научная статья по теме ИСКАЖЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ ЗВЕЗД СИСТЕМАТИЧЕСКИМ ХОДОМ ПАРАЛЛАКСОВ ПО НЕБЕСНОЙ СФЕРЕ Астрономия

Текст научной статьи на тему «ИСКАЖЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ ЗВЕЗД СИСТЕМАТИЧЕСКИМ ХОДОМ ПАРАЛЛАКСОВ ПО НЕБЕСНОЙ СФЕРЕ»

УДК 524.6-327,524.6-34

ИСКАЖЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ ЗВЕЗД СИСТЕМАТИЧЕСКИМ ХОДОМ ПАРАЛЛАКСОВ ПО НЕБЕСНОЙ СФЕРЕ

© 2014 г. В. В. Витязев*, А. С. Цветков**

Санкт-Петербургский государственный университет Поступила в редакцию 11.07.2013 г.

Изучается влияние систематического хода параллаксов звезд по небесной сфере на результаты кинематического анализа собственных движений звезд. Подход основан на представлении параллаксов звезд с помощью скалярных сферических функций и на разложении собственных движений звезд по системе векторных сферических функций. Получены теоретические соотношения, связывающие значения коэффициентов разложения собственных движений звезд по тороидальным и сфероидальным функциям с коэффициентами представления параллаксов звезд по скалярным сферическим функциям. Установлено, что систематический ход параллаксов по небесной сфере искажает все параметры линейной модели Огородникова—Милна, а также может являться причиной появления внемодельных гармоник. Проведен кинематический анализ собственных движений бело-голубых и красных гигантов по данным каталога HIPPARCOS. Параллаксы бело-голубых гигантов показывают сильную зависимость от галактической широты (с преимущественным сжатием вдоль галактического экватора). В противоположность этому, у красных гигантов отклонения параллаксов от среднего значения локализованы только в двух областях небесной сферы. Для этих выборок влияние хода параллаксов по небесной сфере на значения кинематических параметров оказалось сравнимым со среднеквадратичными ошибками их определения. Глобальные решения, выполненные по обеим выборкам, обнаружили сильные внемодельные кинематические эффекты, описываемые тороидальными гармониками второго порядка и сфероидальными гармониками третьего порядка. С помощью решений, выполненных раздельно по северному и южному галактическим полушариям, установлено, что основной причиной появления этих гармоник является не систематический ход параллаксов по небесной сфере, а замедление скорости вращения Галактики по мере удаления звезд от ее основной плоскости. По указанным выборкам звезд получены оценки модуля вертикального градиента скорости вращения Галактики, равные 18.0 ± 2.9 и 22.7 ± 2.2 км/^/кпк соответственно.

Ключевые слова: астрометрия, звездная кинематика, структура Галактики, Hipparcos, собственные движения звезд, сферические функции.

DOI: 10.7868/80320010814010094

ВВЕДЕНИЕ

Знание параллаксов звезд является необходимым условием для кинематического анализа собственных движений звезд. К сожалению, кроме каталога HIPPARCOS, содержащего прямые тригонометрические результаты измерения параллаксов звезд, в большинстве каталогов сколько-нибудь надежная информация о расстояниях до звезд отсутствует. В этих случаях приходится иметь дело

Электронный адрес: vityazev@list.ru

Электронный адрес: a.s.tsvetkov@inbox.ru

с косвенными оценками расстояний, полученных путем сравнения абсолютных и видимых звездных величин. В статье Шенриха и др. (2012) показано, что такой подход приводит к появлению систематических погрешностей расстояний, возникающих от ошибок принятого класса светимости, возраста, металличности, межзвездного поглощения и т.д. В этой же работе был предложен метод исправления расстояний до звезд, основанный на корреляционных связях между измеряемыми величинами гелиоцентрических компонентов скорости и, V, Ш, которые обусловлены ошибками измерений соб-

ственных движении звезд, наличием звездных потоков и изменением ориентации эллипсоида скоростей в различных местах Галактики. Для успешного применения этого метода требуется знание не только расстояний и собственных движений звезд, но и их лучевых скоростей. Тем не менее, современные методы фотометрии позволяют надеяться на то, что в недалеком будущем точность получения фотометрических параллаксов звезд станет сравнимой с точностью абсолютных тригонометрических параллаксов.

В тех же случаях, когда всякая информация о параллаксах звезд отсутствует, обычно делается предположение о том, что звезды находятся на одинаковом расстоянии, и вместо истинных компонентов скорости движения Солнца определяют произведения этих компонентов на средний параллакс выборки звезд. Однако параллаксы рассматриваемой выборки звезд могут иметь систематический ход по небесной сфере. Зависимость параллаксов от галактической широты компенсировалась введением так называемых параллактических факторов (Вильямс, Высоцкий, 1947). Появление фиктивных вращений, обусловленных зависимостью параллаксов от долготы, изучалось Оортом (1950). В своих работах по определению постоянной прецессии Фрикке (1967) использовал фотометрические оценки расстояний для назначения параллактических факторов, компенсирующих отсутствие точных тригонометрических параллаксов звезд.

В работе Оллинга, Денена (2003) было показано, что систематический ход параллаксов звезд по небесной сфере приводит к искажению искомых значений параметров кинематической модели из-за эффекта смешивания гармоник (mode-mixing effects по терминологии авторов). В указанной работе этот эффект был изучен на примере упрощенной кинематической модели, в которую не были включены эффекты в плоскостях, перпендикулярных основной плоскости Галактики. Кроме того, смешивание гармоник изучалось в одномерном варианте зависимости параллаксов только от долготы. В силу этих упрощений в цитированной работе основным математическим аппаратом стало использование рядов Фурье как для представления собственных движений звезд, так и для их параллаксов. Такой подход ограничивает проведение кинематического анализа поля скоростей узкой зоной по широте вблизи галактического экватора.

В работе авторов (Витязев, Цветков, 2013) сделана попытка решения указанной проблемы с помощью представления параллаксов звезд с помощью сферических функций вместо рядов Фурье. Зависимость сферических функций от двух координат позволила изучить эффект смешивания гармоник не только по долготе, но и по широте. В

указанной работе было изучено влияние коэффициентов разложения параллаксов по сферическим функциям (в дальнейшем — параллактических коэффициентов) на численные значения параметров линейной модели Огородникова—Милна. Настоящая работа продолжает это исследование и посвящена изучению эффекта смешивания гармоник при выполнении кинематического анализа собственных движений звезд с помощью векторных сферических функций (Витязев, Цветков, 2009). С этой целью сделан вывод соотношений, показывающих вклад параллактических коэффициентов во все коэффициенты разложения собственных движений по векторным сферическим функциям. Основной упор делается на объяснение причин возникновения внемодельных гармоник, обнаруженных ранее в работах Витязева, Шуксто (2004, 2005); Макарова, Мерфи (2007) и Витязева, Цветкова (2009).

СКАЛЯРНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Сферические функции широко используются в различных областях математики и физики, их определение можно найти во многих источниках (см., например, Арфкен, 1970). В нашей работе для них мы будем использовать следующее представление:

Knkp(l,b)= (1)

(Pn,o(b), к = 0, p = 1,

= Rnk \ Pnk(b)sin kl, к = 0, p = 0, [Pnk (b)cos kl, к = 0, p = 1,

Rnk —

2n + 1

4n

1,

(га+fc)! ' ^ U> k — 0.

В формуле (1) через l и b обозначены соответственно долгота и широта точки на сфере (0 < l < < 2п; —п/2 < b < п/2), через Pnk(b) — полиномы Лежандра (при к = 0) и присоединенные функции Лежандра (при к > 0), которые можно вычислить с помощью следующих рекуррентных соотношений:

2п — 1

Рпк{Ъ) = sinb-гРп-\,к(Ъ) -

nk

n + к — 1 nk

Pn-2,k(b),

k—0,1,

Pkk(b) —

n — к + 1, k + 2, (2k)!

2k k!

cosk b,

Pk+i,k(b) —

(2k + 2)! 2k+l(k + 1)!

cosk b sin b.

ИСКАЖЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ ЗВЕЗД 51

1 / 1 дКпкр(1,Ъ)

ВЕКТОРНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Рассмотрим в касательной плоскости к сфере систему взаимно ортогональных ортов еп, еь, ег соответственно в направлениях изменения долготы, широты и луча зрения. Используя определения векторных сферических функций (см. Арфкен, 1970; Варшалович и др., 1975), введем радиальные Угакр, тороидальные Тпкр и сфероидальные Бпкр векторные сферические функции посредством следующих соотношений:

Упкр(1, Ъ) = Кпкр(I, Ъ)ег,

Б

Т

1

пкр

( дКпкр(1,Ъ)

ту \

л/п(п + 1) V дЬ 1 дКпкр' (1,Ъ)

сов Ъ

д1

еь

пкр

-ег +

л/п{п + 1) 91

, дКпкр(1,Ъ)

+ —аь—66

Обозначим компоненты при единичном векторе еп как Т^кр и Б1пкр, а при единичном векторе еь —

соответственно тЬкр и Зьпкр:

Тпкр = Тпкре1 + ТпкреЬ, Б пкр = $пкре1 + в пкреЬ.

Эти компоненты определяются следующим образом:

п

Т кр =

К

к

Рп ,1(6),

к = 0,р = 1,

у/п(п +1)

(-к tg ЪРпк (Ъ)+Рп ,к+1(Ъ))81п к1, к = 0,р = 0, (-к tg ЪРпк (Ъ)+Рп ,к+1(Ъ))сов к1, к = 0,р = 1,

Ть =

Т кр =

К к

к = 0,р = 1,

/ ( , п 1 -±-ьРпк{Ъ)со^Ы, к^0,р = 0,

ы = кр

К к

л/п{п + 1)

0,

+^кьрпк{Ъ) соэ Ы, ~Шьрпк(Ь) 8Ш Ы,

к = 0,р = 1, к = 0,р = 0, к = 0,р = 1,

ыЬ _

ы пкр

К к

л/п(п + 1)

Рп,1(Ъ), к = 0,р = 1,

(-кtgЪРпк(Ъ) + Рп,к+1(Ъ)) в1пк1, к = 0,р = 0, (-к tg ЪРпк (Ъ) + Рп ,к+1(Ъ))сов к1, к = 0,р = 1.

0

Для удобства часто вводят линейную нумерацию функций Упкр, Тпкр и Бпкр одним индексом 3, где

3 = п2 + 2к + р - 1.

Введенные функции удовлетворяют следующим соотношениям:

Ц (V • V,) ды = Ц (Тг • Т,) ды = П п

ды ={0,:=з

Ц V • Т,) ды = Ц V • Б,) ды =

ПП

= JJ (Бг • Т,) ды = 0 Щ,3.

П

Другими словами, набор функций Vnkp, Тпкр, Бпкр образует на сфере ортонормированную систему функций.

Таблица 1. Значения коэффициентов векторного сферического разложения уравнений (3) c учетом параллактических коэффициентов формулы (4)

Коэффициент Значение Учет паралакса

1101 2.89^3 0.707[/тгцо - 0.707Утгц1

¿110 2.89^2 -0.707[/тгю1 + 0.707И^тгц1

¿111 2.89wi 0.707Утгю1 - 0.707Wtt1w

«101 -0.816И^тгоо1 = -2.8Ш(тг) 0.316[/7Г2Ц + 0.316У7Г2Ю + 0.365И%201

«110 -0.816Утг001 = -2.89У(тг) 0.316[/7Г22О -0.183У7Г201 -0.316Утг221 + 0.316И%210

«111 —0.816t/ 7Гоо1 = -2.89£/(тг) 0.316[/7г221 - 0.183[/ТГ2О1 + 0.316Утг22о + 0.316И%211

«201 0.65(2М|3 - М^) = 1.3Х 0.316[/тгц1 + 0.338[/тгзц + 0.316У7Гцо + 0.338Утгзю -- 0.632И/7ГЮ1 + 0.414И^тгзо1

«210 2.24М2^

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком