ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ РАЗМНОЖЕНИЯ БЫСТРЫХ ЭЛЕКТРОНОВ В ОБЛУЧАЕМЫХ МАТЕРИАЛАХ
А. И. Рязанов* Т. И. Могилюк, Е. В. Семенов
Национальный исследовательский центр «Курчатовский институту 123182, Москва, Россия
Поступила в редакцию 18 июля 2011 г.
Рассмотрены процессы формирования каскадов электронных столкновений, созданных быстрыми нерелятивистскими электронами, которые могут образовываться в материалах в результате облучения их потоками электронов и гамма-квантов. Решение данной задачи основывается на использовании кинетического уравнения Больцмана для движущихся быстрых электронов. Для этого уравнения построена модельная индикатриса рассеяния при произвольном потенциале взаимодействия движущихся частиц. С помощью построенной модельной индикатрисы рассеяния получено энергетическое распределение движущихся частиц. На основе вычисленного энергетического распределения быстрых движущихся частиц для произвольных потенциалов межчастичного взаимодействия находится каскадная функция, описывающая размножение выбитых электронов (электронный каскад), которые образуются при рассеянии быстрого электрона с некоторой кинетической энергией на электронной подсистеме облучаемого материала. Расчеты каскадной функции проведены с использованием кулоновского потенциала взаимодействия между быстрым электроном и атомарными электронами.
1. ВВЕДЕНИЕ
В данной работе использованы аналитический и статистический методы для исследования размножения быстрых частиц в облучаемом материале, которые позволяют рассчитать образование каскадов электронных столкновений с двухчастичным межэлектронным взаимодействием при облучении материалов потоками быстрых электронов. Каскады электронных столкновений также могут возникать в результате образования вторичных электронов, образующихся при некогерентном взаимодействии гамма-квантов с веществом под действием фотоэффекта, комптоновского эффекта, или рождения электрон-позитронных пар, либо при облучении материалов тяжелыми ионами, когда вдоль трека заряженной частицы в радиальном направлении образуются быстрые ¿-электроны [1,2].
Рассмотрим общую задачу, в которой необходимо найти полное число возбужденных произвольных частиц (атомов, нейтронов, электронов), энергия связи которых равна /.
Для описания каскада столкновений быстрых частиц введем энергетическую функцию распределения для движущихся частиц с энергией е в момент времени подчиняющуюся кинетическому уравнению Больцмана:
1 дф{еЛ)
V dt
Z(e)<i>(£,t) =
= J Z(e')P(e' -+e)<¡>(e',t)de' +
OO
J Z(e')P(e' - e - 1)ф(е',t)de' ■
• S(t)S(e
(1)
E-mail: rvazanoffö'comail.ru
ф(е,1) = <'/(е,£); V скорость движущихся частиц; 3](е) = АТи(е): <т(е) сечение рассеяния частицы с энергией е на другой частице; N плотность частиц в веществе; Р(е' е) вероятность того, что движущаяся частица после столкновения с другой будет иметь энергию в интервале е,е + <к\ и 6(1)6(е ^ £о) функция, описывающая моноэиерге-
675
4*
тичоский источник быстрых частиц (6-дельта-функция Дирака).
Уравнение (1) представляет собой линейное уравнение Больцмана, описывающее распределение по энергии замедляющихся частиц с учетом их размножения (второй член в правой части), возникающего вследствие возбуждения частиц при передачи им некоторой кинетической энергии.
В данной работе мы ограничимся рассмотрением стационарных решений. Стоит заметить, что нестационарное кинетическое уравнение может быть сведено к стационарному с помощью преобразования Лапласа по времени.
Перед переходом к решению этого уравнения рассмотрим более простой случай: найдем функцию распределения по энергии замедляющихся частиц без учета их размножения.
реальной индикатрисы, а с другой упростить решение уравнения (2).
Поскольку при торможении быстрых движущихся частиц энергетические потери при единичном столкновении могут оказаться значительными, для решения уравнения (2) используем метод, основанный на построении модельной индикатрисы. Для этой цели воспользуемся функцией Р(е' е), которая удовлетворяет следующим свойствам:
(1е Р(е' = ] р(£' £) = 1. (3) о о
I йе{е' -£)Р(е' е) =
2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАМЕДЛЯЮЩИХСЯ ЧАСТИЦ ВЕЗ УЧЕТА ИХ РАЗМНОЖЕНИЯ
Распределение по энергии замедляющихся частиц без учета их размножения описывается уравнением, которое проще уравнения (1) и широко используется в линейной теории переноса быстрых частиц [3]:
ОО
= I (1е'гя(е')Р(е' е)ф(е') + 6(е - е0), (2) "о
где Иа макроскопическое сечение рассеяния и поглощения замедляющихся частиц мишенями.
Решение уравнения (2) с произвольной формой сечений рассеяния Иа, Ий, Р(е' е) представляет собой сложную математическую задачу.
Точное решение уравнения (2) было получено в теории замедления быстрых нейтронов для ряда отдельных случаев при упругом сферически-симметричном рассеянии. Вдобавок к этому, для уравнения (2) был разработан ряд приближенных методов решения, которые могут быть разбиты на две группы. Первая группа включает методы решения, основанные на непрерывной теории замедления с малыми энергетическими потерями в одном столкновении (приближение возраста). Среди методов второй группы имеются такие, которые основаны на построении индикатрисы рассеяния [4], т.е. на представлении функции Р(е' е) в специальной форме, чтобы, с одной стороны, принять во внимание свойства
= I Ое(е' -е)Р(е' е) = Д(е'), (4)
(1е(е' -е)2Р(е' -»■£') =
= I {к(е' - е)2Р(е' е) = П2(е
(5)
Условие (3) представляет собой обычное условие нормировки. Согласно условиям (4) и (5) индикатриса рассеяния дает верные значения энергетических потерь в отдельном столкновении Д(е) и для величины П2(е), определяющей возможные отклонения от среднего значения реально происходящих энергетических потерь. Существует большое число функций, удовлетворяющих данным условиям (3) (5). С помощью результата, приведенного в работе [4], для функции Р(е' е) получим следующее выражение:
Р(е'^-е) =
<I [Ме'Ъ(е')
(к \ о2(е) V &)
х ехр
Г (ко
.1 оМ
А(е
7(е
(1е
х 6(
^ — ^
где
"/(б) =
П2(е 2А(г
(6)
(7)
В случае упругого рассеяния частиц равной массы, которое сферически-симметрично в системе отсчета, связанной с центром масс, выражения для этих функций имеют следующий вид: 1 „,. . 1
ДИ=2<
п2И = з<
(8)
Подстановка (8) в уравнение (6) приводит к следующему соотношению:
1
Р(е' -+£) = -в(е'
(9)
Полученное выражение (9) совпадает с точным выражением для соответствующей индикатрисы рассеяния.
Перейдем к решению уравнения (2). Подставляя уравнение (6) в интеграл уравнения (2) и дифференцируя его по энергии, получим уравнение первого порядка, решение которого для граничного условия ф(ос) = 0 принимает следующий вид:
Ф(е) =
j(e)8(e)6(£ - е0) Ss(e0)
1
■ ехр
где
н(е) = А(еЩе) I 1
Zcff (fio) 7(е)/?(е
«( d*4
de
(Ю)
(П) (12)
i _ (h
de
1
i(h ' de
7
de2
(13)
Решение (10) уравнения (2) с учетом процесса замедления частиц было получено для произвольной зависимости от энергии функций Д(е) и П2(е) при использовании соотношений для первых двух моментов индикатрисы рассеяния (см. уравнения (3) (5)). Для оценки точности приближенного выражения (10) сравним результаты, полученные на его основе, с доступным точным решением уравнения (2). В случае упругого сферически-симметричного в системе центра масс рассеяния частицы массы nil на частице массы т-2 для функций Д(е) и П2(е) имеем следующие соотношения [5]:
. . ч а . ч ае 4М
а{£)=2£■ 0(е) = Т- fV=(MW (14)
nil
Когда массы сталкивающихся частиц совпадают (о. = 1), выражение (11) совпадает с соответствующим точным решением уравнения (2) (см. работу [3]). В отсутствие поглощения (Иа = 0) функция распределения принимает вид (при е < ео)
Ф (е) = е^(е)ф(е) =
2(3 — 2а)
а( 3 — а)
Точное решение уравнения (3) в этом случае:
1 — а
(15)
*,(е)=еЦе)ф(е) =
1
а
1п(1 — а)
(16)
Численные оценки показывают, что при изменении а от пуля до единицы значение отношения Ф(е)/Ф/.(е) (см. уравнения (15), (16)) не отличается от единицы более, чем на 6%. Таким образом, аналитический подход дает хорошее приближенное решение кинетического уравнения (2) с помощью модельной индикатрисы рассеяния (6).
3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЧАСТИЦ В КАСКАДЕ МЕЖЧАСТИЧНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ
Обратимся к определению стационарного решения уравнения (1), описывающего энергетическое распределение движущихся частиц в каскаде межчастичных столкновений. Для этого мы упростим уравнение (1) так, чтобы оно имело форму, аналогичную (2), чье решение было найдено (см. (3)), и в то же время привело к законам сохранения числа частиц н рассеянной кинетической энергии в каскаде столкновений, что следует точному уравнению (1). С помощью уравнения (1) найдем необходимые законы сохранения.
Закон сохранения частиц Дг(*) (1 > 0), вовлеченных в развитие каскада столкновений, будет получен с помощью интегрирования уравнения (1) по энергии:
dN(t) dt
00
= j р(е,Ще,)ф(е,)1к\ (IT)
где
N(t) = J f(e\t)de\ 0
s'-I
p(e')= j P(e'^e)de.
Величина р(е') представляет вероятность того, что движущаяся частица с энергией е передает связанной частице количество энергии большее чем / ПРН е' < Ip(e') = 0. Умножая уравнение (1) на е' и интегрируя его по энергии от нуля до бесконечности, можно получить закон сохранения энергии, рассеянной частицами каскада при столкновениях:
8E(t) dt
До (е'Ще')(к'
где
ОС
E(t) = I tk'e'f(e',t),
(19)
(20)
До(е') =
Me')
< I.
p(e')I+ I (е'-е)Р(е' -+e)de, е' > I. -i
(21)
Из соотношений (19) (21) следует, что энергия рассеивается движущимися частицами так, что при е' < I движущаяся частица не может возбудить связанную частицу, но может только передать определенную долю своей энергии. В одном таком столкновении движущаяся частица расходует долю энергии Д(в'Ь равную потерям средней кинетической энергии в отдельном столкновении. При более высокой энергии (е' > I) энергетические потери частицы вызваны тем обстоятельством, что движущаяся частица тратит долю энергии (р(е')1) на возбуждения другой и теряет некоторую долю энергии на столкновение без ее выбивания (меньшую чем I). Все упомянутое выше п
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.