научная статья по теме ИССЛЕДОВАНИЕ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ОБОЛОЧКОЙ И ОСНОВАНИЕМ, ИМЕЮЩИМ ВЫРЕЗЫ Машиностроение

Текст научной статьи на тему «ИССЛЕДОВАНИЕ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ОБОЛОЧКОЙ И ОСНОВАНИЕМ, ИМЕЮЩИМ ВЫРЕЗЫ»

ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН

№ 3, 2015

УДК 539.3

© 2015 г. Емельянов И.Г.

ИССЛЕДОВАНИЕ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ОБОЛОЧКОЙ И ОСНОВАНИЕМ, ИМЕЮЩИМ ВЫРЕЗЫ

Институт машиноведения УрО РАН, г. Екатеринбург

Для оболочки, лежащей на основании, имеющем вырезы, определены контактное давление и область контакта. В качестве метода исследования использовался метод контактных элементов. В качестве примера рассмотрено контактное взаимодействие тонкой изотропной цилиндрической оболочки, лежащей на упругом и жестком основании.

При проектировании различных технических объектов для обеспечения прочности и надежности необходимо оценивать их напряженное состояние при различных эксплуатационных нагрузках. При этом иногда для нахождения распределения действующей нагрузки на технический объект приходится решать контактную задачу. При решении многих прикладных задач возникает необходимость в решении контактных задач для оболочечных конструкций, взаимодействующих с упругими или жесткими телами различной формы [1—3]. Среди огромного количества работ, посвященных контактным задачам, можно выделить [4, 5], в которых собрана исчерпывающая библиография по постановкам и алгоритмам решения данных задач. Однако среди разнообразных постановок таких задач работ, посвященных задачам контакта оболочек с не сплошным основанием, не много. Хотя данный класс задач описывает достаточно часто встречающиеся на практике задачи контакта оболочки с основанием или ложементом, имеющим вырезы [3]. При решении таких прикладных задач для учета всех особенностей реальных технических объектов обычно используют метод конечных элементов [6].

В настоящей статье предлагается использовать метод решения контактных задач, разработанный в работах [7—9] для определения контактного давления для тонкой оболочки, лежащей на основании, имеющем вырезы.

Постановка задачи. Рассмотрим задачу для тонкой оболочки вращения, лежащей на не сплошном основании. Задача состоит в определении контактного давления по неизвестной в двух направлениях области контакта. Такая область контакта, например, будет образовываться между цилиндрической оболочкой, нагруженной силой P, и основанием, имеющим вырезы (рис. 1). При необходимости затем может быть найдено напряженное состояние этой оболочки от внешней нагрузки и найденного контактного давления.

Координатную поверхность оболочки вращения отнесем к криволинейной ортогональной системе s, 9, где s — длина дуги меридиана, 9 — центральный угол в параллельном круге. Линии s = const, 9 = const являются линиями главной кривизны.

Система равновесия для контактирующей оболочки имеет вид [2]

3Y = f + qXA, X(s, 9 е ) = 1, l(s, 9 g ) = 0, (1)

Рис. 1 Рис. 2

Рис. 1. Цилиндрическая оболочка, нагруженная силой Р, лежит на основании, имеющем вырезы Рис. 2. Контактный элемент с размерами ав и ав по меридиану и окружности

где 3 — матричный дифференциальный оператор; Y — вектор разрешающих функций;

f — вектор внешней нагрузки; Л — столбец, элемент которого, отвечающий уравнению равновесия в проекции на нормаль к поверхности, равен единице, а остальные элементы — нулю; q — контактная нагрузка, действующая по нормали; Q+(s, 9) — область контакта.

Для описания тонкой оболочки вращения воспользуемся классической теорией, основанной на гипотезах Кирхгофа—Лява. Следовательно, задача определения напряженно-деформированного состояния оболочки с переменными вдоль образующей параметрами будет описываться системой [10, 11]

I? = У (s, 9)^+f (s, 9), Y = {Nr, Nz, S, Ms, u, uz, v, S,}, (2)

ds „ d9m

m = 0

где Nr, Nz — радиальное и осевое усилия; u, uz — аналогичные перемещения; S — сдвигающее усилие; Ms — меридиональный изгибающий момент; v — окружное перемещение; Ss — угол поворота нормали. Элементы матрицы Am зависят от геометрических и механических характеристик оболочки.

Учитывая (1) и (2) для контактирующей оболочки, можно записать [8, 9] - 4 m-

dY = У Am (s, 9) d-Y+f(s, 9) + XEq(s, 9), q = { q, qs, q0, 0, 0, 0, 0, 0 }Г, (3)

ds ^ d9m

m = 0

где E — единичная матрица.

В настоящей статье меридиональные и окружные контактные усилия qs, qe, возникающие за счет трения или адгезии [8], учитывать не будем.

Раскладывая компоненты внешней нагрузки, контактной нагрузки и искомые функции в системе (3) в ряды Фурье по окружной координате 9 и разделяя переменные для каждого члена разложения, имеем разрешающую систему обыкновенных уравнений восьмого порядка [10, 11]

= Ak(s)Yk + gk(s) (k = 0, 1, 2...), AK(s) = \aj (s) (i,j = 1, 2...8), ds (4)

¿k = {¿ik-- '¿8k }

с граничными условиями B1Y(s0) = b1, B2 Y(sL) = b2 .

Здесь В1, В2 — заданные матрицы; Ь\, Ь2 — заданные векторы; £ (л) — вектор, учитывающий внешнюю и контактную нагрузку; к — номер гармоники.

Таким образом, систему (4) можно проинтегрировать с использованием метода дискретной ортогонализации [10].

Однако для решения системы (3) необходимо знать вектор д . Поскольку оболочка контактирует с не сплошным основанием, то область О можно представить как О = О+ + ОВ + О_, где О+ — искомая область контакта, на которой действуют одностороннее контактное давление д; ОВ — область вырезов; О_ — дополняющая область до физически возможной области О.

Действующая на оболочку вращения внешняя нагрузка, главный вектор которой равен Р, связан с контактным давлением д на криволинейной поверхности оболочки следующим соотношением

P =

= jg(5, 9)cosфcos9dA, (5)

A

где ф, 9 — углы между направлением действия силы и нормали к криволинейной поверхности оболочки в направлении s и 9. В данном случае в соотношении (5) площадь контакта A = Q+.

Метод решения задачи. Любую возможную область Q можно представить в виде совокупности прямоугольных контактных элементов с небольшими размерами (рис. 2). Для задачи, показанной на рис. 1, физически возможную область контакта Q представим в виде искривленного прямоугольника с размерами b и 2tB, где b — размер области по направлению координаты s, а 2te — размер по направлению криволинейной координаты, определяемой углом 9. На данной области существуют области с вырезами. Границы области вырезов будут параллельны координате s.

Проведем дискретизацию области Q (N х K) прямоугольными криволинейными элементами (N, K — число элементов по окружности и меридиану). Для этого область Q разобьем на участки в меридиональном направлении, а полученные кольца разделим на одинаковое количество элементов по окружности. На каждом полученном элементе в области Q+ примем постоянное значение контактного давления q > 0, а на каждом элементе в области вырезов q = 0.

Следовательно, взаимодействие между оболочкой и основанием можно представить определенным количеством усилий XiJ, приложенных на множестве элементов

qi] = Xya-1, i = 1... N, j = 1... K,

где a = ae х as (ae, as — размеры по окружности и меридиану) — площадь элемента.

Для определения усилий взаимодействия воспользуемся смешанным методом строительной механики [12]. Учитывая наличие возможной упругой прокладки между оболочкой и основанием, уравнения для первого кольца будут иметь вид [7, 9]

N

£ 511X(1) - Zcos 91 + DX? = 0,

i = 1

£ 5nX(0 - Zcos 9n + DX1 = 0, (6)

Ni

i = 1

N

cos

i = 1

£ cos9iX(1) = P(1).

Здесь 8ij — перемещение в основной системе координат по направлению i связи от единичного усилия, введенного по направлению отброшенной j связи; Zcos9i — перемещение в основной системе по направлению отброшенной i связи, происходящее от единичного перемещения по направлению введенной связи; X¡ — неизвестные усилия взаимодействия. В системе (6) индекс в скобках обозначает номер кольца. Р1 — сила, действующая на первое кольцо.

В системе (6) D есть оператор, связывающий реактивное усилие i точки поверхности основания и ее перемещение. Оператор D является аналогом параметра регуляризации [13], применяемым в аналитических методах решения контактных задач теории оболочек [2]. Для рассматриваемой задачи будем использовать простейшую модель линейно-деформированного основания — модель Винклера [3], и, следовательно, D = 1/ca, где c — коэффициент постели.

Податливость оболочки 8ij в системе (6) определяется от единичных усилий P* = 1, распределенных на контактных элементах длиной ae, каждый из которых стягивается центральным углом Л9 и представленных в виде разложения в ряд Фурье

01 =

р*

п R1as [ 2

1

V2 sin ( ме/2 ) cos kel,

кле

к = 1

(7)

где п — количество удерживаемых гармоник.

Разложение (7) широко применялось при решении контактных задач [7—9], а в работе [14] сравнивалось с решением, полученным методом конечных элементов. Учтем влияние оставшихся К — 1 колец на первое [7, 9]

К N

VV ^¿f - Z1 cos е1 + dX?

0,

: 1 Í = 1

^ - Z1 cos eN+dX1 = 0,

j = 1 i = 1

(8)

N

V cos eXil) = р

(1)

i = 1

Уравнения (8) в матричном виде, учитывая симметрию задачи относительно вертикального сечения при 9 = 0, примут вид

[ ^ЦХ}1, - { С} = 0, { С}Т{Х1)} = 0,5Р( . (9)

Здесь {Х}т = {Х^... ХМ... Хк ... ХМ} — вектор размера М х К неизвестных усилий, М = N/2; 2(-1) — смещение центра окружности в первом кольце; {С}т = {ео891.ео89М} —

вектор косинусов; {Х(1)}т = {Х^ ...ХЦ}.

[ <] =

w™ + w21) D w21) + w(31) . ■ wM hw<M+1 . (k) (k) (k) •W1 + w2 w2 + (k) HWj . T a (k) -wM + 1

w^K wfh D . ■w^ 1 + w<M+ 2 . (k) w¡ (k) . (k) ■ WM - 1 (k) + wM + 2

симм ,w11) + "2M + D . симм. . (k) ■ W1 (k) + W2M

где w¡ = 8U = urt, i = 1, ..., N.

Система (9) состоит из М + 1 уравнения и имеет М х (К + 1) неизвестных. Используя блочный вид матрицы (10), уравнение (9) можно записать как

[#11 #12 ••• #1К

{ X4} { X 2)}

{ Х(К) }

- Х 1}{ с} = о.

Вводя трехмерную индексацию п, т, р (п = 1+2М — номер элемента на окружности, т = 1+К — номер кольца, р = 1+К — номер кольца, на котором приложена сила), матрица Н будет иметь вид

М1тр + М2тр + Ьтр°

М2тр + М3тр

™Мтр + + 1, тр

симм

1тр + тр + Кр° • - 1, тр + + 2, тр

••• ™1тр + ™2М, тр + ^тр°|

(11)

В матрице (11) 8тр — символ Кронекера.

Аналогичным образом составляются уравнения оставшихся К — 1 колец, и все уравнения сводятся в одну систему

[ #11 ] [ #12 ] • • [ #1к ] {х( } "{ о( 1) }"

[ #2

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Машиностроение»