АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2015, том 61, № 3, с. 295-301
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.833.5;539.3
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ СВОЙСТВ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ С ПЕРЕМЕННЫМИ СВОЙСТВАМИ © 2015 г. А. О. Ватульян, А. В. Моргунова
Южный федеральный университет 344006 Ростов-на-Дону, ул. Б. Садовая 105 Донской государственный технический университет 344000 Ростов-на-Дону, пл. Гагарина 1 E-mail: vatulyan@math.rsu.ru, annmorgan2077@gmail.com Поступила в редакцию 17.09.2014 г.
Представлен способ анализа дисперсионных соотношений для полого неоднородного цилиндрического волновода с произвольным законом изменения модулей Ламе (разрывным или непрерывным). Сформулирована краевая задача, содержащая два спектральных параметра. Произведен асимптотический анализ длинноволнового приближения, изучена структура дисперсионного множества, приведены результаты расчетов дисперсионных множеств для различных законов изменения модулей Ламе.
Ключевые слова: неоднородный цилиндр, дисперсионные кривые, упругие волны. DOI: 10.7868/S0320791915020148
Изучение колебаний в протяженных упругих структурах — волноводах — представляет собой актуальную задачу механики и акустики, имеющую многочисленные приложения при анализе динамического поведения различных протяженных структур, в частности, в сейсмологии при анализе законов распространения волн, при проектировании и мониторинге трубопроводов, в биомеханике при моделировании волновых процессов в крупных сосудах. Отметим, что волновые процессы достаточно давно изучены в однородных плоских и цилиндрических волноводах [1, 2], численные расчеты для некоторых видов материалов проведены в работе [3], волны кругового типа в полых цилиндрах изучены в [4]. Вместе с тем для моделирования многих объектов необходимо учитывать зависимость упругих характеристик (параметров Ламе) от координат, что приводит к исследованию краевых задач для дифференциальных операторов с переменными коэффициентами и существенно усложняет исследование задачи.
Важным аспектом задачи является изучение дисперсионного множества, позволяющего анализировать структуру волнового поля на поверхности и внутри цилиндра в зависимости от параметров волновода и законов неоднородности. Если для однородного цилиндра при такой структуре легко строится решение и дисперсионное уравнение, выражающееся через функции Бесселя [1, 2], то для цилиндра с переменными свойствами возможно лишь численное исследование задачи, однако не-
которые закономерности строения дисперсионных множеств и характеристики упругих волн могут быть исследованы аналитически.
Полное исследование действительных, мнимых и комплексных корней соответствующих трансцендентных уравнений, характеризующих дисперсионные соотношения для однородных цилиндров, проведено в конце XX века. Закономерности распространения волн в изотропном цилиндре достаточно подробно изложены в работах [5, 6]. В последние годы возрос интерес к различным обобщениям таких задач для цилиндрического волновода при наличии анизотропии различного вида [7] либо неоднородности в виде слоистости или функционально-градиентной структуры [8—15]. Задача о рассеянии плоской звуковой волны твердым цилиндром с радиально-неоднородным упругим покрытием рассмотрена в работе [7]. На основе сочетания численных и полуаналитических методов исследованы особенности формирования волновых полей в скважинах с радиально-неодно-родной зоной нарушения [8, 9]. В работах [10—15] анализируются подобные проблемы для слоистых и функционально-градиентных цилиндров при наличии радиальной неоднородности полиномиального вида.
Стандартная схема анализа такой проблемы в осесимметричном случае приводит к исследованию системы двух дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, зависящими как через изменения параметров
Ламе, так и их производных. Данный подход не позволяет анализировать разрывные законы, в частности дисперсионные свойства слоистых структур, особенно при большом количестве слоев. В настоящей работе представлен способ анализа дисперсионных соотношений для неоднородного цилиндрического волновода с произвольным законом изменения модулей Ламе (разрывным или непрерывным), состоящий в нахождении нетривиальных решений уравнений движения, сформулированных относительно компонент вектора У = (Уь У2, У3, У4) смещений У1 = иг, У2 = Шг радиального и касательного напряжений У3 = стг, У4 = = 1<згг в цилиндрической системе координат.
Вводя обозначения параметров: у = кЪ (безраз-
мерное волновое число), к =
2,2 рю ~ Ь
Ио
(безразмер-
(1)
У = (Аоо - к2Ао1 + уАг + у2А2) У,
где
а, = -
/(4)
аз =
2ё(4) + /(4)' 2 ё (4/4) а
2ё(4) + /(4)' 4 2ё( 4)
а2 =
2 ё (4) + /(4)'
а5 = -
2ё(4) + /(4)'
\
= 4ё( 4 ) (ё( 4 ) + /(4 )) 2 ё(4) + /(4) ' 1
ё (4 ),
а< =
Аоо =
Ао1 =
а- 0 а2 0
42
0 0 0 а6
а- о а- 0
42 4
0 0 0 -1
4;
( оооо4 0 0 0 0 10 0 0 V 0 10 0)
(
А1 =
0 а1 0 0
1 0 0 0
0 а з 0 -1
4
0 -а1 0
А2 =
(о 0 0 0 4
0 0 0 0
0 0 0 0
V о а4 0 0 )
или в координатном виде
У1
У1 = а1 V-1 + У У2^ + а2Уз, У 2 = у У + аб У4, У3 = Ра - к2) У1 + аз^ У2 + а5У - у У4, (2)
ная частота колебаний) и функций:
/(4) = и-1 МЬ 4), ё(4) = И01 И(ь 4),
Ио = тахи(-), 4 = - 4 е [4о; 1 ], 4о = а/Ь, Ь
где X = Х(г), ц = ц(г) — известные положительные функции (параметры Ламе), зависящие от координаты г, сформулируем однородную краевую задачу для оператора с двумя спектральными параметрами у, к.
Представим рассматриваемую задачу для цилиндра в виде операторного пучка
у42 у 44
У4 = ^аз) У1 + (У2а4 - к2) У2 - уахУъ - у4,
со следующими однородными краевыми условиями:
Уз( 1) = У4 (1) = Уз(4о) = У4 (4о) = 0. (3)
Краевая задача (2), (3) всегда имеет тривиальное решение. Соотношения между спектральными параметрами, при которых существует нетривиальное решение, и составляют дисперсионное множество рассматриваемой задачи. Отметим, что соответствующая краевая задача в общем случае при произвольных законах неоднородности, задаваемых положительными функциями /(^), g(t,), может быть изучена лишь численно. Изучим некоторые особенности строения дисперсионного множества для произвольных законов.
Важное значение для изучения структуры дисперсионного множества имеет анализ задачи при у = 0 и определение критических значений, из которых выходят ветви дисперсионных кривых, согласно общим свойствам [16, 17]. При этом общая задача (2), (3) распадается на две более простые задачи.
Задача 1 формулируется относительно У1 и У3 (радиальные смещения и радиальные напряжения) и имеет вид
У1 = а1У + а2Уз, Уз = (-2а4 - к2) У - азУ,
4 } 4 (4)
Уз (4о) = Уз (1) = о.
Набор значений спектрального параметра к, для которого существуют нетривиальные решения (4), характеризует критические частоты первого семейства или радиальные резонансы, которые представляют счетное множество, сгущающееся на бесконечности. Из этих точек аналитически продолжаются кривые первого семейства дисперсионного множества у1 ( = 1, 2, ...).
Задача 2 формулируется относительно У2 и У4 (продольные смещения и касательные напряжения) и имеет вид
У4,
, (5)
У4 (4о) = У4 (1) = 0.
Набор значений спектрального параметра к, для которого существуют нетривиальные решения задачи (5), характеризует критические частоты
у2 = аб У4, у4 = -к2 У2 - -4,
4
второго семейства или продольно-сдвиговые ре-зонансы. Из этих точек аналитически продолжаются кривые второго семейства дисперсионного
множества у1 (/ = 1, 2, ...). Нетрудно видеть, что эта краевая задача, независимо от закона изменения функции g(^), имеет следующее нетривиальное решение: 72 = 1, 7 = 0.
Это обстоятельство позволяет искать некоторое простое решение в окрестности точки (у = к = 0) в виде линейной зависимости, которое характеризует некоторую стержневую скорость. В области малых у, к будем строить решение задачи (2), (3) в виде разложения по малому параметру, полагая к = = /у(1 + 0(у)) и 7 = / + уУп + у2/ + о(у2). В соответствии с общей схемой регулярных разложений [16] сформулируем ряд вспомогательных задач при одинаковых степенях параметра у.
При у0 краевая задача имеет вид 70 = А00 70
или в компонентах
Yw = -1° + ^2 Y30, %
Y20 - a6 Y4
6 J40>
Y30 = I 1
v + а!ю y -14
Y10 + a5 - , Y 40 - - (. ,
(6)
которая решается численно. Отметим, что в важном частном случае неоднородности, когда f(%)
-^- = const, что соответствует постоянно-
2 g(%) + /(%)
му коэффициенту Пуассона, задача (8) имеет точное решение
/(%)
Y31 - 0,
Yn - - ,
2^) + /(Ъ)
Краевая задача при у2 имеет вид
72 = А00 72 + (—^А01 + А2) 70 + А1 71, или в компонентах
(9)
Y12 - а1 (Y" + Y21)
+ а2 Y32,
Y22 _
Yn + аб Y
6 J42>
Y32 -
Y12- f Y10 +
3 I Y21 + а5
32
-7
41>
(10)
Y42 - (% а
3I Y11
-(а4-t2) Y20-а^-^-, %
7з0 (1) = Г40( 1) = 0 7з0 (^) = ^40 (^) = 0. Нетривиальное решение (6) дается следующим вектором:
¥0 = (0 10 0).
Краевая задача при у1 имеет следующий вид:
7 = А0071 + А170, или в компонентах
7зо (1) = 742 (1) = Г32 (^) = ^42 (^) = 0. В общем случае она также решается численно и служит для определения параметра который входит в систему
Y -
Y 22 -
Y11 + аб Y4-,
Y42 -
%
Гц + (а4- t ) Y20- а1 Y31 -
42
(11)
742(1) = 742(Ъ) = 0. Считая 711 и 731 найденными на предыдущем этапе интегрирования задачи (8), из второго уравнения (11) путем интегрирования и несложных преобразований находим
Y11 - а1( Y + Y20
К, - I 1
+ а2 Y31,
+ ( % а3
п, -
Y10 + а6 Y41,
20
+ а< ^-Y
40
(7)
Y41 -
1
а3| Y10 - а 1 Y30 -
Y11 - а1 (Y + Y^) + а
2 31
1 1 Y
Y11 - ""2а4 Y11 + - а3 Y20 + а5~"" Y40,
31 %2 4 11 % 3 20 5 % 40 Y31 (1) - Y31 (%0) - 0,
(8)
t2 -
1 -%;
i%
^0
а4 - а1 Y31 + 1 а3 Y11 %
d%.
(12)
В частном случае (9), когда решение вспомогательных задач записывается в явном виде, параметр определяющий угол наклона первой дисперсионной кривой, также находится в явном виде
3 10 1 30
7з1( 1) = 741( 1) = 7з1(^0) = 741 (^0) = 0. Часть компонент вектора решений в (7) определяется в явном виде: 721 = 1, 741 = 0, а решение для остальных компонент находится из краевой задачи
t2 -
2 g % ) ( 2g( % ) + 3/( % )
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.