Автоматика и телемеханика, № 3, 2015
© 2015 г. О.Н. САМСОНЮК, канд. физ.-мат. наук (samsonyuk.olga@gmail.com) (Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск)
ИНВАРИАНТНОСТЬ МНОЖЕСТВ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ1
Рассматривается нелинейная импульсная управляемая система с траекториями ограниченной вариации. Вводятся понятия сильной и слабой У-инвариантности замкнутого множества относительно импульсной управляемой системы, адаптированные к неавтономности системы по так называемому «быстрому» времени, в котором осуществляется импульсная динамика. Доказаны критерии инвариантности в форме систем проксимальных неравенств типа Гамильтона - Якоби.
1. Введение
Свойство инвариантности замкнутого конечномерного множества для управляемой системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями или дифференциальным включением, связано с его способностью содержать в себе все траектории системы (для сильной инвариантности), стартующие в точках множества, или хотя бы одну такую траекторию (для слабой) (см., например, [1-3]). Для нелинейных импульсных управляемых систем с траекториями ограниченной вариации обобщения понятий сильной и слабой инвариантности были предложены в [4, 5]. Нелинейная импульсная система в общем случае неавтономна по так называемому «быстрому» времени, в котором осуществляются скачки траектории, и определения указанных работ различаются, по сути, только учетом соответствующей переменной. Заметим, что обе предложенные системы понятий инвариантности нельзя считать завершенными в том смысле, что определения и соответствующие критерии инвариантности из [4], неадаптированные к неавтономности управляемой системы по «быстрому» времени, распространяются только на некоторые частные классы импульсных систем, в том числе с неотрицательной управляющей мерой, а в [5] возникает несимметричность определений и соответствующих критериев в прямом и обратном времени в отличие от аналогичных понятий для обычных управляемых систем. Данная статья продолжает исследования, начатые в [5], в ней будут введены новые определения сильной и слабой инвариантности, в которых устранен указанный недостаток, и представлены соответствующие проксимальные критерии в форме систем проксимальных неравенств типа Гамильтона - Якоби. Чтобы подчеркнуть отличие этих определений от введенных ранее, а также особое внимание, уделяемое переменной «быстрого» времени V, будем говорить о V-инвариантности.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-01-00699-а) и федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (соглашение № 8211 от 06.08.2012).
Импульсная управляемая система формально описывается дифференциальным уравнением с мерой
(1)
и(£) € и п.в. на Т, ^(В) е К V В е Вт.
Здесь Т — заданный промежуток времени из М, и — компактное подмножество пространства Мг, К — выпуклый замкнутый конус в Мт, ж(-) — функция ограниченной вариации, ж(£) € Мп, и(-) — измеримая по Лебегу функция, ^ — ограниченная борелевская мера на Т, Вт — ст-алгебра борелевских подмножеств Т, сокращение «п.в.» означает «почти всюду по мере Лебега на М». Отметим, что понятие решения уравнения (1) требует дополнительных пояснений из-за наличия в правой части произведения разрывной функции £ — С(£,ж(£)) на меру ^ и зависит от способа доопределения этого произведения в точках скачка ж(-), совпадающих с атомами Полное описание импульсной управляемой системы и определение решения приведены в разделе 2.
Система (1) рассматривается как обобщение обычной управляемой системы вида
с абсолютно непрерывными траекториями ж(-) и измеримыми, существенно ограниченными управлениями и(-) и г(-). Поскольку управление г входит в правую часть уравнения в (2) линейно и принимает значения из конуса К, то ее множество скоростей не ограничено и, следовательно, последовательности траекторий могут поточечно сходиться к разрывным функциям, а интегральные воронки траекторий, как правило, не являются замкнутыми множествами. Описание и исследование свойств множеств траекторий таких систем проводилось в многочисленных публикациях, укажем лишь некоторые [6-25]. Принятое в данной статье понятие решения системы (1) является модификацией понятия обобщенного решения, введенного в [9-13], и примыкает к определению V-решения из [8, 16, 18], данному при К = Мт.
В дальнейшем будем считать выполненными следующие предположения. П1. Функции /(£, ж, и) и С(£,ж) непрерывны по совокупности переменных, для любого компактного множества Q С Мп существуют Ьщ, > 0, такие что выполняются неравенства
|/(¿,Ж1,и) - /(£,Ж2,и)| ^ Ь1д|ж1 - Ж21, |С(£,Ж1) - С(^Ж2)| ^ Ь2^|ж1 - Ж21 V (£,Ж1,и), (£,ж2,и) € Т х Q х и;
кроме того, существуют С1, С2 > 0:
|/(£,ж,и)| < С1(1 + |ж|), |С(£,ж)| < С2(1 + |ж|) V (£,ж,и) € Т х Мп х и.
П2. Множество /(£,ж,и) выпукло V (£,ж) € Т х Мп.
(2)
Ж(£) = /(¿,ж(£),и(£)) + С(£,ж(£)) г(£), и(£) € и, г(£) € К п.в. на Т,
2. Импульсная управляемая система
Введем обозначения: ||г|| := ^т=1 ^ |, К := [г € К | ||г|| = 1}, со А — выпуклая оболочка множества А. Кроме того, для у — векторной ограниченной борелевской меры на Т — обозначим через ус, |ус| и 5^(у) соответственно непрерывную составляющую в разложении Лебега меры у, полную вариацию меры ус и множество, на котором сосредоточена дискретная составляющая меры у, т.е. 5^(у) := [8 € Т | у([з}) = 0}.
Определим два множества и(Т,и) и №(Т,К), элементы которых в дальнейшем будем называть обычным и импульсным управлениями соответственно. Положим и(Т,и) := [и(-) € ЬХ(Т, Мг) | и(*) € и п.в. * € Т}. Множество №(Т, К) определим как множество пар (у,7(у)), в которых у — К-значная ограниченная борелевская мера на Т, а 7(у) — некоторое соответствующее у семейство , состоящее из неотрицательных чисел й3 и измери-
мых по Лебегу функций ш8(-), удовлетворяющих условиям:
(а) Б — не более чем счетное подмножество отрезка Т, £^(у) ^ $;
(б) для каждого 8 € Б € М+, ш8 : [0, ] ^ со К1:
ds
ds > ||y({s})||, y^(r)dT = y ({s}) ;
(в) ^^ ds < œ. ses
Импульсная управляемая система имеет вид
(3) dx(t) = /(t,x(t),u(t)) dt + G(t,x(t)) n(y),
(4) u(-) € U(T, U), n(y) € W(T, K).
Здесь u(-) и n(y) — обычное и импульсное управления соответственно. Траектория системы, соответствующая управлениям u(-),n(y) и начальному условию xo на отрезке времени T = [to, ti], понимается в смысле следующего определения.
Определение 1. Пусть u(-) и n(y) = (y,7(y)) удовлетворяют (4) при T = [to, ti], xo € Rn. Полунепрерывное сверху многозначное отображение к : [to, ti] ^ Rn назовем траекторией системы (3), соответствующей u(), n(y) и начальному условию x0, если выполнены условия:
1) Vt € T/S x(t) = {xr(t)}, где xr(■) — непрерывная справа на (to, ti] функция ограниченной вариации, заданная равенством
t t xr(to) = xo, xr(t) = xo + / / (t, xr(t),u(t))dt + / G(t,xr(t))yc(dt)+
(5) to to
+ (zs (ds; xr (s-)) - xr (s-)), t € (to, ti];
s<t, ses
o
2) V s € S k(s) = {zs(r; xr (s-)) | т € [0, äs]}. Здесь функции zs(-; y), s € S, — решения соответствующих дифференциальных уравнений
dz (т)
(6) = G{S,Zs(T))lüS(T), ^(0)=2/, те [0,4].
Поясним, что присутствие в системе (3), (4) управления п(^) вместо меры ц связано с возникающим в правой части (1) некорректным произведением разрывной функции t ^ G(t,x(t)) на меру. Последнее не позволяет общепринятым образом представить (1) как дифференциальное уравнение с мерой, и заданным u(-), и начальному условию Хо может соответствовать целая интегральная воронка траекторий. Каждая индивидуальная траектория в этой воронке соответствует некоторому (возможно, не единственному) семейству y
Введем понятия дополненных траекторий, включающих вместе с траекторией системы (3), (4) в смысле определения 1 компоненту, в некотором смысле характеризующую ресурс импульсного управления. Для этого каждому импульсному управлению п(^) = (^,y(^)) € W([t0,ti],K) поставим в соответствие функции V-(-) и V+(■), заданные равенствами:
V-(to)=0, V-(t) = |^c([to,t])| + ^ äs, t € (to,ti],
(7) s^t,ses
V+(ti)=0, V+(t) = |^c([t,ti])| + J] äs, t € [to,ti).
Определение 2. Пусть u(-) и п(^) = (^,y(^)) удовлетворяют (4) при T = [t0,ti], x0 € Rn. Полунепрерывные сверху многозначные отображения к— : [t0,ti] ^ Rn+i, к+ : [t0,ti] ^ Rn+i назовем левой и правой дополненными траекториями системы (3), соответствующими u( ), п(^) и начальному условию x0, если выполнены условия:
1) V t € T/S
к—(t) = {(xr (t),V-(t))}, K+(t) = {(xr (t),V+(t))},
где функция xr(■) определена равенством (5);
2) Vs € S
к—(s) = { (zs(т; xr(s-)), V-(s-)+ т) | т € [0,ds]}, K+(s) = {(zs(T;xr(s-)),V+(s) - т) | т € [0,äs]},
где zs(-; xr(s-)) — 'решение уравнения (6). Положим
к—(t+) := {(xr(t),V-(t))}, t € (t0,ti],
K+(t-) := {(xr(t-),V +(t))} Vt € [t0,ti).
Связь между множествами траекторий импульсной системы (3), (4) и системы (2) устанавливает следующее предложение.
Предложение 1. 1. Пусть к" — левая дополненная траектория системы (3), (4) на отрезке [¿о,^], а "(•)) — произвольный селектор к"", V"(¿о) = 0. Тогда найдется такая последовательность функций {хк(-),Мк(•),%(■)}, удовлетворяющих системе (2), что выполняются условия:
(8) 8ир ||Ук(-)||ьх <
к
г
(9) У ЦУк(0)|И ^ V"(¿) V* € [io.ii],
го
(10) Хк(*) ^ хф V* € [io.ii].
2. Пусть последовательность функций {хк(-),ик(-),Ук(•)} удовлетворяет системе (2) и условиям (8)-(10) при некоторых функциях (x(•),V"(■)). Тогда найдутся управления и(-) и п(у) = (у,7(у)), удовлетворяющие (4), и соответствующая им левая дополненная траектория к—, такие что (х(-), V"(■)) является селектором к".
Доказательство приведено в Приложении.
Аналогичный результат справедлив для правой дополненной траектории к+ при замене (9) условием
¿1
(11) У ||Ук(^)1И ^ V+(¿) V* € [¿о,*1].
г
Таким образом, произвольный селектор дополненной траектории к" (или к+) состоит из функций ограниченной вариации, причем его первая компонента х(-) является поточечным пределом некоторой последовательности траекторий системы (2), а вторая компонента V"(■) (или V+(•)) характе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.