Автоматика и телемеханика, № 5, 2015
© 2015 г. М.В. ХЛЕБНИКОВ, д-р физ.-мат. наук (khlebnik@ipu.ru), П.С. ЩЕРБАКОВ, д-р физ.-мат. наук (sherba@ipu.ru) (Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
ИНВАРИАНТНОСТЬ И НЕХРУПКОСТЬ ПРИ ПОДАВЛЕНИИ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Рассматривается задача синтеза стабилизирующих регуляторов для линейных систем, подверженных постоянно действующим внешним возмущениям. Качество замкнутой системы характеризуется размером инвариантного (ограничивающего) эллипсоида для состояния (выхода) системы. Показано, что оптимальный регулятор оказывается "хрупким" в том смысле, что малые вариации его коэффициентов могут приводить к значительному снижению качества или даже к потере устойчивости замкнутой системы. Предлагается метод построения "нехрупкого" регулятора, который выдерживает изменения своих параметров и при этом является оптимальным по указанному критерию.
1. Введение
Оптимальное подавление влияния неслучайных внешних возмущений на поведение линейных систем — классическая задача, имеющая много различных формулировок и подходов к решению; см., например, [1-6] и приведенную там обширную библиографию. В простейшей постановке задача заключается в построении линейной обратной связи по состоянию, минимизирующей размер множества достижимости замкнутой системы, т.е. всех точек фазового пространства, которые система (с нулевыми начальными условиями) может "посетить" под воздействием возмущений. В случае ¿2-ограниченных возмущений это множество представляет собой эллипсоид [3, 5], так что минимизация его размера сводится к задаче выпуклого программирования.
Однако наиболее интересным с точки зрения приложений представляется ситуация, когда возмущения ограничены в каждый момент времени в какой-нибудь векторной норме; при этом говорят об -ограниченных возмущениях или о постоянно действующих возмущениях. Точная характеризация множества достижимости в такой задаче трудна или невозможна, поэтому на практике используются различные техники построения внешних аппроксимаций этого множества, см. [2]. Один из самых простых, наглядных и в то же время эффективных методов исходит из эллипсоидальных аппроксимаций; эта идея была впервые высказана в [7] (см. также [8]). Наконец, отметим работы [1, 3, 5], где эксплуатируется понятие инвариантных эллипсоидов.
Настоящая статья следует этому же подходу, который основан на построении общей квадратичной функции Ляпунова для замкнутой системы с неопределенностью. Такой подход приводит к эллипсоиду со следующим
естественным свойством: траектория системы, начавшись в любой его точке, не покидает его независимо от реализовавшегося допустимого внешнего возмущения и, возможно, неопределенности в матрицах системы. Точнее, будем интересоваться эллипсоидом, ограничивающим выходную переменную, а не само состояние системы. Линейные матричные неравенства (ЬМ1) являются естественным и удобным техническим средством реализации такого подхода.
Всплеск интереса к этой тематике в России в последние 5-10 лет во многом связан с именем Б.Т. Поляка, инициировавшего исследования в этом направлении. Одна из первых статей в обширном цикле работ по инвариантным эллипсоидам [9] появилась в 2006 г., за ней последовало множество публикаций Б.Т. Поляка и его коллег, см., например, [10-13] и др., результаты которых подытожены к настоящему времени в монографии [5]. Отметим, что и ранее, в монографии [14], увидевшей свет в 2002 г., этим вопросам было уделено значительное внимание. Впоследствии эта тематика привлекла к себе и других исследователей; см., например, [15] и другие публикации этих авторов.
Инвариантные (ограничивающие) эллипсоиды характеризуют неопределенность в состоянии (выходе) системы, вызванную наличием внешних возмущений и, возможно, неполнотой информации о матрицах системы. Второй источник неопределенности часто связан с неточностью технической реализации регулятора (в том числе оптимального) и/или с необходимостью настройки его параметров в процессе эксплуатации. В [16] на многочисленных примерах было показано, что малые возмущения коэффициентов оптимального регулятора могут приводить к потере им свойства стабилизируемости. Это явление получило название хрупкости и впоследствии появились работы, в которых оно исследовалось в разнообразных постановках задач; см., например, [13, 17-20].
В настоящей статье предлагается подход к построению нехрупкого регулятора, который стабилизирует систему, подверженную влиянию 1те-огра-ниченных возмущений, и выдерживает вариации своих коэффициентов. Будет показано, что малые возмущения оптимального регулятора могут нарушать инвариантность соответствующего эллипсоида, т.е. даже при сохранении возмущенным регулятором свойства стабилизируемости траектории могут покидать оптимальный эллипсоид (полученный в предположении точной реализации регулятора). Таким образом, цель статьи — построение регулятора вместе с соответствующим эллипсоидом, который остается инвариантным (ограничивающим) при всех допустимых возмущениях регулятора и при этом является по возможности "малым".
По-существу, такая задача может быть переформулирована в терминах специального вида неопределенности в матрицах системы, а не регулятора, т.е. сводится к задаче робастного подавления внешних возмущений. Однако чтобы не терять "физического происхождения" рассматриваемой проблемы, будем различать робастность и нехрупкость, понимая под нехрупкостью неопределенности коэффициентов регулятора.
Предварительные результаты статьи опубликованы в [21].
2. Метод инвариантных эллипсоидов
Приведем описание рассматриваемой динамической системы и кратко напомним основы техники инвариантных эллипсоидов. Рассматриваем непрерывную систему вида:
х = Ах + Бш, х(0) = х0,
(1) г = Сх,
где А € Мгахга, Б € Мпхт, С € М1хп — известные фиксированные матрицы, х(£) € Мп — вектор состояния, € М1 — выход системы, ш(£) € Мт — внешнее возмущение, ограниченное в каждый момент времени в евклидовой норме:
(2) шт(Ь)ш(Ь) < 1 V* ^ 0.
Рассмотрим устойчивую систему (1) с управляемой парой (А, Б) и матрицей С полного строчного ранга.
Задача анализа заключается в характеризации множества достижимости ^ системы (1) и соответствующего множества для выходной переменной. Вообще говоря, эта задача не имеет аналитического решения для возмущений вида (2), поэтому приходится строить внешние аппроксимации этих множеств; среди них особой популярностью пользуются эллипсоидальные аппроксимации в силу их простоты, прямой связи с квадратичными функциями Ляпунова и относительно невысоким консерватизмом. Центральным для всех построений в настоящей статье является понятие инвариантного эллипсоида1.
Определение 1 [2, 3]. Эллипсоид
(3) Вх = £Х(Р) = {х € Мп: хтР-1х < 1}, Р У 0,
называется инвариантным для системы (1), (2), если условие х(0) € Ех влечет х(£) € Ех для всех £ ^ 0.
Справедлив следующий результат.
Теорема 1 [3, 10]. Эллипсоид (3) является инвариантным для системы
х = Ах + Бш, х(0) = 0,
подверженной действию внешних возмущений вида (2), тогда и только тогда, когда его матрица Р удовлетворяет линейным матричным неравенствам
(4) АР + РАТ + аР + -ББТ ^ 0, РУ 0,
а
при некотором а > 0.
1 Здесь и далее || • || - спектральная норма матрицы, т - символ транспонирования, I -единичная матрица соответствующей размерности, а все матричные неравенства понимаются в смысле знакоопределенности матриц.
Такая формулировка легко обобщается на случай ненулевых начальных условий хо или априорной неопределенности в начальных условиях; как правило, это также может быть сделано в терминах линейных матричных неравенств, которые следует добавить к основным ЬМ1-ограничениям (4). Например, если х0 = 0 известно, потребуем х0 € ЕХ(Р), что по лемме Шура [5] эквивалентно линейному матричному неравенству
Всякий инвариантный эллипсоид содержит в себе достижимое множество системы (которое является минимальным инвариантным множеством), доставляя таким образом внешнюю аппроксимацию к поэтому естественно искать минимальный инвариантный эллипсоид. Среди критериев минимальности удобным представляется сумма квадратов полуосей эллипсоида — линейная функция, равная следу матрицы Р; при этом будем говорить об эллипсоиде, оптимальном по критерию следа.
Обычно в приложениях интерес представляет оценка возможной величины выхода системы, а не ее состояния. Имея инвариантный эллипсоид (3) для состояния, видим, что соответствующий вектор выхода г заключен в ограничивающем эллипсоиде, задаваемом как
Далее будем искать ограничивающий эллипсоид, доставляющий минимум функции / (Р) = 1т[СРСт]. Поскольку эта функция линейна по элементам матрицы Р, то при каждом фиксированном а минимизация / (Р) при ограничениях (4) представляет собой задачу полуопределенного программирования
Иными словами, задача сводится к решению а-параметризованной задачи SDP относительно одной матричной переменной P = PT € Rnxn с последующей скалярной оптимизацией по параметру а (например, на сетке). Такая вычислительная процедура легко реализуется в среде MATLAB, например, с использованием пакета cvx [22].
Обратимся теперь к задаче синтеза и рассмотрим систему:
где п({) € Мр — управляющее воздействие, матрицы Б\ € Мгахр, В2 € М1хр фиксированы и известны, а пара (А, Б\) управляема; остальные переменные и матричные коэффициенты имеют тот же смысл, что и ранее.
Задача состоит в нахождении матрицы К линейной оптимальной обратной связи по состоянию
Ez = {z € Rm: zT(CPCT)-1z < 1}.
(SDP).
(5)
X = Ax + B1u + Dw, x(0) = x0, z = Cx + B2u,
(6)
u = Kx,
которая стабилизирует систему и минимизирует след ограничивающего эллипсоида для выхода z. При этом говорим об оптимальном подавлении влияния внешних возмущений. Член B2u добавлен в уравнение для выходной переменной для того, чтобы избежать больших значений управления при минимизации (впрочем, этого можно добиться, наложив явные ограничения на величину u, но будем использовать модель (5)).
Эта задача рассматривалась и решалась в терминах LMI в ряде работ, см., например, [1, 3, 5, 10]; для полноты изложения приведем наиболее т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.