(7)
где
т =
й 1пт = т' % й1п£ т
(8)
есть функция чувствительности к скорости деформации.
Дифференциальные соотношения на характеристиках находятся умножением (6) на левые собственные векторы матрицы С и имеют вид
Vт(т - 1)й 2тТТ - тй ф ±
± 2йр - ~14—тйд = 0,
т(т - 1)й± 2^л/Т—т йф +
+ 2йр + ~14-тйд = 0
(9)
для Х1± и X 2± соответственно.
Каждое из пфаффовых уравнений (9) вида Р(+ 0(йф + Яйр + йд = 0 вполне интегрируемо тогда и только тогда [10], когда 0 = а, ^ = у, где а, у — произвольные константы. Эти условия с учетом (8) принимают вид двух дифференциальных
уравнений т' - ^-1т + а-1т-1 = 0, т' + у2^т-1 = 0, которым удовлетворяет функция
т =
■4ц2, 0
2
(10)
= —, причем первый случай соответствует а = 2ц
= т*, у = 2ц, а второй а = /т*, у = / • 2ц.
Материальная функция (10) (рис. 1), гарантирующая полную интегрируемость уравнений (1), допускает образование линий разрыва в сплошной среде, разделяющих области с гиперболическим и эллиптическим типами оператора. В отличие от уравнений газовой динамики [11] и уравнений Гейрингер общей плоской задачи идеальной пластичности [8] этот переход связан с метаста-бильностью кинетических, а не термостатических свойств среды. Активные среды подобного типа в естественных науках известны; в частности, они способны порождать автоволны и уединенные волны [12] (причем "клюв" на кривой (10) оказывается условием существования последних). Поэтому наиболее интересные перспективы применения данного результата видятся в решении задач о распространении разрывов [13].
Система (6) в каждой точке имеет две пары ортогональных действительных характеристик при т < 0, сливающихся в одну такую пару при т = 0, и две пары комплексных характеристик при т > 0, сливающихся в одну такую пару при т = 1. Вдоль данных характеристик сохраняют свои значения интегралы соответствующих уравнений (9).
4. Соотношения (9) в гиперболическом режиме в силу (10) принимают вид
ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ
645
+
VI - 4[^2 VI - 4[^2
■ + 2 ^ ф + 2£р + 2[ dq = 0,
(11)
- 2 dф + 2dp + 2[ dq = 0,
— й - Р
где ц = -—■ и р = —.
т* т *
Неизвестные задачи записываются через интегралы уравнений (11) (инварианты Римана):
2х = в + Ф + Р - М4, 2п = -р + ф + р + р4, 2Х = -р - ф + р - р4, 2^ = р - ф + р + 2р = х-П-^ + С,
2 р = х + П + ^ +
2р4 = -X + П - ^ + С.
Система (6) в терминах интегралов (12) и с использованием соотношений
= = -зт2р,
2ц
(12)
VI - 4р= ео82р,
Х,х - е1§(х - ^)х,у = 0, А ,х + 1§(х - = 0, П,х - е1£(п - С)П,у = 0, Сх + 18(п - ОС = 0,
(13)
точно линеаризуемым преобразованиями годографа (х,X) о (х,у), (п,С) ^ (х,у):
х,х - е1ё(Х - ^)у,х = 0, х+ *§(Х - ^)У = 0 (14) х,п - е1§(п - С)у ,п = 0, х,с + - С)у ^ = 0. Далее с помощью подстановок
х = х^о8(х - X) - у^п(х - X),
у = х^т(х - X) + у^о8(х - X),
х = х2С08(п - С) - у2®1П(П - О,
у = х28Ш(п - С) + у2С08(п - С),
применяемых к соответствующим строкам (14), уравнения приводятся к простейшему виду
У1,Х - 2 х1 = 0, хг, - 2 у = 0, у2,п - 2 х2 = 0, х2,? - 2 У2 = 0,
(15)
причем каждая из новых неизвестных удовлетворяет телеграфному уравнению:
х1^ - 4 х1 = 0, у1,*Л - 4 у = 0,
_п „ 1
^х =— (х,х -пх -К + £,х)
2ц
сводится к четырем параметрически связанным квазилинейным уравнениям
х2П - 4х2 = 0, у2,л? - 4у2 =
Методы построения решений задачи Коши или Гурса для таких уравнений разработаны. Ситуация, когда в (12) любые три инварианта суть константы, соответствует решениям типа Прандтля—Майера [13].
В случае р = 0 функция (10) трансформируется в функцию т = т*, соответствующую идеально пластическому твердому телу, т = 0, р = 0, среди собственных значений (11) появляется пара кратных, среди (12) остается лишь пара интегралов р ± ф и уравнения (13)—(15) сводятся к классическим результатам[8].
В эллиптическом режиме в терминах угла
9 = ф - п между одной из главных осей тензора
напряжений и осью х уравнения (13) принимают вид
Х,х - ¿еЛ(х - Х)Х,у = 0, К + /Л(х - Х)Х^ = 0,
п,х + - оП,у = 0, Сх - /С1Ь£(П - ОС,у = 0,
где используются интегралы
2х = -р + /0 + р - Wq,
2х\ = р + /0 + р + ~fi,iq, 2к = р - /0 + р -2^ = -р - /0 + р + Щq
(17)
и е1И2р = 4т.
В случае т* = 0 (10) трансформируется в функцию т = 2|а£,, соответствующую линейно-вязкой жидкости, т = 1, а из (17) остается лишь пара интегралов р ± фq, с которыми (16) сводятся к известным уравнениям Ар = 0, Aq = 0.
Функция (10) обеспечивает выполнение необходимого и достаточного условия расщепления квазилинейной системы (6), заключающегося в инволютивности оператора С (в общем случае имеющего простой спектр (7)) и его тензора Ниенхейса относительно подпространств, натянутых на пары ортогональных правых соббствен-ных векторов оператора С [14].
Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 12-01-00608, 13-01-00365, РФФИ-Урал 10-01-96053 и Программы совместных исследований УрО, СО и ДВО РАН 12-С-1-1015.
646
КЕЛЛЕР
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Rajesh S.A., Ananthakrishna G. // Phys. Rev. E. 2OOO. V61. № 4A. P. 3664-3674.
2. Рудской А.И., РудаевЯ.И. Механика динамической сверхпластичности алюминиевых сплавов. СПб: Наука, 2OO9. 21S с.
3. Баженов С.Л., Ковальчук Е.П. // ДАН. 2OO7. Т. 417. № 3. С. 353-356.
4. Dieterich J.H. Modeling of rock friction 1. Experimental results and constitutive equations // J. Geophys. Res. 1979. V. S4. P. 2161-216S.
5. Lebyodkin M., Dunin-Barkowskii L, Bréchet Y., Estrin Y, Kubin L.P. // Acta Mater. 2OOO. V. 4S. № 1O. P. 2529-2541.
6. Putelat Т., Willis J.R., Dawes J.H.P. // Philos. Mag. 2OOS. V. SS. № 2S-29. P. 3219-3243.
7. Ильюшин А.А. // Уч. зап. МГУ. Механика. 194O. В. 39. С. 3-S1.
S. Фрейденталь А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 432 с.
9. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 19SS. 6S6 с.
10. Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.; Л.: Гостехиздат, 1947. 354 с.
11. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.; Ижевск: ИКИ, 2OO3. 336 с.
12. Zaiser M., Haehner P. // Phys. Stat. Sol. (В). 1997. V.199. P. 267-33O.
13. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения ги-перболическихсистем уравнений. М.: Физматлит, 2OO1. 6OS с.
14. Bogoyavlenskij O.I. // Commun. Math. Phys. 2OO7. № 269. P. 545-556.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.