ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 417, № 3, с. 337-341
МЕХАНИКА
УДК 532.516
ИСЧЕЗНОВЕНИЕ РЕЖИМА ДВУМЕРНЫХ СОЛИТОНОВ В СВОБОДНО СТЕКАЮЩЕЙ ПЛЕНКЕ ЖИДКОСТИ
© 2007 г. Е. А. Демехин, Е. Н. Калайдин, С. М. Шапарь
Представлено академиком В.А. Бабешко 06.03.2007 г. Поступило 20.03.2007 г.
Экспериментально известно [1, 2] существование на поверхности вертикально стекающей пленки жидкости двумерных уединенных волн. Применяя подход и уравнения Капицы-Шкадова (КШ) [3, 4], авторы [5] описали теоретически данный вид волн. Эксперименты [2] показывают, что при достаточно больших числах Рейнольдса режим двумерных солитонов исчезает. Солитонные же решения [5] уравнений КШ формально существуют при всех числах Рейнольдса, 0 < Я <
Для разрешения противоречия рассматривалась полная система уравнений. В соответствии с теоремой Шильникова [6] для любой жидкости существует критическое число Рейнольдса R*, такое, что при R > R* солитоны исчезают через обратную бифуркацию Шильникова.
1. Стационарные двумерные волны на поверхности у = Н(х) стекающего по жесткой вертикальной стенке у = 0 слоя вязкой жидкости в движущейся со скоростью волны с системе координат описываются системой уравнений и краевых условий относительно функции тока ¥ и вихря ю [7]:
Э^Эю _ Э^Эю = 1у2ю ю = у2
ду д х д х ду Я Ю' Ю ^'
= Н (х). дю + 2 -Яд¥д¥. +
У Х . дп дпд 52 д п дпд 5
(1)
^ • кр + _3=
= 0,
(2)
,д¥
ю + 2К-Г-Г- = 0, ¥ = 1- с, у = 0: ¥ = 0, д п
д¥
ду
= -с,
д-н
д х'
Кубанский государственный университет, Краснодар
Здесь К - кривизна поверхности, д^ и д- означают дифференцирование по направлению внешней к поверхности нормали и вдоль касательной к поверхности. Для обезразмеривания выбраны
Г - £Й0
70 , скорость и0 = ^рг и
безволновая толщина
плотность р . Тогда задача описывается числами Рейнольдса Я = и Вебера W = , где £ -
3 V рgho
ускорение свободного падения, V - кинематическая вязкость, с - коэффициент поверхностного натяжения. Вместо W удобнее взять число Капи-
~ ~ -1 ~ -4/3 -
цы у = ср -у £
1/3
-1/3 3 У
, тогда W = —5-3-. Для задан-
Я
ной жидкости у фиксировано и задача описывается только R.
Краевые условия для решения типа уединенной волны при х ^
3 2 1 3
2у - 2гу - су, ю > -3у,
^ 1.
(3)
Область течения у е (0, Н) удобно отобразить на единичную полосу п е (0, 1) с помощью преоб-
разования ? = х, п
= _у_
Н (х)
Н? д
. Тогда
1д
1 д2
дх д? П Н дп, ду НдП ду2 Н2дп2
У2 = ^-2 -
д2 1 + п2н? п
д£2
д£дп
--д--дп
нг д + 71+н2 д
2
(4)
-д-д 5
1 д
ТЬ+Й?
Н дп -д---Н-- .
2
Н
К* 102
101
100
10-1
10-2 10-3
100
101
102
103
104 У
Рис. 1. Сплошная кривая соответствует смене знака седловой величины, а звездочка - численно полученному R*(Y).
Функцию тока ¥ находим по полиномам Чебышева
¥ = £ Лк (%)Тк ( 7 ),
(5)
к = 0
иу
= М(Ук), к = 1, 2.....4N.
(6)
ттп 3 ИИ 1Г,, п2 2,2-. ИИ
W И — + [ 6 (с - 1) - с И ] й-:
и е3 я
И ^ 1 при £> ^ ±о
+ 1 (И3-сИ + с - 1) = 0,
я
(7)
10 К
виде разложения
Рис. 2. Бифуркационная диаграмма с - R при у = 500 для системы КШ.
и динамической системе третьего порядка, У1 = И, У2 = И%, Уз =
В универсальных переменных: растянутой ко-
1/3 е
ординате £ = ]/9 ^ и модифицированном числе
Рейнольдса 5 =
я
11/9
где г = 2п - 1 е [-1, +1]. Так как базисные функции не удовлетворяют краевым условиям (2), применяли т-метод [8]. Разложение (5) подставляли в (1) с последующей проекцией с весом (1 - г2)-1/2 на первые N - 3 полинома Чебышева. Недостающие 5 уравнений для И(^) и Лк(е) находили подстановкой (5) в краевые условия (2) при п = 0 (г = -1) и П = 1 (г = +1). Получающуюся нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно И(^), Лк(^) и их производных, вплоть до четвертой, можно свести к динамической системе типа
При е ^ система (6) имеет стационарную точку О, соответствующую тривиальному решению (3).
При больших капиллярных силах у ^ ^ полная система может быть упрощена и сведена к уравнению КШ
7/9 1-3 - уравнение (7) описы-5 • 3 у
вается только одним параметром 5 [9].
2. Уединенная волна соответствует гомокли-нической кривой Г к стационарной точке О (рис. 1, справа). Фазовое пространство Ук описывается (6) или ее предельным случаем (7), а поведение вблизи стационарной точки - характеристическими числами ск.
Одно из трех минимальных по модулю характеристических чисел действительно и положительно, а1 > 0, а два других с2, 3 комплексно сопряжены, причем действительная часть с2, 3 отрицательна (рис. 1, левый верхний угол). В фазовом пространстве Ук (рис. 1, внизу справа) Г 1 выходит из О по неустойчивому многообразию, соответствующему о1, и возвращается в О по устойчивому многообразию, соответствующему с2, 3. Такая точка называется седло-фокусом, а ее седловой величиной - сумма а1 + Яеа1(а2, 3).
Теорема Шильникова может быть сформулирована следующим образом [6]: пусть для данной многомерной динамической системы, п > 3: 1) при некотором значении параметра с = с1 существует гомоклиническая кривая Г1 стационарной точки О, являющейся седло-фокусом; 2) седловая величина О положительна. Тогда при шевелении с в окрестности Г1 появляется счетное множество многовитковых гомоклинических кривых, соответствующих многогорбым солитонам.
с
7
5
3
N
h
С
Рис. 3. Профили одногорбых солитонов при фиксированном 8 = 0.076 и разных числах Капицы.
Уравнение (7) имеет решение типа одногорбого солитона (одновитковую гомоклиническую кривую Г1) при с = с1 для всех значений числа Рей-нольдса 0 < R < ^ [5]. Седловая величина стационарной точки при всех Я положительна, следовательно, согласно [6] в малой окрестности с = с1 существует счетное множество многовитковых гомоклинических орбит. Теоретический вывод подтвержден численным решением (7) [5]: найден
сегмент [с1, с1 ], ограниченный сверху скоростью одногорбого солитона с = с1 и снизу скоростью двугорбого солитона с = с1 (рис. 2), внутри которого существует счетное множество многогор-бых солитонов. При R ^ ^ с ^ с1, но эти кривые никогда не пересекаются, так как седловая величина при всех R положительна, хотя и стремится к нулю при R ^ го. Факт с1 + Real(с2) ^ 0 объясняет сближение параметров одногорбого и
двугорбого солитонов и находящихся внутри сегмента многогорбых солитонов.
Ситуация меняется при рассмотрении конечных у и полной системы (1)-(3). Характеристические числа ск полной системы (1) описываются при ? ^ линеаризованной около тривиального решения системой
¥ = 3 у2 - 2 у3 - су + ефес?, Н = 1+ еес?, е^ 0, ф1¥ + 2с2ф'' + с4ф = сЯ[( и - с)(ф'' + с2ф) - и"ф], п = 1: ф''' + 3с2 ф' + сЯ^с - + с3Я • W = 0,
ф''- с2 ф = 3, ф = С -3, п = 0: ф = ф' = 0.
Задача на собственные значения с решалась при фиксированном с численно разложением (5), чис-
6.0 R
Рис. 4. Бифуркационная диаграмма с - Я при у = 500 для полной системы.
ло базисных функций N брали равным 32 и 64. Полученную в итоге алгебраическую задачу на собственные значения \Л + оВ| = 0 решали с помощью 2^-алгоритма. Выбирали три минимальные по модулю собственные значения задачи сь с2, с3 и подсчитывали седловую величину. В отличие от решения КШ седловая величина при фиксированном у и увеличении Я меняет знак, становясь отрицательной. Условие 2) теоремы Шильникова не выполнено. На рис. 1 сплошной линией представлены значения Я в зависимости от у, когда а1 + Яеа1(а2) меняет знак и условия [6] не выполнены. Теорема Шильникова не дает ответа на то, что произойдет в каждом конкретном случае ее невыполнения - для этого необходимы расчеты самих гомоклинических орбит.
3. Для численного решения (6) по координате Е, применяли быстрое дискретное преобразование Фурье. Получали нелинейную алгебраическую систему уравнений; в конкретных расчетах брали 32 и 64 полинома Чебышева, 128 и 256 гармоник.
На рис. 3 представлены профили одногорбых уединенных волн И(С) в универсальных переменных 5, 8 = 0.076, а у меняется. Амплитуда соли-тона и его форма за исключением области капиллярной ряби практически не меняются и близки к
даваемых подходом КШ [5]. Предвестник же капиллярной ряби при увеличении у становится более выраженным.
На рис. 4 дана бифуркационная диаграмма в координатах Я - с для у = 500, полученная решением (1)-(3). Верхняя часть кривой соответствует одногорбым солитонам с = С1, нижняя часть — двугорбым солитонам с = с\. Внутренность бифуркационной кривой (с1, с ) содержит счетное множество многогорбых солитонов, ск е (с1, с\). При увеличении Я амплитуда капиллярной ряби одногорбого солитона растет, в то время как передний горб двугорбого солитона сужается. При Я = Я*
~ 5.96 оба солитона становятся неразличимыми: две ветви решения сливаются и исчезают. Исчезают также многогорбые уединенные волны, заполняющие сегмент (с1, с\). При увеличении у число Я* увеличивается. Например, при у = 2850 слияние происходит при Я* ~ 20.1.
На рис. 1 звездочками показаны Я*(у), которые идут вдоль кривой смены знака седловой величины: эта смена и невыполнение условия 2) теоремы [6] означают исчезновение всех двумерных солитонов, включая одногорбый.
Работа частично финансировалась грантами РФФИ 05-08-33585 и 06-01-96647.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Капица ПЛ. // ЖЭТФ. 1948. Т. 18. С. 3-28; 1949. Т. 19. С. 105-120.
2. Алексеенко C.B., Накоряков В.Е, Покусаев Б.Г. Волновое течение пленок жидкости. Новосибирск: Наука, 1992. 256 с.
3. Шкадов В.Я. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. № 1. С. 43-51.
4. Шкадов В.Я. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. № 2. С. 20-25.
5. Бунов A.B., Демехин Е.А., Шкадов В.Я. // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика. Механика. 1986. № 2. С. 73-78.
6. Шилъников Л.П. // ДАН. 1965. Т. 160. № 3. С. 558561.
7. Пухначев ВВ. // ДАН. 1973. Т. 210. № 2. С. 298-301.
8. Canuto C, Hussani M., Quarteroni A., Zang T.A. Spectral Methods in Fluid Dynamics. B.: Springer, 1987. 556 p.
9. Шкадов В.Я, Демехин Е.А. // Успехи механики. 2006. Т. 4. № 2. С. 3-65.
10. Демехин Е.А, Каплан М.А. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. № 3. С. 23-41.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.