М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2014
УДК 532.546
© 2014 г. А. А. АФАНАСЬЕВ
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИОННОСТИ РАЗРЫВОВ ПРИ ФИЛЬТРАЦИИ БИНАРНОЙ СМЕСИ
Рассмотрены поверхности разрывов (ударные волны) при неизотермической фильтрации бинарной смеси углекислый газ—вода. На плоскости определяющих параметров исследованы адиабаты разрывов и построены их диаграммы эволюционности. Показано, что одна из ветвей адиабаты соответствует фронтам вытеснения в пористой среде, на которых температура не имеет разрыва и фазовые переходы отсутствуют, вторая ветвь — разрывам температуры и фронтам фазового перехода. Различные ветви адиабаты могут пересекаться в точке, соответствующей точке Жуге для параметров как перед, так и за разрывом конечной амплитуды. Показано, что поведение адиабаты в окрестности данной двукратной точки Жуге отличается от классического поведения адиабаты в однократных точках Жуге.
Ключевые слова: пористая среда, фильтрация, адиабата разрыва, эволюционность, точка Жуге.
Исследование течений в пористой среде часто сводится к анализу разрывных решений смешанных систем уравнений, описывающих фильтрацию. Классическим примером служит разрывное решение задачи Баклея—Леверетта, в которой рассматривается изотермическое вытеснение в пористой среде одной жидкости другою, несмешиваю-щейся с первой [1]. Решение задачи можно построить только используя поверхность разрыва — фронт вытеснения, на котором давление непрерывно, а рвутся насыщенности жидкостей и градиент давления. При этом важную роль играет условие эволюционности разрыва [2], позволяющее определить единственное решение задачи.
В работе [3] предложено обобщение решения задачи Баклея-Леверетта на случай двухфазной фильтрации однокомпонентного флюида с учетом фазовых переходов и теплопроводности (например, фильтрация воды и пара). Определение эволюционности разрывов насыщенности внутри двухфазных областей фильтрации сведено к исследованию адиабаты разрыва — аналога функции Баклея-Леверетта. Показано, что эволюционность разрыва можно проверить, сравнивая наклон касательных и секущей к адиабате между состояниями перед и за разрывом. В работе [4] данный поход обобщен на случай разрывов между областями однофазной и двухфазной фильтрации.
В работе [5] рассмотрены разрывы температуры при однофазной фильтрации, в случае если теплопроводностью можно пренебречь. Показано, что так же, как и для разрывов насыщенности, анализ эволюционности фронтов температуры сводится к исследованию взаимного расположения касательных и секущей к адиабате. Отличие от задачи Баклея-Леверетта заключается в том, что поведение адиабаты зависит от параметров течения перед разрывом.
Разрывные решения задач фильтрации с учетом многокомпонентного состава смеси рассматривались, например, в работах [6, 7]. В предположении постоянства плотностей фаз смеси и температуры показано, что возможно два качественно различных типа разрывов: разрывы насыщенности, на которых свойства фаз непрерывны и фазовые переходы отсутствуют, и фронты фазового перехода, на которых рвется компонентный состав фаз. Исследование эволюционности разрывов в [6, 7] не проводилось.
Общие методы исследования разрывов в решениях гиперболических систем уравнений изложены в работе [2]. Несмотря на то, что фильтрация описывается смешанной системой уравнений, в настоящей работе демонстрируется, что методы, изложенные в [2], могут эффективно использоваться для исследования эволюционности разрывов в пористой среде. Показано, что поведение адиабаты разрыва для уравнений фильтрации во многом схоже с поведением адиабаты для гиперболических систем.
В работе рассматриваются разрывы при неизотермической многофазной фильтрации бинарной смеси. Дисперсионный анализ уравнений, описывающих данные процессы, проведен в работе [8], где было показано, что в областях однофазной и двухфазной фильтрации система уравнений всегда имеет две действительные характеристики, а в областях трехфазной фильтрации возможно вырождение системы, связанное с появлением комплексных характеристических скоростей [9]. В связи с этим в данной работе ограничимся разрывами при однофазной и двухфазной фильтрации смеси.
В настоящей работе исследованы фронты насыщенности, температуры и компонентного состава смеси, в случае если разрыв имеет каждая из указанных величин. Ранее подобные разрывы не рассматривались. Эволюционные отрезки адиабаты, которые определены в работе, содержат только как частный случай эволюционные отрезки для описанных выше фронтов насыщенности или фронтов температуры, которые могут быть определены более простыми методами [1, 3—5]. Также в настоящей работе впервые при анализе фильтрации применены общие методы исследования разрывов [2].
Адиабаты разрывов рассмотрены для случая фильтрации бинарной смеси С02— Н20, теплофизические свойства которой вычислялись с инженерной точностью в широком диапазоне термобарических условий [10, 11]. Следовательно, результаты настоящей работы позволяют достоверно описать разрывы в фильтрационных процессах, связанных с производством геотермальной энергии [12] и с действующими проектами захоронения углекислого газа в недрах Земли [13].
1. Основные уравнения. Течения бинарной смеси в пористой среде рассматриваются в пренебрежении диссипативными процессами, связанными с диффузией, теплопроводностью и капиллярными эффектами. Учитывается только конвективный перенос массы и тепла из-за движения фаз. Предполагается, что смесь находится в состоянии термодинамического равновесия и в состоянии теплового равновесия со скелетом породы. Сила тяжести пренебрегается. Для моделирования одномерных нестационарных фильтрационных течений используется следующая система уравнений переноса
Здесь / — плотность в элементарном объеме сплошной среды, Q — поток, £ — координата в пространстве, индекс г = 1,2 относится к законам сохранения массы первой (С02) и второй (Н20) компоненты смеси, а индекс г = 3 — к закону сохранения энергии соответственно.
Для плотностей и потоков Q¡ выполняются соотношения [1, 3—8, 11]
[2, 14]:
(1.1)
р р
Ъ = тЕ'¡¡РСю)* ] = 1,2 fз = тЕ^ре +(1 - т)Ре
(1.2)
Qj = Е р1 =1,2 & = Е Р^-
(1.3)
Здесь т — пористость, 5 — насыщенность, р — плотность фазы, с^ — массовая доля компоненты ] в фазе г, е — внутренняя энергия, к — энтальпия, ^ — скорость фильтрации, индексом г обозначены параметры фаз, а индексом 5 — параметры скелета пористой среды. Согласно правилу фаз Гиббса, максимальное число фаз в термодинамическом равновесии бинарной смеси не выше трех (р < 3).
Уравнения переноса (1.1) дополняются законом фильтрации Дарси [1]
* = П % (1.4)
Здесь К — проницаемость породы, п — относительная фазовая проницаемость, ^ — вязкость, Р — давление.
Для замыкания уравнений (1.1)—(1.4) необходимы соотношения, задающие тепло-физические свойства подвижных фаз и скелета пористой среды. Для расчета свойств бинарной смеси углекислый газ—вода используется подход, основанный на поиске максимума энтропии смеси, при заданных давлении Р, молярной энтальпии к, и молярной доли С02 в составе смеси х(. Данная задача представляет собой математическую формулировку условия максимума энтропии в состоянии термодинамического равновесия. Определив данный максимум, можно найти термодинамические свойства и насыщенности различных фаз смеси. Принципы расчета свойств в рамках данного подхода изложены в [10], а использующиеся в настоящей работе коэффициенты уравнения состояния смеси С02—Н20 взяты из работы [11]. Для расчета вязкостей фаз ^ применяется принцип соответственных состояний [15].
Предполагаем, что скелет пористой среды несжимаем р, = 2.9 г/см3, а удельная внутренняя энергия е, задается следующим соотношением:
е, = С,Т (1.5)
Здесь С, = 0.84 кДж/кг/К — теплоемкость материала породы, а Т — температура. В расчетах пористость породы полагалась равной т = 0.25.
В зонах двухфазной фильтрации для относительных фазовых проницаемостей выполняются соотношения [16]
П = 54, П£ = (1 - 5I)2(1 - 52) (1.6)
Здесь индекс I относится к параметрам более плотной жидкой фазы, а индекс £ — к параметрам менее плотной газообразной фазы.
Таким образом, по заданным независимым переменным Р, к,, х( можно определить параметры всех фаз и свойства скелета пористой среды. Тогда, подставив (1.4) в (1.1), имеем замкнутую систему уравнений
I Мщ, иъ Р) + ^ (-£ («1, «2, Р)«), г = 1,2,3 (1.7)
ОТ дс
£1 = X РС/(ЛК П, 1 = 1,2; £з = X Р кК П
=1 ^ г=1 ^
Здесь и в дальнейшем обозначаем переменные следующим образом:
, дР
и1 = к, «2 = X,, из = — д$
Также положим, что и3 < 0, так как этого всегда можно добиться, изменив направление оси £.
2. О малых возмущениях. Система (1.7) имеет одно малое возмущение параболического типа, описывающее распространение волн давления, и два малых возмущения гиперболического типа, скорости которых ск, к = 1,2 можно представить в виде [8]
с к = к (и1, и2)из, к = 1,2 (2.1)
Вычисление коэффициентов пропорциональности Xк, входящих в соотношения (2.1), сводится к рассмотрению дисперсионного уравнения системы (1.7) и определению коэффициентов следующей квадратной матрицы 3 х 3:
А = /- Еу (2.2)
/у=/, /з = 0, Еу , Егз = Ей i = 1,2,3, у = 1,2
диу диу
Коэффициенты Xк являются решением задачи на собственные значения [8]
аег А = 0 (2.3)
Уравнение (2.3) — квадратное уравнение относительно А, которое в случае однофазной и двухфазной фильтрации (р < 2) всегда имеет два действительных корня.
В дальнейшем будем называть Xк собственными значениями пары билинейных форм /у и Еу, а векторы 1 к = {/к1,1к2,/к3} и гк = {г1к, г2к, г3к} левым и правым собственным вектором, соответствующим собственному значению X к
/кпЕ-(/у'Ьк - Еу) = а (/у*.к - ЕуУук = 0 (2.4)
Можно показать, что при подобном определении правый собственный вектор задает направление изменения величин в малом возмущении, распространяющемся со скоростью ск [2]. Также нетрудно убедиться, что левый и правый собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Здесь и ниже по повторяющимся индексам предполагается суммирование от единицы до трех.
Упорядочим характеристические скор
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.