ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 414, № 6, с. 727-731
МАТЕМАТИКА
УДК 519.676
ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИКИ ИНТЕНСИВНОСТИ ПОЛЯРИЗОВАННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО
© 2007 г. Член-корреспондент РАН Г. А. Михайлов, Н. В. Трачева, С. А. Ухинов
Поступило 28.11.2006 г.
1. ВВОДНАЯ ИНФОРМАЦИЯ
Для описания поляризационных свойств света используется вектор Стокса I = (I, Q, и, У)Т, компоненты которого определяют интенсивность, степень и плоскость поляризации, а также степень эллиптичности излучения. Математическая модель переноса поляризованного излучения строится на основе феноменологического предположения о том, что в результате рассеяния ассоциируемый с "фотоном" вектор Стокса преобразуется заданной матрицей рассеяния.
Рассмотрим стационарное интегродифферен-циальное уравнение переноса излучения с поляризацией
юУФ + сФ = |с,Р(ю', ю)Ф(г, ю')<ю' + {0(г, ю)
п
или Ь Ф + с Ф = 8 Ф + Г0,
(1)
где Ф = (Ф1, Ф2, Ф3, Ф4)Т - вектор-функция плотности потока частиц (фотонов); П - пространство единичных векторов направления, ю е П, г е В с К3; Р(ю', ю, г) - матричная функция рассеяния, с = с(г) -полное сечение, с = с, + сс, сс - сечение поглощения, с, - сечение рассеяния; ^ = (/0!), /02), /03),
/04) )Т - вектор-функция плотности распределения источника частиц. Введем параметр X в уравнение
„ ~ ~ X
переноса (1) заменой с ^ с, + сс, сс = сс + — , где
V
V - скорость частиц. Рассмотрим также аналогичное однородное уравнение, положив ^ = 0.
Существует ряд задач теории переноса, при решении которых исследователей интересует асимптотическое поведение потоков излучения на больших временах в светорассеивающих средах. Известно, что для неполяризованного излучения эта асимптотика при выполнении довольно общих
Институт вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской Академии наук, Новосибирск
условий является экспоненциальной. Параметром экспоненциальной асимптотики при этом является ведущее характеристическое число X* рассмотренного однородного стационарного уравнения переноса со стандартными краевыми условиями [1].
Целью нашей работы является решение вопросов, связанных с распространением этого утверждения на случай поляризованного излучения. Для однородной бесконечной среды, т.е. для полного пространства, это достигается довольно просто на основе теории весового моделирования процесса переноса, причем оказывается, что X* = -с^ независимо от типа поляризации.
Специалистам хорошо известно также, что X* = -с^ и для полупространства. Эвристически это достаточно ясно из соображений непрерывности величины X* как функции оптической толщины плоского слоя.
Для ограниченной среды теоретически неразрешимым оказался вопрос о связи значений X* и
X*, т.е. значений параметра асимптотики соответственно для скалярного и векторного вариантов с одинаковой индикатрисой рассеяния ^11(ю, ю'). Это фактически вопрос о соотношении скоростей деполяризации потока частиц и его перехода к экспоненциальной асимптотике.
В настоящей работе с помощью прецизионных расчетов методом Монте-Карло показано, что для ограниченных сред в случае молекулярного
рассеяния X* ф X* , т.е. деполяризация потока частиц несколько запаздывает относительно перехода к асимптотике. Получена также оценка параметров векторной освещенности границы полубесконечного слоя.
2. ВЕСОВОЕ СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ С УЧЕТОМ ПОЛЯРИЗАЦИИ
Процесс распространения света можно рассматривать как случайную марковскую цепь столкновений фотонов с веществом, которые приводят либо к рассеянию (с пересчетом векто-
ра Стокса), либо к поглощению фотонов. Метод Монте-Карло заключается в моделировании траекторий этой цепи на ЭВМ и вычислении статистических оценок для искомых функционалов. Построение случайных траекторий для физической модели процесса принято называть прямым моделированием. При этом веса не используются. Указанный выше пересчет вектора Стокса уже предполагает использование матричного веса. В связи с этим в [2-6] были построены и предварительно исследованы общие матрично-весовые алгоритмы для нахождения линейных функционалов и их параметрических производных от решения систем интегральных уравнений теории переноса излучения с учетом поляризации.
Пусть h - вектор-функция с абсолютно ограниченными компонентами, т.е. hi(x) е L< при г = 1, 2, 3, 4. Рассмотрим линейный функционал вида
4
J= (ф, ^ = Х[фг (х^г(х), где вектор-функция
г' = 1 X
плотности столкновений ф = сФ = (фх, ф2, ф3, ф4)Т -решение интегрального уравнения переноса излучения с учетом поляризации:
ф(х) = [К(хх)ф(х')йх' + 1"(х),
X (2)
или ф = К ф + Г.
Здесь х = (г, ю) е X = К3 х О, ¥ - вектор-функция плотности распределения начального столкновения,
к{х, х) = Ч(г ') ехр ( -т(г' , г)- с (г) Р (ю' , ю) х
|г - г'|2
х5| ю-
г - г |г - г'
(3)
где а(г) = ——, т(г, г; ю) = [с (г + №)й1. с( г - J
0
В нестационарном случае вводится дополнительная фазовая временная координата I и ядро (3) домножается на - (г - г')/^).
Рассмотрим цепь Маркова с начальной плотностью п(х) и субстохастической переходной плотностью р(х', х), такими, что п(х) Ф 0, если Г(х) Ф 0, и р(х', х) Ф 0, если К(х', х) Ф 0, для нее N является случайным номером последнего состояния. Введем также вспомогательный случайный вектор "весов" 0п по формулам
0 = Г( х0 - 0 = К( хп - 1' хп - ° Оо п ( хо -' 0п р( хп _1, хп- 0п-1.
Оценка по столкновениям и ее т-я параметрическая производная имеют вид [2, 3, 5]
% = £ 0Тп Ь(хп) = ОТ0 Ххо,
п = 0
лтй N 7\тПТ %(т- = = У 1°. Ь (хп -.
эг ~ эг
В работах [3, 5, 6] доказано, что если спектральный радиус р(К) < 1, то эти оценки являются несмещенными, т.е. Е% = J и Е%(т) = J(m).
Известно, что Е X х = ф*(х0) и при выполнении определенных условий [3] ковариационная матрица ¥(х) = Е(Хх, ХТ) удовлетворяет матричному интегральному уравнению
¥( х - = А(х) + [
К (х, у - ¥(у) К(х, у) Р (х, у -
йу (5)
или в операторном виде ¥ = А + Кр¥, где А = hф*T + + ф^Т - hhT, ф* - решение сопряженного к (2) уравнения. Дисперсия исходной оценки % связана с ковариационной матрицей ¥ соотношением D% =
= Ех (0Т ¥(х0)(0) - J и, следовательно, из ограниченности матрицы ¥(х) вытекает конечность дисперсии оценки %.
В работах [3, 6] доказано, что если р(Кр) < 1, то V ^х) е Ь< ковариационная матрица ¥(х) удовлетворяет уравнению (5) и D% < + <. В [6] также фактически показано, что при выполнении условия р(Кр) < 1 имеем D%(m) < +<.
В работе [4] на основе теории положительных операторов вычислена величина спектрального радиуса р^р) для оператора переноса поляризованного излучения в бесконечной однородной среде. Показано, что величина р(Кр) приближенно равна произведению значения р(£р) на спектральный радиус оператора, соответствующего переносу излучения без поляризации.
Для случая молекулярного рассеяния [2] в работе [4] вычислено значение р(£р) = 1.178, и, следовательно, дисперсия оценки % в реальной среде конечна только при достаточно большом поглощении. Если процесс переноса модифицируется путем замены с сс ^ 0 с учетом поглощения
весовым множителем е [2, 5, 8], то
Р,
р(К р -< ттр Р( ^ -
(6)
и р(Кр) < 1 при р > 0.082, т.е. при относительно меньшем поглощении в среде. Неравенство (6) получается очевидным образом для мажорантного случая бесконечной среды.
N
3. ЗНАЧЕНИЕ X* ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОГО ОДНОРОДНОГО ПРОСТРАНСТВА
В пространственно-однородном случае, когда рассматривается эволюция угловой зависимости вектор-функции полной интенсивности Ф = Ф(ю), слагаемое юУФ в уравнении переноса (1) отсутствует и соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
G + - IФ = SФ.
v >
(7)
lim
r(т -
mJx
)(Xo)
= X * - Xo
Предполагается, что матрица рассеяния непрерывна по ю и, следовательно, оператор S вполне непрерывен.
Теорема 1. Главное характеристическое число X* уравнения (7) равно -сс^
Доказательство. Оператор S оставляет инвариантным конус Т непрерывных по ю вектор-функций Стокса. Нетрудно проверить, что выполняется равенство SI0 = сД0, где 10 = (1, 0, 0, 0)Т. Таким образом, значение X = X* = (с, - с^ = -о^ является характеристическим числом, соответствующим "характеристическому элементу" 10, который является внутренним для конуса Т. Следовательно, X* = -с^ - главное характеристическое число [7].
Рассмотрим теперь вопрос о временной зависимости функции Ф в пространственно-однородном случае. Если сс = 0, то эта асимптотика имеет вид С10 вследствие закона сохранения энергии и хорошо известной временной деполяризации излучения. Если же сс ф 0, то при ^ = 5(0А(ю), используя рассмотренный в конце предыдущего раздела весовой метод статистического моделирования траекторий "векторного фотона", получаем асимптотику С10е . Таким образом, в пространственно-однородном случае показатель экспоненциальной асимптотики интенсивности поляризованного излучения определяется главным характеристическим числом X* = -с^. На полубесконечный слой это утверждение переносится с помощью эвристически очевидного свойства непрерывности величины X* как функции толщины слоя. Это свойство проверено представленными далее расчетами.
Здесь X0 - некоторое начальное значение; / = = (сФх, ^ - произвольный линейный функционал
от плотности потока, /т) ^0) - т-я производная от / по параметру X в точке X = X0. Данное в [3] обоснование этого метода для скалярного варианта легко распространяется на векторный случай. Оно вытекает из представления Ф^т) =
= (-1)(т - Х) т!(Я^)-(т - Х) Ф^, где Щ1 - соответствующий уравнению (1) резольвентный оператор, в предположении сходимости соответствующих итераций Келлога.
4.2. Далее построен метод оценки временной постоянной на основе параметрических производных по времени. Здесь рассматривается нестационарный процесс переноса от источника, вообще говоря, поляризованного излучения, причем F(r, ю, ?) = /(г, ю, 010, где 10 = (10, д0, Ц,, Справедливо соотношение
/(0 = Ц фТ(г, ю, Г) Ь(г, ю)<г <ю =
я п
t
= Ш/(го, ю0, т)/0(г0, ю0, t - т)<г0 <ю0 <т,
R П 0
где
J
(Го, Wo, t) = JJ jo(r, ю, t; ro, ®o)h(r, ю)drdrn.
R П
Здесь ф0(х; г0, ю0) - векторная плотность столкновений (
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.