МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2013
УДК 532.546:536.24
© 2013 г. М. М. РАМАЗАНОВ
ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ
ОКОЛОКРИТИЧЕСКОГО ГАЗА ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА ПРИ СУЩЕСТВЕННЫХ ПЕРЕПАДАХ ТЕМПЕРАТУРЫ
Изучаются качественные закономерности стационарной фильтрационной конвекции околокритического газа Ван-дер-Ваальса при существенных перепадах температуры. Объект исследования представляет собой насыщенное газом тонкое пористое кольцо в вертикальной теплопроводной плоскости. Предложена и обоснована адекватная математическая модель, основанная на усреднении двумерных уравнений конвекции по толщине кольца. Выявлен характер зависимости характеристик естественной конвекции от небуссинесковских параметров (критериев сжимаемости, перепада температуры и близости к критической точке). Обсуждаются пределы применимости ранее известных закономерностей, связанных с условиями возникновения и свойствами стационарной конвекции.
Ключевые слова: конвекция газа Ван-дер-Ваальса, тепло- и массообмен в околокритической среде, пористая среда, небуссинесковские параметры.
За последние 10—15 лет получены значительные результаты по изучению естественной конвекции жидкостей (газов) с параметрами из окрестности критической точки фазового перехода жидкость — газ. Обзор соответствующих работ дан в [1, 2]. В них показано, что динамические и тепловые свойства сильно сжимаемого околокритического газа Ван-дер-Ваальса и слабо сжимаемого совершенного газа обладают признаками подобия [3, 4]. Выведены и с использованием результатов численных и физических экспериментов обоснованы, калибровочные формулы [3—5]. Эти формулы позволяют по расчетам для совершенного газа с модельными параметрами пересчитать характеристики стационарной конвекции для околокритического газа Ван-дер-Ва-альса. Выведены аналогичные калибровочные функции, позволяющие пересчитать реальное критическое число Рэлея, учитывающее сжимаемость среды по критическому числу Рэлея в приближении Буссинеска [6]. Эти формулы обобщают и уточняют формулу Джеффри для совершенного газа [7]. Показано, что реальное критическое число Рэлея как для совершенного газа, так и для газа Ван-дер-Ваальса убывает с ростом перепада температуры и растет с ростом критерия сжимаемости. Причем таким образом, что критическое значение введенного с помощью калибровочных функций "модифицированного числа Рэлея для стратифицированной среды" остается постоянным [6, 5]. Эти свойства имеют место как при конвекции в полости, так и при конвекции внутри пористых сред.
Однако почти все указанные исследования явно или неявно предполагают, что физические свойства газа мало меняются в пространстве. Исследования общего случая сопряжены с дополнительными трудностями ввиду сингулярного поведения тепло-физических свойств газа вблизи критической точки. В этой связи разумное упрощение задачи с сохранением ее основных особенностей приобретает большое значение. Такой подход, использованный в [8], позволил получить ряд результатов, относящихся к общему случаю. В частности, удалось найти аналитическое выражение критического числа Рэлея. При этом в основном изучены различные асимптотики при при-
ближении к критической точке, а нелинейная задача рассмотрена лишь при слабом пространственном изменении свойств газа. Данная работа является продолжением [8]. Ее цель — выявить общие закономерности зависимости критического числа Рэлея, определяющего порог возникновения среднего по сечению кольца движения, а так же характеристик конвекции над этим порогом от небуссинесковских параметров. Установлено, что эти закономерности носят отнюдь немонотонный характер, как ранее предполагалось на основе рассмотрения различных задач в приближении малых пространственных изменений свойств газа.
1. Математическая модель. Рассмотрим следующую постановку задачи. Насыщенная газом Ван-дер-Ваальса пористая среда заполняет тонкий зазор между двумя коаксиальными горизонтальными цилиндрами большой длины, расположенными в теплопроводном пространстве. Газ находится в состоянии, близком к термодинамической критической точке. Рассматривается двумерная задача в плоскости, ортогональной оси цилиндров. Средний радиус цилиндров обозначим г0, а толщину зазора h (Н < г0). На бесконечности задан вертикальный, направленный вдоль силы тяжести, постоянный градиент температуры G. Предполагаем, что полная масса газа М в пористом кольце (контуре) задана. Требуется определить зависимость критического числа Рэлея, определяющего порог возникновения усредненного по сечению кольца движения, и характеристик стационарной конвекции над этим порогом от сжимаемости газа, заданного вдали от контура градиента температуры и параметра близости к критической точке.
Коэффициенты переноса и проницаемость считаем функциями лишь параметров т и п — относительных отклонений средней температуры и средней плотности от соответствующих критических значений. Изохорную теплоемкость газа считаем постоянной и независящей также и от этих параметров. Остальные термодинамические коэффициенты зависят от параметров состояния и являются переменными величинами. Все термодинамические коэффициенты вдали от критической точки совпадают с соответствующими значениями для совершенного газа. Такой подход, предложенный в [3, 4], удобен для сравнения с совершенным газом и выявления эффектов, связанных с сильной сжимаемостью и другими аномальными свойствами в окрестности критической точки.
Двумерную математическую модель данной задачи в приближении Дарси запишем в полярных координатах (г, ф) в виде
dt r dr r <Эф Cm дТ + pCpUV T - твтТdp = V(XfflV T) - pg^rT ( cos ф + ur sin ф) p = p(p, T), Cm = (1 - m)Cs + mpCp, X m = (1 - m)X s + mX
Здесь u(ur, uv) — скорость фильтрации газа; p, p, ^ - давление, плотность и вязкость газа соответственно; к — проницаемость кольца; m — пористость кольца; T — температура среды в кольце; Cm, Cs — теплоемкость единицы объема насыщенной газом пористой среды и вмещающих пород; Cp — удельная изобарическая теплоемкость газа; pT — коэффициент теплового расширения газа; X, Xm — коэффициенты теплопроводности газа и среды внутри кольца; Xs — коэффициент теплопроводности вмещающих пород.
5 Механика жидкости и газа, № 4
Ц 1 др „
,Uy +--£1 + pg cos ф = 0, к r дф
ц др . „
— ur + — + pg sin ф = 0 к dr
др
(1.1)
Вне контура имеем уравнение теплопроводности: СпдТп/д1 = X «АТ«, где Сп,Тп, X « — теплоемкость единицы объема, температура и коэффициент теплопроводности среды вне кольца.
В качестве граничных условий потребуем непрерывность температуры и теплового потока на границах кольца, периодичность величин Т, р внутри кольца по ф, сохранение полной массы газа в кольце, ограниченность температуры в начале координат и равенство ее градиента заданной величине на бесконечности.
Учитывая, что толщина кольца мала, упростим задачу. Для этого усредним систему уравнений по сечению кольца. При этом для того, чтобы получить замкнутую задачу, необходимо выполнение определенных условий. Найдем эти условия. Прежде всего потребуем, чтобы характерное изменение температуры и давления по сечению кольца было мало по сравнению с их характерным изменением в направлении изменения угловой координаты. Для этого достаточно, чтобы их производные в радиальном и тангенциальном направлениях были одного порядка. Если число Рэлея много меньше некоторого значения, которое будет найдено ниже, в кольце не образуется тепловой пограничный слой и справедливы оценки дТ/дг ~ (1/г)дТ/дф ~ О. И требуемое условие для температуры выполнено.
Из первых двух уравнений системы (1.1) вытекает, что это условие выполнено и для давления, т.е.
др 1 др
—---- ~ Р£
д г г дф
Следовательно, и для любой термодинамической функции производные по радиальной и тангенциальной координате будут одного порядка, значит, их изменением по толщине тонкого кольца можно пренебречь по сравнению с изменением в зависимости от угловой координаты. Кинетические коэффициенты считаем независящими от пространственных координат. Кроме того, из уравнения неразрывности следует оценка иг ~ ки^/г0 < Ыф. Осталось потребовать, чтобы и^ мало менялось по сечению кольца.
Будем отсчитывать температуру от некоторого характерного значения Т0. Обозначим среднюю массовую скорость (ры^, возмущение средней массовой скорости рш = риф — (риф), соответствующие этим величинам массовые расходы 2 = (ри^ к, 2' = р^к (((') = 0). Из характерных величин, входящих в задачу, составим число Рэлея
= kp2CpgвтGгo2
Из уравнения Дарси имеем оценки
2 ~ Т, 2(Т - Т) (1.2)
го СрОго го СрОго
Пока число Рэлея не очень велико, в кольце не формируется тепловой пограничный
слой и справедлива оценка Т - (Т) ~ Ок. В результате из (1.2) имеем 2' ~ Яак2Х«/(г02С«).
Далее, усредняя уравнение переноса тепла, получим следующую оценку
((Т} ~ (1.3)
Ср
Из (1.2), (1.3) получим 2 ~ («/С«)Яак/г0.
Более точная оценка, пригодная вблизи критического числа Рэлея
Q ~ (Ra - Rac)h ^ V r0 Cp
В результате имеем
,2 л
Q ~ Rah¡ЛП (1.4)
Го Cp
Вблизи критического числа Рэлея
Q ~ Rah(1.5) Го Cp
Условие однородности скорости по сечению кольца можно записать в виде Q' ^ Q. Подставляя (1.4), (1.5) и последнюю оценку из условия малости Q, получим
R h3 3
Ra/Rac - 1 > , Ra ^ Г03 (1.6)
Го h
Для умеренных движений над порогом устойчивости имеем
Rah ~ Rah ^ ^ Q ~ h Го Го Q Го
Если число Рэлея достаточно велико, то в кольце формируется тепловой пограничный слой. Аналогично [9] можно показать, что толщина этого пограничного слоя 8t в данной задаче оценивается величиной
* í h Г
*t ~ I тп;— I Го
^ NuRaГо) Здесь Nu — число Нуссельта.
3 3
Отсюда при Ra ~ Го /h и Nu ~ 1 имеем оценку 8t ~ h, т.е. при нарушении второго условия (1.6) начинает формироваться тепловой пограничный слой и предлагаемая модель несправедлива. В этом случае необходимо учитывать структуру полей внутри кольца. Первое из условий (1.6) обсуждается в следующем разделе.
Далее будем считать, что число Рэлея удовлетворяет ограничениям (1.6). Таким образом, если толщина кольца мала и выполнены (1.6), можно усреднить систему (1.1) и с точностью до величин порядка h/Го ^ 1,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.