РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2008, том 53, № 10, с. 1317-1323
ДИНАМИЧЕСКИЙ ХАОС ^^^^^^^^^^
В РАДИОФИЗИКЕ И ЭЛЕКТРОНИКЕ
УДК 517.9
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ДВУХ СВЯЗАННЫХ ГЕНЕРАТОРОВ
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ © 2008 г. Э. В. Кальянов
Поступила в редакцию 03.04.2008 г.
Исследовано взаимодействие двух связанных генераторов, каждый из которых наряду с запаздыванием содержит инерционный элемент. Рассмотрена работа системы при асимметричных характеристиках подсистем. Показано, что при использовании асимметричных характеристик в связанной системе возможны хаотические режимы при малом запаздывании, когда автономно возбуждаются лишь регулярные колебания. Приведены результаты численного анализа оригинального сценария процесса хаотизации движений при малом запаздывании. Рассмотрено явление хаотической взаимной синхронизации в связанной системе при большом запаздывании в цепях обратной связи парциальных генераторов.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время хорошо известны автоколебательные системы, обладающие хаотической динамикой. Им посвящены не только статьи, но и монографии [1-9], тогда как еще в середине XX в. генерирование шумоподобных колебаний с помощью динамических систем не представлялось возможным [10, 11].
Широкая известность и понимание возможности хаотического поведения автоколебательных систем, описываемых детерминированными уравнениями, как известно, пришло после опубликования работы Лоренца [12], проводившего математическое моделирование прогноза погоды. Предпосылки для генерирования хаоса существовали в различных областях науки; они хорошо изложены в учебном пособии [4], где отмечено также, что впервые экспериментальное наблюдение хаоса (без объяснения его физической сущности) зарегистрировано еще Ван дер Полем и Ван дер Марком при исследовании синхронизации автогенератора.
Независимо от работы Лоренца сотрудники ИРЭ РАН в 60-х годах XX в. разработали шумо-троны, основанные на различных нелинейных элементах с запаздыванием, в том числе и на основе ламп бегущей волны О-типа (ЛЕВО) [13]. Значимость этих работ, в которых использовались подходы с позиций хаотической динамики, трудно переоценить. Работы по шумотронам были активно поддержаны академиком В.А. Ко-тельниковым, который в то время возглавлял ИРЭ РАН. По его предложению фундаментальные исследования, проведенные по шумотронам, были выдвинуты на Государственную премию. Несколько сотрудников лаборатории, руководи-
мой В.Я. Кисловым, получили также премии Совета Министров СССР за цикл работ, основанных на идеях, предложенных академиками Г.И. Мар-чуком и В.А. Котельниковым по практическому использованию генераторов с хаотической динамикой. Основные практические применения хаотических систем описаны в обзоре [14].
Актуальность исследований динамического хаоса сохраняется. С ним связаны важные научные достижения в различных областях науки и техники и, как отмечает академик В.Л. Гинзбург, хаос относится к особенно важным и интересным современным проблемам физики и астрономии [15].
Одной из актуальных проблем систем с хаотической динамикой является проблема управления хаотическими колебаниями. С ней связаны вопросы неавтономной работы хаотических систем, в том числе вопросы принудительной и взаимной синхронизации. Особенно сложными являются процессы в хаотических системах с запаздыванием, которые, несмотря на относительно давние экспериментальные исследования управления колебаниями таких систем и наличие работ по численному анализу управления различных моделей с запаздыванием, изучены недостаточно.
В данной работе приводятся результаты численного анализа связанных автоколебательных систем с запаздыванием. При этом в связанных системах впервые используются асимметричные амплитудные характеристики, отображающие реальные свойства генераторов.
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
В качестве исходных уравнений для рассматриваемой модели связанных генераторов вос-
пользуемся нелинейными дифференциально-разностными уравнениями, имеющими вид [16]
dx/dt = y - цх, dy/dt = F(z) - x[1 + ax(t- T) + ßx2], (1) dz/dt = [x(t - т) - z]/5.
Эти уравнения описывают кольцевой генератор, состоящий из нелинейного усилителя с амплитудной характеристикой F(z), фильтра первого порядка с параметром релаксации 5, линии задержки сигнала на время т и фильтра второго порядка. При этом фильтр второго порядка наряду с параметром диссипации ц содержит автопараметрическое самовоздействие, определяемое коэффициентом a и временем запаздывания T, а также нелинейную возвращающую силу, величина которой характеризуется параметром ß.
Амплитудная характеристика усилителя, в отличие от [16], с учетом ее асимметрии [2] может быть представлена в виде
F(z) = Gzexp[(z - E)n], (2)
где G - коэффициент усиления, Е, - параметр асимметрии, n - параметр нелинейности.
При a = т = 0, n = 2 уравнения (1), (2) эквивалентны уравнениям Дмитриева-Кислова, исследованным в работе [2], в которой также рассмотрено влияние асимметрии амплитудной характеристики и нелинейной возвращающей силы.
Если автопараметрическая обратная связь отсутствует, а резонансная частота колебательного контура не равна единице, то вместо (1) можем записать
dx/dt = y - (ю/0)х,
dy/dt = ffl2F(z) - х(ю2 + ßx2), (3)
dz/dt = [x(t - т) - z]/5,
где ю, Q - резонансная частота и добротность колебательного контура.
Анализируя случай с двумя генераторами при их взаимной резистивной и диффузионной связях, можем, используя (3), получить
2
dxjdt = Ух - (fflx/Qx) xx + юх ^fe - 7*х), dy1/dt = ю2 Fx(zx) - xx(ю1 + ßx x2),
dz1/dt = [x1 (t — t1 ) - z1 ]/51; dx2/dt = y 2 — (Ю2/02) *2 + ®2 D12( Xl- Y X2 ), dy^Jdt = ю2 F2(Z2) - X2(®2 + ß2X2),
dzjdt = [X2(t - X2) - Z21/Ö2,
(4)
где
Fx(zx) = Gxzxexp[(zx - Sx)"], F2(Z2) = G2z2exp[(z2 - S2)"],
(5a) (56)
Б12, Б21 - коэффициенты связи, резистивной при у = 0 и диффузионной при у = 1. Индексы 1 и 2 относятся соответственно к первому и второму генераторам.
Численный анализ модели, описываемой уравнениями (4), (5), проводился методом Рунге-Кут-та 4-го порядка при шаге интегрирования по времени, равном 0.02. Неизменяемые параметры при расчетах выбраны так, что п = 2, Е = Е2 = Е = 1, б1 = б2 = б = 10, 51 = 52 = 5 = 1. При этом полагалось, что связь симметричная, т.е. Б12 = Б21 = Б.
2. МАЛОЕ ЗАПАЗДЫВАНИЕ СИГНАЛА В ПОДСИСТЕМАХ
Как показывают расчеты автономной парциальной подсистемы, описываемой уравнениями (2), (3), при сильной асимметрии амплитудной характеристики (при Е > 0.6) автономные колебания парциального генератора остаются регулярными при любых значениях параметра релаксации инерционного элемента, если время запаздывания в цепи обратной связи равно нулю или очень мало. В этом случае, однако, могут возбуждаться хаотические движения, если расстройка частот парциальных подсистем достигает достаточно большого значения (более 20%).
В рассматриваемой связанной системе представляется оригинальным сценарий перехода от режима регулярных колебаний к хаотическим движениям (рис. 1, 2). Рисунки рассчитаны при различных значениях параметра резистивной взаимной связи, когда 01 = 62 = 12, ю1 = 1, ю2 = 1.2, у = 0 и запаздывание в цепях обратной связи подсистем незначительно (т1 = т2 = 0.2). Относительно большое различие автономных колебаний парциальных генераторов обеспечивается тем, что Р1 Ф Р2 (Р1 = 0.01, р2 = 0.04); в этом случае (при ю1 = 1, ю2 = = 1.2) частота автономных колебаний первой подсистемы ю = 1.05, а частота генерации второго генератора при его автономном режиме работы равна ю = 1.41.
На рис. 1 представлены спектры мощности суммарных колебаний (5 = 5(х1 + х2)), а на рис. 2 -характерные траектории движения изображающей точки в проекции на плоскость (х1, х2}. На каждой спектрограмме для наглядности смещения составляющих спектра двумя вертикальными линиями отмечены значения частот, соответствующие частотам генерации подсистем при их автономной работе. На рис. 1а-в отмечены основные спектральные составляющие первой (одинарная стрелка) и второй (двойная стрелка) подсистем при наличии взаимной связи.
Из рис. 1а видно, что уже при относительно слабой взаимной связи (Б = 0.12) возникает заметное частичное увлечение колебаний, причем в большей мере колебаний первой подсистемы. При
дБ
-15
-35
-55
1 { (а)
1 и V 1 1 Д |
1 1 1
дБ
-15-
I ^
-55
(г) 1
/ч^ Чч/ ГЧ
л / ^ 2—__
3 ю
Рис. 1. Спектры мощности суммарных колебаний связанной системы при различных значениях коэффициента связи: кривые 1 - О = 0.12 (а), 0.16 (б), 0.17 (в) и 0.3 (г), кривая 2 - О = 0.36.
*2 10
-10
15
10
10 -15
(а)
*2 10
-1 -101— 15 -15
(в)
10г
0-
-10
15 -15
*1
(б)
15
15
*1
Рис. 2. Траектории движения изображающей точки (в проекции на плоскость {х1, д^}) при различных значениях коэффициента связи: О = 0.12 (а), 0.16 (б), 0.17 (в) и 0.3 (г).
этом, как показывают расчеты фазовых портретов, колебаниям первой подсистемы соответствует трехоборотный предельный цикл, а колебаниям второго генератора - четырехоборотный. Поэтому движения изображающей точки в фазовом пространстве (в проекции на плоскость {х1, х2}) отображаются сложной замкнутой траекторией (предельным циклом), что свидетельствует о взаимной синхронизации на комбинационных частотах. В этом случае частоты основных составляю-
щих колебаний не совпадают, но компоненты спектра эквидистантны и расположены на одних и тех же дискретных частотах. При О = 0.16 спектр мощности изменяется - увеличивается частичное увлечение колебаний, а компоненты спектра, сохраняя эквидистантность, занимают другие дискретные значения частот (рис. 16); интервал между составляющими спектра мощности соответственно уменьшается. Фазовые портреты иллюстрируют изменение числа оборотов: колебания первого ге-
0
1
2
0
1
2
3
0
2
1
0
0
0
0
0
0
0
ад
10 5 0
-5
. ■ ■ -V
(а)
0
[Х1- Х2]
0.25
0.50
О
12
-12
(б)
'г" А* V"V ■ О"' V- ■ ^ :
ч ■ ... " .
V
■ . -.-.-да
_I_I_
0
0.25
0.50
О
Рис. 3. Изменение максимальных значений колебательного процесса первой подсистемы (а) и максимальных значений разности колебаний подсистем (б) в зависимости от параметра взаимной связи.
нератора ста
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.