МЕХАНИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2013
УДК 621.396
© 2013 г. Е. Ю. АЛЕХОВА, Ю. К. ЖБАНОВ, Д. М. КЛИМОВ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИЗБЫТКА ОСЕЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
Рассматривается возможность повышения точности измерения трехмерного вектора при использовании избыточной системы одноосных чувствительных элементов.
Ключевые слова: чувствительный элемент, ось чувствительности, измерение, погрешность.
1. Введение. Предполагается, что для измерения трехмерного вектора используется система однотипных чувствительных элементов, каждый из которых измеряет проекцию трехмерного вектора на свою ось чувствительности с белошумной погрешностью известной интенсивности. Система чувствительных элементов избыточна, содержит число элементов большее трех. Оценка измеряемого вектора может быть сформирована с использованием показаний всех имеющихся чувствительных элементов. Можно вычислить проекцию этой оценки на ось чувствительности каждого элемента. В идеальном случае эта проекция должна совпасть с замером самого элемента. При наличии погрешностей будет видна невязка показаний элемента с оценкой соответствующей проекции, вычисленной по показаниям всех датчиков. Для каждой невязки можно сосчитать номинальную дисперсию. Отношение квадрата невязки к ее дисперсии может характеризовать, в определенном смысле, качество замера данного элемента [1]. При формировании окончательной оценки измеряемого вектора показания чувствительных элементов можно учитывать с различными весами, придавая больший вес тем элементам, у которых отношение квадрата невязки к дисперсии меньше. В работе излагается методика, использующая изложенную идею.
2. Формирование замера при избыточном количестве измеряющих осей. Пусть номинальная ориентация п осей чувствительности задана матрицей А размерности п х 3, каждая строчка которой состоит из компонент единичного вектора соответствующей оси. Тогда, при истинном значенииизмеряемого трехмерного вектора г, представленного в виде матрицы-столбца, идеальные отсчеты п чувствительных элементов можно представить вектором-столбцом к размерности п х 1. Точные значения векторов г и к связаны соотношением
к* = Аг* (2.1)
Звездочка означает, что значение точное.
Вектор реальных замеров к содержит погрешность измерений и в общем случае не совпадает с точным значением. Задача формирования замера сводится к построению оценки г для вектора г* по вектору к. В силу отличия к от к* в общем случае нет возможности найти такой вектор г, чтобы выполнялось соотношение
к = Аг
Но можно найти такое г, чтобы соотношение к + А к = Аг
(2.2)
(2.3)
выполнялось при минимальном по модулю векторе Ah. Надо найти такое r, при котором сумма квадратов компонент вектора A h:
J = AhTAh = (Ar - h)T(Ar - h) (2.4)
принимает минимальное значение.
Раскрывая скобки в правой части, можно записать
J = rTATAr - rTATh - hTAr + hTh = rTATAr - 2rTATh + hTh (2.5)
Коэффициент 2 появился потому, что все слагаемые — скаляры, а транспонирование скаляра не меняет его значения.
Если трехмерный вектор-столбец с единичкой на k-том месте и остальными нулями обозначить lk, то частную производную J по k-той компоненте вектора r можно представить в виде
dJ/drk = lTATAr + rTATAlk - 2lTATh = 2lTATAr - 2lTATh = 2lT(ATAr - ATh) (2.6)
При выполнении матричного равенства
AT Ar = ATh (2.7)
которое можно рассматривать как линейное уравнение для нахождения вектора r , все три частных производных обнуляются.
Таким образом, алгоритм формирования замера r, обеспечивающего минимизацию суммы квадратов компонент вектора Ah, сводится к решению линейной системы уравнений (2.7):
r = (,AtA)-1 ATh (2.8)
Если статистика погрешностей чувствительных элементов по различным осям различна [2], то минимизировать лучше взвешенную сумму квадратов (каждый квадрат компоненты со своим коэффициентом). Весовые коэффициенты удобно свести в диагональную матрицу размерности n х n, обозначим ее D. Взвешенная сумма квадратов компонент принимает вид
n
J = X Ah}di = ahTDAh = (Ar - h)TD(Ar - h) (2.9)
i=1
Выкладки, аналогичные выполненным, приводят к линейному уравнению для нахождения r:
AT DAr = ATDh (2.10)
3. Оценка качества чувствительного элементапо отношению невязки к сигме невязки.
Номинальная оценка измеряемого вектора задана формулой (2.8). Оценка проекции
этого вектора на измерительные оси (обозначим ее h) имеет вид
hi = Ar = A(ATA)-1 ATh (3.1)
Отличие показаний соответствующих измерительных осей от этой оценки
Ah = h - h = [E - A(ATA)-1 AT]h (3.2)
можно рассматривать как невязки показаний измерительных осей с оценкой соответствующей проекции всей системой осей.
Е.Ю. Алехова, Ю.К. Жбанов, Д.М. Климов
Считая дисперсионную матрицу погрешностей измерений h диагональной(обозна-чим ее Ph = Ed), можем сосчитать дисперсионную матрицу невязок (3.2)
PM = [E - A(ArA)-1 AT]TPh[E - A(ATA)1 AT] = = [E - A(ATA)-1 AT]T[E - A(ATA)-1 AT]d = = [E - 2A(ATA)-1 AT + A(ATA)-1 ATA(ATA)-1 AT]d = = [E - 2A(ATA)-1 AT + A(ATA)-1 AT]d = [E - A(ATA)-1 AT]d Таким образом, для вычисления этой матрицы можно пользоваться формулой
PAh = [E - A(ATA)-1 AT]d (3.3)
Диагональные элементы этой матрицы pfh дают номинальные дисперсии невязок по каждой измерительной оси. Квадратный корень из них дает сигмы. С этими сигмами
^можно сравнивать фактические значения невязок Ahh сосчитанные по формуле (3.2), чтобы оценить насколько они соответствуют номинальной статистике. Например, превышение невязки по модулю уровня трех сигм, если это не очень редко, говорит о том, что с осью не все в порядке. Сравнение можно вести не извлекая корень, сравнивая дисперсию с квадратом невязки.
4. Рабочий алгоритм формирования оценки измеряемого вектора. В рассматриваемом ниже рабочем алгоритме весовые коэффициенты замеров, образующие диагональную матрицу D, формируются в зависимости от отношений квадратов фактически полученных невязок к номинальным значениям их дисперсий. Вычисленные отношения квадратов невязок к их дисперсиям u[i] масштабируются так, чтобы их среднее значение было равно единице. Весовой коэффициент замера принимается равным функции d[i] = 1/(1 + u[i]2k), усиливающей отклонение аргумента от единицы с отрицательной производной. Коэффициент усиления увеличивается с увеличением показателя четной степени 2k.
Номинальная ориентация измерительных осей задана матрицей A размерности (n х 3). В подготовительном блоке алгоритма заготавливается матрица M размерности (n х n).
M = E - A(ATA)-1 AT (4.1)
Вектор невязок вычисляется по формуле
А h = Mh (4.2)
Вектор отношений u вычисляется делением квадратов компонент вектора Аh на диагональные элементы матрицы M, пропорциональные номинальным дисперсиям невязок.
u[i] = (Ah[i]f/M[ii], i = 1, ..., n. (4.3)
Вектор u нормализуется делением всех компонент на их сумму и умножением на n:
n
S = X u[i], u = u • n/S (.4)
i=1
После такой нормировки среднее значение компонент — единица. Вычисляется диагональная матрица весов замеров
Dii] = 1/(1 + u[i]2k), i = 1,..., n. (4.5)
Выходное значение оценки измеряемого вектора вычисляется по формуле
г = (АТБЛУ1 АТБк (4.6)
В правой части выражения (4.5) значение k подбирается при моделировании.
5. Моделирование. Работа алгоритма была опробована на математической модели шестиосного блока чувствительных элементов. Чувствительные оси равномерно размещены на круговом конусе с раствором ребер куба, исходящих из одной вершины [3]. Измеряемому вектору давались единичные значения с ориентацией по каждой чувствительной оси. Один из чувствительных элементов имел постоянную погрешность, равную одной десятой.
Погрешность построения измеряемого вектора без использования весовых коэффициентов во всех шести измерениях лежала в пределах 0.035—0.050.
Весовые коэффициенты вычислялись при 2k, равном 6. При использовании весовых коэффициентов погрешность ни в одном из измерений не превысила 0.0005.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ишлинский А.Ю. Механика гироскопических систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 482 с.
2. КлимовД.М. Инерциальная навигация на море. М.: Наука, 1984. 116 с.
3. Бранец В.Н., Дибров Д.Н., Рыжков В.С. Диагностика и вычисление параметров ориентации избыточных бесплатформенных инерциальных навигационных систем (БИНС) // Механика и навигация. Материалы научной сессии, посвященной 85-летию академика РАН А.Ю. Ишлинского. Санкт-Петербург, 1999. С. 22—33.
Москва Поступила в редакцию
E-mail: yura.zhbanov@gmail.com 12.06.2013
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.