известия ран. теория и системы управления, 2015, № 1, с. 3-14
УСТОЙЧИВОСТЬ
удк 531.36
ИНТЕРВАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
© 2015 г. B. С Денисенко, В. И. Слынько
Украина, Черкассы, Черкасский национальный ун-т им. Б. Хмельницкого, Киев, Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины Поступила в редакцию 28.01.14 г., после доработки 24.04.14 г.
На основе прямого метода Ляпунова получены достаточные условия интервальной устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. При этом проблема интервальной устойчивости сведена к вопросу совместности некоторой системы линейных матричных неравенств и выполнению алгебраических неравенств.
Б01: 10.7868/80002338814050059
Введение. Исследование различных явлений и процессов в сложных системах при условии мгновенного изменения вектора состояния системы является актуальной задачей современного естествознания [1, 2]. К таким системам относятся, например, эволюционные процессы в биологических нейронных сетях, оптимальные модели управления в экономике, системы частотно-модулированной обработки сигналов, механические системы с ударами, робототехнические системы, модели искусственных биологических сообществ и др. Математической формализацией моделей таких процессов и явлений выступают дифференциальные уравнения с импульсным воздействием [3]. Развитию общих методов исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием посвящены работы [3—10] и др. Вместе с этим некоторые вопросы теории устойчивости систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием являются мало изученными. Актуальная задача современной теории систем — устойчивость стационарных режимов систем с неточно заданными параметрами. Исследованию интервальной устойчивости различных классов динамических систем (непрерывных, дискретных или импульсных) посвящено значительное число работ. Для систем, которые моделируются линейными дифференциальными уравнениями я-го порядка, В.Л. Харитоновым получены необходимые и достаточные условия интервальной устойчивости [11—14]. Вопросам робастной устойчивости дискретных систем посвящены публикации [15, 16] и др. Задача о робастной (интервальной) устойчивости линейных систем с импульсным воздействием является недостаточно изученной. Некоторые результаты в этом направлении получены в [17—20]. В [21] описаны достаточные условия робастной устойчивости для матричных политопов линейных систем с импульсным воздействием. В исследованиях, посвященных интервальной (или робастной) устойчивости импульсных систем, обычно предполагается наличие устойчивых матриц в структурном множестве системы. Вместе с этим асимптотическая устойчивость линейной импульсной системы может быть в случае, когда непрерывная и дискретная компоненты импульсной системы являются одновременно неустойчивыми. Поэтому наиболее интересен случай, в котором все структурные матрицы интервальной импульсной системы одновременно неустойчивы.
Смежные вопросы устойчивости для нечетких импульсных систем Такаги—Сугено представлены в [22—24]. Постановка задачи об устойчивости нечетких систем Такаги—Сугено близка к вопросам интервальной устойчивости систем дифференциальных уравнений, так как задача об интервальной устойчивости сводится к задаче о робастной устойчивости политопов, а устойчивость систем Такаги—Сугено — это фактически робастная устойчивость систем с функциональными параметрами.
Цель настоящей работы — конструктивное применение прямого метода Ляпунова для исследования интервальной устойчивости линейной импульсной системы и получение "коэффициентных" условий интервальной устойчивости, позволяющих исследовать асимптотическую устойчивость линейной импульсной системы в случае, когда непрерывная и дискретная компоненты такой системы являются одновременно неустойчивыми.
1. Постановка задачи. Рассмотрим интервальную линейную систему дифференциальных уравнений с импульсным воздействием
^ = Ах (X), X Фтк,
Л (1.1)
Ах( X) = Скх(X), X = тк, к е N,
где ? е К, х е К", Ах(?) = х(Х + 0) — х(Х), {тк}к = 1 — последовательность моментов импульсного воздействия, 0 < 01 < тк +1 — тк < 02 < да.
Кроме того, предполагается, что L = maxi Ck|| < +да и матрицы A, Ck, к е П, являются интер-
k
вальными, т.е.
A* < A < A*, Ck* < Ck < C*, k е П,
где А*, А* е Rnхn, СкC* е Rnх", к е П, и неравенства между матрицами понимаются поэлементно.
Обозначим через x(t; t0, x0) решение задачи Коши для системы (1.1). Функция x(t; t0, x0) — непрерывно-дифференцируема по t на множестве
да
R\U {Tk}.
k = 1
Предполагается, что в точках t = тк, к е П, функция x(t; t0, x0) является непрерывной слева, т.е. x(t — 0) = x(t).
Определение. Система (1.1) называется интервально устойчивой, если для любых матриц A е [А*, А*] и Ck е [Ck*, C* ] линейная система (1.1) будет асимптотически устойчивой по Ляпунову.
Цель настоящей работы — исследование интервальной устойчивости системы (1.1). Определим матрицы
A0 = ^(A* + A*) , Ck0 = 2 (Ck* + C*) и систему (1.1) представим в виде
f = (Ao + AA)x(t), t Ф Tk, dt (1.2)
Ax = (Cko + ACk)x(t), t = Tk, k е П,
где AA = A — A0, ACk = Ck — Ck0.
Для матриц возмущений AА и ACk возможны различные способы представления и оценки норм. Рассмотрим один из таких способов (на примере нормы AA) [18]:
AA = Ea ^AFA ,
где
ea е Е* = <¡2 е R" х " : Е = diag {ец.....е>2>2}, |s;7| < 1; i = 1, n L
| n n
-TT
SA = EAEt = diag< Xhj XX
V = 1 j = 1 j = 1 J
ГтА = РТаРа = VНп, VН]Ъ ..., VН1п I е
V = 1 1 = 1 1 = 1
Н = (Ьу)„ х в = 1 (А* - А*).
Тогда справедлива оценка нормы
1М1 <| т ц ?а\\2 = ыи.
Аналогично
1|Дсл <1 N121 2 = ми.
Наряду с системой (1.2) рассмотрим номинальную систему с импульсным воздействием — = А0 у, г Фтк,
М 0 к (1.3)
Ду = СкоУ, г = Тк, к е М,
где у е К".
Определим для фиксированной матрицы А е К" х " оператор Ляпунова &АХ = Ат X + ХА,
действующий на пространстве симметричных действительных п х «-матриц. Обозначим через А,т(-) и А,^-) наименьшее и наибольшее собственные значения соответствующей матрицы. Для
произвольной матрицы А будем использовать спектральную норму ||А|| = (АТА).
2. Основной результат. Конструктивное применение прямого метода Ляпунова для исследования интервальной устойчивости линейной импульсной системы (1.1) приводит к необходимости рассмотрения некоторых линейных матричных неравенств.
Предположение 1. Предположим, что для некоторогор е N и заданной симметричной
положительно-определенной матрицы Q0 = е К" х " существует симметричная положительно-
определенная матрица Р = Рт е К" х ", удовлетворяющая неравенствам
V (-1 / + 1Дтк1&АР + (I + Ck0 )TP(I + Ckо) - P < "Со, k е N,
/Т1 (2Л)
(-1) р+^а; 1 р > о,
где Д% = ( Тк + 1~ Т к) 1.
Те о р е м а 1. Пусть выполняется предположение 1 и справедливы оценки
Р (I + Ско )||| + СсЛ IIР +
+ VДт«((||9Л\\ + 21 ¿А|М)1 -¡®4' )11 Р <(Со), к
I = 1
У ((-1 )р + 1(%р + 1 Р)
(II®Ао| + 21 ¿АШ)р+1 -IМр+1 < т - ||р л ;.
Тогда система (1.1) будет интервально устойчивой.
Доказательство. Рассмотрим функцию Ляпунова v(x) = хтРх и применим ее для исследования устойчивости системы (1.2). Обозначим Ь1 = ||а|| . Пусть б — произвольное положительное число и
-4Х10
\\x( t0 )||<5(б), 5(е) =
^ (P)
6 e
¡Хм (Р) 1 + Ь
где 0 = шах{(02, т1 — 10}. Предположим, что существует момент времени 1* > 10, такой, что
\\х( г)|| <6, г е [ 0, г *), ||х (г * )|| > е.
Можно считать, что 1* > т1. Обозначим через к0 наибольшее натуральное число, такое, что 1* > тк . Если к0 > 2, то
к0
^(х(Хк0 + 0)) = v(x(Т1 + 0)) + X [^(х(х, + 0)) - v(x(т)) + v(x(т,)) - v(x(т,_ 1 + 0))].
I = 2
Введем к рассмотрению функции Ук(х), к е
¥к(х) = хт [X (-1) 'Дт^ + аар] х.
\ = 1 '
Рассмотрим разность
V(x(тl + 0)) - V(x(Х' + 1)) = хТ(Т; + 1) &а0 + ААРх(х' + 1)(Т - X + 1) + • ■ ■ + 1 И^Г-т- \i-r- -г V .
+ -+x (т, + i)+ AaPx(i, + i)(т, - X, + i) + р! 0
+ И + г!ХТ(^) Гао++'лаРх(с,)(т, + 1 - Т,)Р + 1 > V, + !(Х(т, + 1)) , (р + 1)! 0
Покажем далее, что выполняется оценка хт(с,)(—1)^ +1 &А ++1аа Рх(с1) > 0. В самом деле, учитывая
где с, е (х,, х, + 1).
ее, что выполняется оценка хт(с,)(—1^ +1 & А + АА условие теоремы, получаем цепочку неравенств
хТ ( С')(-1 )р + 1 Га++1ааРх( С') = хТ ( С')((-1 )р + 1&А+1Р + (-1 )р + 1 ( Га++1аа - &А+ 1) Р )х ( С; )>
> (Хт((-1 / + 1 &А+ 1Р) - 11(&А0 + &АА/ + 1 - &А+ 111Р1 )|х(С')||2 >
((-1 )р +1 &А+ Р ) - ((|| &4 + 21ДА1 )Р +1 -I\&А\р +1 )11 Р )) (С' )||2 > 0.
Тогда при к0 > 2 с учетом полученных выше оценок получаем
к0
v(x(Tk0 + 0)) < ^х(Х1 + 0)) + X [- У'(х(X')) + ^х(X') + Скх(х')) - ^х(х'))]. (2.2)
, = 2
Оценим сверху разницу
v(x + Ckx) - v(x) = xT (I + CK + ACk)TP(I + Ck0 + ACk)x - xTPx = = xT((I + Ck0)TP(I + Ck0) - P)x + xT(ACk)TP(I + Ck0)x + xT(I + Cw)TPACjx + + xT(ACk)TP(ACk)x < xT((I + Ck0)TP(I + Ck0) - P)x + + 2|P(I + Ck0)||||AC^IWI2 + ||ACJ|2||PNI2 <
< xT(( I + Ck0) tp (I + Ck0) - P)x + 21P (I + Ck0 )||| |^cJ||GcJNI 2 + II^cJI 2|| ^cJ| PNI2.
ИНТЕРВАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ Оценим выражение для — Vk(x):
р ^
T| / Л\1 + 1 A rrrl
-Vk(x)<x I £(-1)l + 'At^'aP
x +
vl = 1
+ £ATw((||®4\ + ||9ÄJl) - IM')\\PIIXI
i = i
Таким образом, учитывая предположение 1, получаем оценку
f
—Vk(x) + v(x + Ckx) - v(x)< -xTÖox + 21 P(I + Cko)ИМ|Н| + \\Scj2\Gc\\4 PI +
v
+ £ AT„((| 94 + 21SAPA)1 -I M1 )ll PI
л
l=1 ) Из неравенства (2.2) и условия теоремы следует, что при k е N
v(x(Tk + o))< v(x(Ti + o)). (2.3)
Используя (2.3), получаем цепочку неравенств
Xm(P)s 1 <Xm(P)||x(t*)||2e 1 < Xm(P)^ + 0)||2 < v(x(T^ + 0))<
< v(x(T1 + o)) < Xm(P)||x(T1 + o)||2 < P)(1 + L)2||x(T1 )||2 <
< XM(P)( 1 + L)2e2L%o\\2 < XM(P)s2e^9.
Данное противоречие доказывает устойчивость системы (1.1).
Рассмотрим вопрос об асимптотической устойчивости системы (1.1). Покажем, что ||x(t)|| ^ 0
при t ^ да. Рассмотрим последовательность {х(тк + 0) }к = 1. По доказанному выше эта последовательность является невозрастающей, поэтому существует число а > 0, такое, что
а = lim v(x(Tk + o)) = infv(x(тк + o)) > o.
k k
Отметим, что если а > 0, то
inf|x(Tk + o)|| = ß> o.
k
Поэтому, учитывая нера
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.