АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 1, с. 21-29
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.23:537.84.6
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ДИАГРАММНЫХ УРАВНЕНИЙ В СФЕРОИДАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ НА СИЛЬНО ВЫТЯНУТЫХ РАССЕИВАТЕЛЯХ
© 2015 г. А. И. Клеев*, А. Г. Кюркчан**
*Институт физических проблем им. П.Л. Капицы РАН 119334 Москва, ул. Косыгина 2 E-mail: kleev@kapitza.ras.ru ** Московский технический университет связи и информатики 111024 Москва, ул. Авиамоторная 8а E-mail: agkmtuci@yandex.ru Поступила в редакцию 09.04.2014 г.
Получены соотношения метода диаграммных уравнений в вытянутых сфероидальных координатах. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие сходимость и устойчивость численных алгоритмов, основанных на предлагаемом подходе. Результаты расчета сопоставлены там, где это возможно, с данными, полученными другими методами.
Ключевые слова: метод диаграммных уравнений, сфероидальные координаты, рассеяние волн, численные методы теории дифракции.
DOI: 10.7868/S0320791914060100
ВВЕДЕНИЕ
Исследования вопросов дифракции волн, основанные на решении уравнения Гельмгольца при заданных граничных условиях, весьма актуальны в современной теоретической акустике. Так, например, в работах [1, 2] методом разделения переменных в сфероидальной системе координат решена задача о рассеянии плоской волны на трехосном эллипсоиде и вытянутом сфероиде. В частности, в [2] приведены результаты для отношения полуосей до 30. В работе [3] приведены асимптотические решения для высоких частот при дифракции на сфероиде, а в работе [4] дано решение задачи о рассеянии на сильно вытянутых телах. Очевидно, что несомненный интерес представляет создание универсальной методики расчета, основанной на строгой постановке задачи дифракции. В данной статье дано дальнейшее развитие идей работ [5, 6], в которых был предложен новый метод решения задач рассеяния — метод диаграммных уравнений (МДУ) (см. также [7]). Было показано, что данный подход обладает существенными преимуществами перед многими универсальными методиками и весьма эффективен при решении широкого класса задач. Впоследствии в работе [8] МДУ обобщен на случай импедансных краевых условий, показано, что метод сохраняет свою высокую эффективность также в том случае, когда поверхность рассеивателя имеет изломы. В работе [9] МДУ применен, в
частности, для решения задачи о рассеянии волн сплюснутым сфероидом. Было показано, что скорость сходимости МДУ практически не меняется даже при увеличении отношения осей сфероида до 40 : 1.
В настоящей работе предлагается использовать вытянутые сфероидальные координаты для решения задач рассеяния на сильно вытянутых телах методом диаграммных уравнений.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА
Рассмотрим задачу рассеяния волнового скалярного поля, задаваемого функцией и(0), на препятствии, ограниченном замкнутой поверхностью S. Рассеянное поле и(1) удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца
Ди(1) + к2и(1) = 0, г е Я3\Б, (1)
где Б — область, ограниченная поверхностью S,
Б = Б и Б. Полагаем, что полное поле и = и(1) + и(0) удовлетворяет граничному условию Дирихле на S:
(и(1) + и(0))|5 = 0. (2)
Воспользуемся следующим интегральным соотношением [7, 10]:
<(r,)dGo ды (г')
дП дП
Go
Д1)
dS =
(г), г е R3\D,
-ы(0) (г), г е D,
(3)
где
Go =
_ exp (-ik |г - г') 4п |г - г'|
(4)
ы(1)(г) = -JG
o ^S, г е R\D. дП
(5)
^ = Н (п, ф), ne [-1,1], фе [0,2п]. В этом случае
— фундаментальное решение уравнения Гельм-гольца, символом д/дл' обозначено дифференцирование по направлению внешней нормали в точке интегрирования. Используя граничное условие (2), приходим к следующему выражению для рассеянного поля:
где Бтп (с, п) — вытянутые сфероидальные угловые функции первого рода, Щт (с, = Щт) (с, -
- (с, , Щ(с, - вытянутые сфероидальные радиальные функции первого и второго рода соответственно [11, 12]. Норма Итп (с) задается выражением
Nmn (с) = |S2mn (с,n)dn, с = kf. (10)
-i
Используя (8) и (9), запишем представление (5) для рассеянного поля в виде
ы(1) (г) = XX
n=0 m=-n
"m-N^RÍÜ (c,%)exp(imp) (11)
N mn (c)
Перейдем к вытянутым сфероидальным координатам £,, п, ф, которые связаны с прямоугольны- где ми декартовыми координатами x, y, z соотношениями [11]
X = fj- l)(l -n2) cos Ф,
y = fj(( -1) -n2) sin Ф, (6)
^ = f
где 2f — межфокусное расстояние.
Полагаем, что поверхность рассеивателя задается выражением:
2п 1
amn = f J \j (n, ф) Smn (c, n) X
2n
o -1
(12)
X R^-n (c,2) exp(-i'mф)dndф.
Отметим, что асимптотика рассеянного поля в дальней зоне имеет вид
ы(1) (г) ~ - exp (~ikr)
kr
g(n, ф) при r ^ да, (13)
(7) где диаграмма рассеянного поля g (п, ф) определяется выражением
S
да n
S
ды (г)
dn
dS = f
(2 - OI-(1 -n2)
2\~, ди dn
— 2 2 „ — -n — du
(1 -n2 )(2-1) дф
(8)
dndф = J (n, ф)dndф.
^ n / \ / \
G (г г') = -ikX X SmnlcnlSmnlcnJ ■
2n n=o m=-n Nmn (c)
* R $ (c, C>R % (c, ^')exp [m (ф-ф'1,
g (n, ф) = XX taJNrñex? (14)
N nm (c)
n=o m=-n
Рассмотрим случай, когда падающее поле и^ (г) является плоской волной:
Воспользуемся известным (см., например, [11]) разложением фундаментального решения уравнения Гельмгольца:
ы^ (г) = exp (-ikr cos у), cos у = cos 0 cos 0o + sin 0 sin 0o cos (ф - фо ).
(15)
(9) В вытянутых сфероидальных координатах для (г) имеет место следующее представление [11]:
Рис. 1. Поперечное сечение суперэллипсоида для qr = 2, Ь/а = 2, ¿1 = а. Значение параметра суперэллиптичности , указано вблизи соответствующей кривой.
М(0) (г) = (-)nSmn (П0)Smn (ЦК
n=0 m=-n ?(1)
Nmn (c)
x Rmn (c' exp [m (ф - ф0)], (16)
П0 = cos 00.
Используя соотношение (8) и представления (11), (15), можно J (п, ф) записать в следующем виде:
J (п, ф) = J(0) (п, ф) + J(1) (п, ф), (17)
где
J(0) (n, ф) = 2f У У (-)nSmn (c'1) X
J ) Nmn (c)
n=0 m=-n
x exp[m (ф - ф0)]
- m
(s2 - 1)Smn (c,v)Rmi (c,S)
(1 -n2 )s;sm n (c, n)R mmn (c, s) -
S 2 2
m/, S2 ul12 Л S'vSmn (c l^n (c, S) (1 -n)(S-1) m _
J (1) (n ф)= f УУ^ТТл exp (mp)x
- m
N (c)
n=0 m=-n mn У >
((- 1)Smn (c, n)R mjKc, S)-
(1 -n2 )s;sm n (c, n)R ijn (c, S)
(4)
2
S -n
7" Л S9Smn (c, n) Rm|n (c, S)
(1 -n)(s-1) m _
(19)
(18)
Подставляя разложения (18) и (19) в (12), получаем искомую систему линейных алгебраических уравнений МДУ относительно неизвестных коэффициентов атп:
а = а +
wmn wmn 1
УУ G
/ J / J umn,ц v=0 ц=-v
m = 0, ± 1, ± 2, ..., ± n, n = 0, 1, 2, ...,
ОТ n
4п
10
8
6 4
0.1
Ъ/а = 2
32
о
и-/
«1
64 *-
о-
I /
о- -6 I /
э--^
16
.32 64
128
10
15 N
Рис. 2. Зависимость нормированного сечения рассеяния плоской волны на суперэллипсоиде вращения от числа гармоник N. Параметры задачи: кЬ = 4, qs = 16, 9о = п/2, фо = 0. Значение параметра Ь/а указано вблизи соответствующей кривой. Сплошная линия и звездочки — используются вытянутые сфероидальные координаты, штриховая линия и кружочки — сферические координаты.
где
¿¿(-' Г ^^^ ехр[[ (ф-фо )]Х
V—0 ц=-у
N.V (с)
(е2 -1))(с,П)<(с,Е)-
(1 -п2 )ед V (с (с .)-
2п 1
о,
тп„
1С
2п
2п 1 о -1
^ = П { ¡$тП (с,п)^(с,Е)ехр(-/тф) Х ехр[- (т -ц)ф]]2
о -1 х ТГГ\ I"
¡¡Бт„ (С, п)Я Ц (С, ")х
Е2 _ 2
П/Е Л (с, П) ЯЙ^ (с, Е) (1 -п)(-1)
йцйф,
N„V (с)
((-1) (с, Л)Я?'(с, ")■
(22)
(1 -п2 )ВД V (с, п) (с, ")■
(21) - /Ц
"2 — 2
т л "Л(с,п) Я „V(с, Щ)
(1 -п)(-1) н
^п^ф.
РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Рассмотрим примеры использования описанной выше методики для решения некоторых задач рассеяния. Систему уравнений (20) решали
2
2
0
5
Рис. 3. Зависимость нормированного сечения рассеяния плоской волны на суперэллипсоиде вращения от числа гармоник N. Параметры задачи: кЬ = 4, Ь/а = 2, 9о = п/2, фо = 0. Значение параметра суперэллиптичности д5 указано вблизи соответствующей кривой.
численно, используя метод редукции, описанный в работе [13]. Для демонстрации возможностей предлагаемого подхода в настоящей работе рассмотрено рассеяние плоской волны на суперэллипсоиде, поверхность которого в декартовых координатах задается соотношением:
(
\ishr
= 1,
(23)
где параметры суперэллиптичности дг и дх — действительные числа. При расчетах ограничивались случаем дг, д5 > 2, Ь/а, Ь/й > 1. В этом случае поверхность, задаваемая соотношением (23), является выпуклой и гладкой. Отметим, что при дг = д5 = 2 и а = й рассеиватель является вытянутым эллипсоидом вращения. На рис. 1 приведены осевые сечения суперэллипсоида вращения для
различных значений параметра суперэллиптичности д.
Приведем результаты, иллюстрирующие сходимость рассматриваемого метода. Вначале рассмотрим рассеяние на суперэллипсоиде вращения (дг = 2, а = й). На рис. 2 приведена зависимость
нормированного сечения рассеяния к 2 а 5/4п плоской волны на суперэллипсоиде вращения от числа гармоник N (максимальное значение индекса п в
разложении (11) равно N -1). Значение к а ^ определяется выражением:
к ъ, = V 4п
2 Nm
п=0 п=-т т
(с)
(24)
Представленные на рис. 2 результаты были получены двумя способами, основанными на МДУ:
2
а
тп
2
0.1-1-1-1-1
0 5 10 15 20 д
Рис. 4. Зависимость нормированного сечения рассеяния плоской волны на суперэллипсоиде вращения от параметра суперэллиптичности д5. Параметры задачи: кЬ = 4, 00 = %/2, ф0 = 0. Значение параметра Ь/а указано вблизи соответствующей кривой.
сплошная линия и звездочки иллюстрирует результаты, полученные при использовании вытянутых сфероидальных координат. Результаты расчета по методике, использующей МДУ, уравнения которого получены в сферических координатах, показаны штриховой линией и кружочками. Из приведенных результатов следует, что при использовании сфероидальных координат скорость сходимости практически не зависит от степени вытянутости рассеивателя (в рассматриваемом случае - от отношения Ь/а). Отметим, что использование сферических координат позволяет рассчитывать дифракцию на телах, степень вытянутости которых не слишком велика (до Ь/ а = 8 в рассматриваемом случае).
При расчетах осуществлялась проверка точности выполнения оптической теоремы [14]. В рассматриваемом случае оптическая теорема может быть записана в виде
а, =- ^^ (00, Ф0)]. к
(25)
При расчета
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.