КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 69, № 6, с. 731-736
УДК 533.6.011+536.423.1+543.275.2
ИСПАРЕНИЕ КАПЛИ ВБЛИЗИ ПЛОСКОЙ СТЕНКИ
© 2007 г. С. И. Гращенков
Псковский государственный педагогический университет им. С.М. Кирова 180760 Псков, пл. Ленина, 2 Поступила в редакцию 29.01.2007 г.
Проведено решение задачи о свободном испарении умеренно крупной капли, находящейся вблизи бесконечной плоской стенки. Рассмотрены случаи, когда поверхность стенки непроницаема для испаряющегося вещества и на ней поддерживается постоянная концентрация пара. Температура поверхности стенки считается постоянной и равной температуре газа на большом расстоянии от капли. Получена система алгебраических уравнений, позволяющая найти потоки молекул и распределения температуры и концентрации газообразных компонентов. Найдены зависимости скорости испарения капли воды, взвешенной в воздухе, от ее радиуса и расстояния до стенки.
ВВЕДЕНИЕ
Испарение капель играет важную роль во многих физико-химических процессах. Этой проблеме посвящено большое число работ, в которых достаточно подробно было рассмотрено испарение одиночных и взаимодействующих капель [13]. Вместе с тем, до настоящего времени не уделялось достаточного внимания теоретическому анализу влияния стенок сосуда на процесс испарения капель. В настоящей работе проводится теоретический анализ влияния бесконечной плоской стенки на скорость испарения умеренно крупной капли. К умеренно крупным относятся капли, для которых число Кнудсена Кп (отношение средней длины свободного пробега X молекул в газе к радиусу капли Я) находится в интервале 0.01 < Кп < 0.3.
ТЕОРЕТИЧЕСКИИ АНАЛИЗ
Стенка с непроницаемой поверхностью
Прежде чем исследовать собственно испарение капли, необходимо найти распределения температуры и концентрации в ее окрестности. Будем считать, что процесс испарения капли квазистациона-рен и происходит при малых относительных перепадах температуры, а времена тепловой и диффузионной релаксации много меньше времени испарения капель. Примем также, что концентрация С1 молекул испаряющегося вещества удовлетворяет условию С1 < 1 (С1 = и1/им, пм = п1 + п2, где п1, п2 - числовые концентрации молекул пара испаряющегося вещества и второго компонента газовой смеси, не поглощаемого поверхностью капель, соответственно). При С1 < 1 основное влияние на процесс переноса молекул оказывает молекулярная диффузия, и обычно полагают, что испарение капель протекает в диффузионном режиме [4].
Рассмотрим каплю, испаряющуюся вблизи бесконечной плоской стенки. Примем, что температура стенки во всех точках одинакова и совпадает с температурой окружающего каплю газа на бесконечно большом от нее расстоянии. Коэффициенты теплопроводности и диффузии будем считать постоянными величинами. Вначале проведем анализ процесса испарения для случая, когда поверхность стенки непроницаема для вещества, испаряющегося с поверхности капли. Решение задачи будем искать в бисферической системе координат. Эта система является ортогональной, и ее координатные поверхности являются сферами и поверхностями, получаемыми при вращении дуг окружностей вокруг линии, проходящей через центры сфер (рис. 1). Координаты (Ъ, п, ф) бисферической системы координат связаны с координатами (р, х, ф) цилиндрической системы координат, ось 02 которой проходит через центры сфер, следующим образом [5]
р
_ а 81п п
сЬ Ъ, - С08 п'
х =
а Ъ
сЬ Ъ - С08 п'
ф = ф,
где а - масштабный множитель.
Рис. 1. Бисферическая система координат.
Оператор Лапласа в бисферической системе координат имеет следующий вид [5]
А =
1 ЬА_д
Ь^Ь^дСч Ь дС
д (Ь^Ьф д Л д (Ь^Ьп д
дпч Ьп дпУ дфЧ Ьф дфу_|' где Ьс, Ьп, Ьф - коэффициенты Ламе, равные
Ь Ь сЬ С - С08 п ,
Ь _ а 81И п
ф сЬ С - С08 п
В бисферической системе координат поверхность капли совпадает с координатной поверхностью С _ С (С > 0), а поверхность стенки - с координатной поверхностью С _ 0. При этом радиус капли связан с масштабным множителем соотношениями
Я _ а cosechС1.
Расстояние Ь между центром капли и поверхностью стенки можно найти из соотношения
Ь _ а сШ .
В рассматриваемом нами случае распределения температур в газе и в капле, а также концентрации молекул паров испаряющегося вещества описываются [6] системой уравнений
АТе _ 0, АГ, _ 0, АС1 _ 0,
с граничными условиями
(те - т,.;
'с = С1
(Те - Т.Л,_П = "Т^'
к дт
к дС
С = С1
С = 0
= к дТе кедС
К^дТе
Ь С дС С = С
КТм$Те
Ьс дС С=0
дС
+ КЬДй С1 дС
(1)
(2)
(3)
(4)
С = С1
С,
С = С1
(т0) + К
йС, 5 (Т)
о Кп дС1 х( Т, - Т0) - -п ^1
С
ёТ
С = С1
X
Т = Т0
(5)
дС
дС
= о,
С = о
Т Ф <,
Те С1
Те< при р, z -С1„ при р, z
(6)
(7)
(8) (9)
Здесь Те - температура газа, Ti - температура кап-
0
ли, Т, - средняя температура поверхности капли, Те< - температура поверхности стенки и температура газа на бесконечно большом расстоянии от поверхности капли, Кш - коэффициент скачка температуры на поверхности капли, КТм, - коэффициент скачка температуры на поверхности стенки, Кп - коэффициент скачка концентрации на поверхности капли, к - коэффициент теплопроводности вещества капли, ке - коэффициент теплопроводности газовой смеси, КЬ _ Ьт1п<Р12, Ь - теплота фазового перехода испаряющегося вещества капли, т1 - масса молекул испаряющегося вещества, ВХ2 - коэффициент взаимной диффузии газовой смеси, С15 - концентрация насыщенных паров испаряющегося с поверхности капли вещества вбли-
2тхп«а
зи плоской поверхности, К. _ 1 +-----коэф-
' РЯ
фициент, учитывающий зависимость концентрации насыщенных паров от кривизны поверхности капли, а - коэффициент поверхностного натяжения жидкости капли, - ее плотность, р - давление газовой смеси.
Соотношения (2), (4), (5) представляют собой граничные условия на поверхности капли. Уравнение (2) связывает температуры газа и вещества капли. Обычно используемое для жидкостей и плотных газов условие равенства температур окружающей среды и капли является приближенным и применимо лишь в том случае, когда длину свободного пробега молекул газа можно считать сколь угодно малой. Учет конечности длины свободного пробега приводит к скачку температуры на межфазной поверхности. В первом приближении величина скачка пропорциональна нормальной составляющей градиента температуры газа на поверхности частицы. Наличие такого скачка и учитывает уравнение (2). Условие (4) выражает непрерывность радиального потока тепла через поверхность капли с учетом теплоты испарения. Условие (5) учитывает зависимость концентрации насыщенных паров от температуры и кривизны поверхности с учетом скачка концентрации.
Граничное условие (3) учитывает наличие скачка температуры на поверхности стенки, а условие (6) - непроницаемость стенки для паров.
Общие решения уравнений (1) находятся методом разделения переменных и с учетом граничных условий (7)-(9) имеют следующий вид
Те = 72(сЬ С - Апехр[(п + 1/2)С]
п = 0
(10)
+ Вп ехр [-(п + 1/2)С]) Рп (Ю + Те<,
сю
оо
Г, = Jl(ch % - CIexp[-(и + 1/2)^])
X
n = 0
X Рп (ц) + Tex, Ci = л/2 (ch % - Mn exp [(n +1/2)%]
(11)
(12)
+ Nn exp [-(n +1/2)%]) Ри(ц) + Ci„. Здесь Ри(ц) - полиномы Лежандра, ц = cosn, An, Bn, Cn, Mn, Nn - неопределенные коэффициенты, которые находятся из граничных условий (2)-(6).
Подставляя выражения (10)-(12) в граничные условия (2)-(6), после упрощающих преобразований получаем следующую систему уравнений
мк = N, (13)
n = к + 1
Ак + Вк -KW X (An«Sn + Вир8И)|% = 0 = 0, (14)
= к-1
¡ = к + 2
X j An exp ((n + 2 %
n = к-2
PSn aSn +
I KTd„a sk"
+ ~2a n
+ Bn exp ( -( n + 2)%
esn esn+
+2d eesn
Kr
- M — Mn к
expII n + ^l%)aSn
(15)
+ exp( -( n + 2 1% )pSn
i = к +2
X j An exp ((n + ±)%) K
n = к-2
=0
% = %1
dC1S( T)
dT
X
t = t¡
X
XK
к KTd к
Sn +2TdaSn
dC1S (T)
+ Bn exp ( -( n + 2 )%) X
dT
T = T¡
к KTd к
s» + 2desn
- M I X
X
exp (( n + 2 J%J(Sn + aSn) + exp I-I n + )%) x
(16)
X(sn + esn)
= jKAs(T0) - C1 „ +
+K
dC1s (T)
dT
T = Ti
% = %1
(T„ - T0) exp(-(n + I|%
% = %1
T 0 = T ^ + 2sh %1 Xj An( 1 + R
n=0
KT
R
(17)
+ Bn exp (-(2n +1 )%1) l
к = 0, 1, 2, 3, ...,
где 5п - символ Кронекера.
Для более компактной записи приведенных уравнений были использованы операторы а и в, которые любую функцию Хп от Ъ, п, п преобразуют согласно следующим формулам:
a Xn = [ sh % + (2 n + 1) ch %] -
- (n +1) Xn +1- nXn-1, pXn = [sh % - (2n + 1)ch %] +
+ (n +1) Xn +1+ nXn-1.
(18)
(19)
Уравнения (13)-(16) описывают бесконечную систему для коэффициентов Ап, Вп, Мп, Ып, в которой Т0 выступает в качестве параметра. Любые 4N уравнений этой системы содержат более чем 4N неизвестных. Приближенные значения первых 4N неизвестных можно получить, положив Ап = Вп = = Мп = Ып = 0 при п > N. Необходимая точность вычисления коэффициентов достигается выбором соответствующего значения N. При таком подходе уравнения (13)-(17) составляют трансцендентную систему уравнений, которая решается методом последовательных приближений. В качестве нулевого выбираются значения Ап, Вп, Мп, Nn, получаемые из (13)-(17) при Т0, равной соответ-
г на поверхности одиночной капли, которая находится из трансцендентного уравнения
Кп
К 1 + Я
Т - т г = —Я (КС^ т г) - С1
1+
K
Td
R
Значение C1S( T°) можно вычислять по следующей формуле [7]
B
которой
C1S(T = A exp |-T I,
B =
B = R,
A=
C1S( Te.)
exp I -T~
n=0
e
11о 1.40
1.35
1.30
1.25
1.20
1.15
1.10
1.05
1.00
0
10
15
20 Акт
Рис. 2. Зависимости относительной скорости испарения капли от расстояния АЬ между поверхностями капли и стенки для капель разного размера: 1 - Я _ 1, 2 - 10 мкм. Влажность воздуха 99%.
Здесь - молярная масса испаряющегося вещества, Я, - универсальная газовая постоянная. Значение В для заданного интервала температур [Т0, Т1] можно также найти из выражения
В = 1п
С^( Т1)( 1 1
С15( То )1То Т
I = 8пап<012 X М,
(С,- Си
С=0
Кп дС Ь С дС
(20)
С=0
Соответственно, уравнения (13), (15), (16) переходят в следующие
Поток I молекул вещества, испаряющегося с поверхности капель, можно получить, используя решение (12), интегрированием выражения для плотности потока по поверхности капли:
Случай
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.