ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, № 1 июль, 2005
© 2005 г. Ю. Кодама*, Б. Г. Конопельченко*,
JI. Мартинес Алонсо*
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ДЕФОРМАЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
Представлена общая схема нахождения и исследования интегрируемых деформаций алгебраических кривых, основанная на использовании соотношений Ленарда. Акцент делается на использовании нескольких типов динамических переменных: ветвей, степенных сумм и потенциалов.
Ключевые слова: алгебраические кривые, интегрируемые системы, соотношения Ленарда.
1. ВВЕДЕНИЕ
Теория алгебраических кривых является фундаментальной составной частью методов анализа интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений. Значимость этой теории проявляется, например, при описании конечнозонных решений или при формулировке метода усреднения Уизема [1], [2]. Особенно интересна задача описания и классификации интегрируемых деформаций алгебраических кривых. В работах [2] Кри-чевер сформулировал общую теорию беадисперсионных иерархий интегрируемых моделей, связанных с деформациями алгебраических кривых, возникающими в методе усреднения Уизема. Другой подход к нахождению интегрируемых деформаций алгебраических кривых С, определенных алгебраическими уравнениями с единичным коэффициентом при старшей степени вида
n
F(p,k):=pN-^ип(к)р"-п = 0, и„еОД, (1)
П = 1
был предложен в работах [3], [4]. Он применяется для нахождения деформаций кривой С(х, t), которые согласованы со степенями полиномов ип и характеризуются наличием функции действия S = S (к, х, t), удовлетворяющей следующим условиям.
'Department of Mathematics, Ohio State University Columbus, OH 43210, USA
t Dipartimento di Física, Universitá di Lecce and Sezione INFN 73100 Lecce, Italy. E-mail: Boris.Konopeltchenko@le.infn.it
* Departamento de Física Teórica II, Universidad Complutense E28040 Madrid, Spain. E-mail: luism@fis.ucm.es
рмаций Акцент —гаей, сте-
:-ния Ленарда.
частью мето-Значимость или при фор-описания и -ах [2] Кри-уемых мо-в методе ус-; алгебраи-коэффици-
(1)
рм^дий кривой г г:я наличием
[
Italy. E-mail: лп. El-mail:
1. Определенная уравнением (1) многозначная функция р = р(&) может быть представлена в виде р = Эх.
2. Функция St представляет собой мероморфную функцию на С(х, £) с полюсами только при к = оо.
Из этих условий следует, что р удовлетворяет уравнению
dtp = dxQ,
(2)
где Q := St имеет вид [3], [5]
n
Г = 1
т.е. Q е С[к,р]/С. Вид уравнения (2) определяет выбор нескольких наборов динамических переменных, использование которых упрощает описание интересующих нас деформаций. Следует отметить, что уравнение (2) дает бесконечное число законов сохранения при разложении р и S в ряд Лорана по к. В этой связи мы говорим, что уравнение (2) является интегрируемым.
2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Для того чтобы описать деформации кривой С, определенной уравнением (1), мы будем использовать не только коэффициенты ип (потенциалы), но и некоторые альтернативные наборы динамических переменных. Прежде всего, мы имеем N ветвей pi = pi(k), i = 1,..., N, многозначной функции р = р(к), удовлетворяющих условию
n
F(p,b) = П^'Р*^)) =0- (3)
¿=1
Существует важный результат, касающийся поведения ветвей pi- Обозначим через <С((А)) поле рядов Лорана по переменной Л, которые содержат не более конечного числа членов с положительными степенями:
N
спА", N е Z.
п= — оо
Тогда имеет место теорема Ньютона [6], [7].
теорема. Существует положительное целое число I такое, что N ветвей
Pi(z) := (pi(*))U=z« (4)
являются элементами поля C((z)). Более того, если F(p,k) есть неприводимый над полем С ((к)) полином, то lo — N есть наименьшее допустимое значение I, и ветви pi(z) могут быть пронумерованы таким образом, что
2т
Pi(z) =pn{(-1z),
е := ехр
N
96
ю. кодама, б.г. конопельченко, л. мартинес алонсо
Соглашение об обозначениях. Впредь для заданной алгебраической кривой С через г мы будем обозначать переменную, связанную с наименьшим положительным числом /о, Для которого замена переменных к = г1° влечет р,- 6 С((г)) для любого г.
Потенциалы могут быть выражены как элементарные симметрические полиномы вп от ветвей [8], [9]:
«„ = (-1)П-1«п(Р1,Р2,...)-(-1)П-1 Е Рч-'-Ргп- (5)
Заметим, что в силу известной теоремы Абеля [8] при N > 4 ветви pi уравнения (1) общего вида не могут быть выражены через потенциалы ип при помощи рациональных операций и радикалов.
Второй набор альтернативных динамических переменных дается степенными суммами [8], [9]:
Гк = 1(рк1+---+рк„), к> 1, (6)
где по сравнению с их обычным определением мы добавили множитель 1 /к. Связь между потенциалами и степенными суммами может быть установлена посредством рекуррентных формул Ньютона, решение которых дается формулой Варинга [9]
(*) х
^ + + (7)
1
где индекс (к) над знаком суммы означает, что из выражения (гц 4- • • • + «лг)' удерживаются лишь члены с весом к (предполагается, что вес потенциала ип равен п). Соответствующая формула обращения имеет вид [7]
ип = -Зп(-Ти-Г2,...) =
Е (8)
¿1+2г2Н-----1- Ык=п
где 5П - полиномы Шура, определенные тождеством
ехр( = ^Ап5п(х).
71 ^ 1 ' П^О
Формула (8) есть следствие тождества [10]
ПРИМЕРЫ. При N — 2 уравнение кривой имеет вид
Г := р2 - игр - и2 = 0, (9)
и первые степенные суммы суть
Т>1 =щ, Т>2 = + и2. При N = 3 уравнение кривой записывается как
^ := р3 - игр2 - и2р - и3 = 0, (10)
и мы имеем
Р1=иг, Р2 = И2+^и%, ~Рз = «з + «1^2 + = и1из -I- ^и2 + и2и\ + ^и\.
Степенные суммы также имеют смысл моментов логарифмической производной функции Р(р, к), как показывает следующая формула (см. гл. 7 книги [11]):
где контур дИ в комплексной плоскости есть граница области, содержащей все нули рг функции ^(р, к).
3. ДЕФОРМАЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
Мы ищем эволюционное уравнение для потенциалов, приводящее к уравнениям для р вида (2), или, что эквивалентно, к уравнениям для ветвей — 1,..., Ы,
N
дьРг = дх(2и := ^ а*-(к> х> (И)
Г=1
Используя обозначения
Р := (Р1,---,Рк)Т, а := (адг, • • • ,а1)Т, можно переписать систему (11) в виде
%Р = дх(Уа), (12)
где V - матрица Вандермонда
/1 Р1 ...
У:=\ ................ , (13)
\1 Ры ••• Р^'Ч
4 Теоретическая и математическая физика, т. 144, № 1, 2005 г.
98
ю. кодама, б. г. конопельченко, л. мартинес алонсо
которая, в свою очередь, является матрицей Якоби перехода от ветвей к степенным суммам (6). Следовательно, для степенных сумм имеем
= Р :=(Р1,...,Рлг)Т, (14)
где 3 - оператор Гамильтона,
] := Vх дхУ. (15)
Заметим, что
^ = (ад
Л, = (» + 7 - 2)?п+з-2дх + 0- 1)Р<+,--2,х, (».¿) Ф (1,1).
Рассмотрим, наконец, закон эволюции для потенциалов. В силу известной формулы дЗп(х)/дхк — ¿>п-к(х) непосредственно из (8) можно вывести, что матрица Якоби преобразования от степенных сумм к потенциалам имеет вид
Т:=
... -идг-1^ О 1 ... -идГ-2
\о О ... 1 /
(17)
Поэтому имеем
^и = 7оа, и := (их,... (18)
где ,1а - матричный дифференциальный оператор,
70 := Гт3 = ТтУтдхУ. (19)
Теперь задача состоит в определении выражений для а, зависящих от А; и и таким образом, что закон эволюции в (18) согласован с полиномиальной зависимостью коэффициентов и от переменной к, т.е. если (1п := с^гее(ип) суть степени коэффициентов ип как полиномов от к, то должны выполняться неравенства
с^гее(7оа)п < <1п, п = 1,... N,
где мы принимаем во внимание обозначение для и, введенное в (18). Мы видим, что если закон эволюции в (18) является согласованным, то вследствие уравнения (12) коэффициенты разложения по г ветвей являются сохраняющимися плотностями.
Наша стратегия при нахождении согласованных деформаций заключается в том, чтобы использовать соотношения типа Ленарда
70г = 0, г:=(п,...,глг)т, тч€С((А)), (20)
для генерации систем вида
^ = /оа, а:=г+.
(21)
Здесь и далее индексы + и — используются для обозначения частей с неотрицательными и отрицательными степенями по к, соответственно. Дело в том, что из тождества
Уоа = =
ясно, что достаточным условием согласованности для систем вида (21) являются следующие условия:
с1е§гее(./о)п7п ^ + 1 (22)
длявсехпивсехттаких, чтоадг-т+1 - (г+)т ^ 0.
Если потребовать выполнения условия (22) для всех 1 ¿^ п,тп ¿^ то мы получим достаточное условие согласованности, которое зависит лишь от кривой (1) и не имеет отношения к тому, какое частное решение соотношения Ленарда было использовано.
Примеры. При N = 2 условия (22) сводятся к неравенству ,
+ 1. (23)
Это показывает, что можно выбрать и2(к) полиномом произвольной степени, откуда следует, что для гиперэллиптических кривых произвольного рода существуют интегрируемые деформации.
При N — 3 условия согласованности (22) принимают вид
¿X <1, ¿2 ^ <¿1 + 1,
¿3 ^ ¿2 + 1, ¿2 < ¿3 + 1,
что приводит к следующим двенадцати нетривиальным способам выбора , <¿2,
(0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (0,1,2), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (1,2,3).
Отсюда следует, что наши деформации позволяют иметь только тригональные кривые, чей род меньше либо равен единице. Это будет предметом отдельной публикации.
Существует естественный класс решений соотношений Ленарда (15). Действительно, из выражения (19) для .1о очевидно, что для любого постоянного вектора с е С^ вектор
1 м
г:= У^с
есть решение (15). Следовательно, принимая во внимание то, что V иТ суть матрицы Якоби преобразований от ветвей к степенным суммам и от степенных сумм к потенциалам, соответственно, имеем, что ?
:= Vppi = ТУаР1, г = 1,...,ЛГ,
/ дщ др<\т (дп дп\т (25)
100
ю. кодама, б.г. конопельченко, л. мартинес алонсо
суть решения соотношений Ленарда. л
Подведем итог. Для заданной алгебраической кривой (1), удовлетворяющей условиям (22), эволюционные уравнения вида
dtu = J0(TVvR)+, R(z, р) = Y,fi(z)Pi, (26)
i
где fi € С[л], определяют деформацию кривой при условии R € <С[/с].
в заключение заметим, что рассмотренные выше нелинейные уравнения имеют очень простой вид в терминах ветвей. Действительно, из правила Крамера для нахождения столбцов Vследует, что
dpi_ _ llp.-.e^.-p^-1!
dVj ~ llp-.-pi.-.p^-1!' { '
где |lp... pJ ...p^-11 - определительматрицы!^, a |lp...e*...p^-
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.