МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <2 • 2008
УДК 532.516.5:532.546:536.2
© 2008 г. Р. Р. СИРАЕВ, В. И. ЯКУШИН
ИССЛЕДОВАНИЕ КОНВЕКЦИИ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СЛОЕ НАСЫЩЕННОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ
Численными методами для модели пористой среды Форцгеймера в приближении Буссинеска изучены структуры конвективных движений и характер теплопередачи в горизонтальном цилиндрическом слое. Обнаружены новые асимметричные решения уравнений конвективной фильтрации. Исследованы их возникновение, области существования и устойчивость. Одно из них представляет собой многовихревую структуру с несимметричными вихрями в приполярной области. Другое несимметричное решение реализуется при больших числах Грасгофа в виде конвективного факела, отклоненного от вертикали. Пороговое значение числа Грасгофа образования асимметричных движений зависит от числа Прандтля и толщины цилиндрического слоя.
Ключевые слова: горизонтальный цилиндрический слой, насыщенная пористая среда, модель Форцгеймера, конвекция, симметричные и асимметричные решения, устойчивость.
Наиболее полный обзор теоретических и экспериментальных работ по конвекции в насыщенных пористых средах представлен в [1]. Теоретическое изучение проводилось преимущественно на основе модели Дарси, справедливой для достаточно малой скорости фильтрации.
Одной из часто используемых конфигураций для изучения естественной конвекции в насыщенной пористой среде является горизонтальный цилиндрический слой. Как правило, авторы ограничивались наблюдением симметричного движения, которое имеет форму двух серповидных вихрей, образованных потоками, поднимающимися вблизи нагретой внутренней поверхности и опускающимися возле холодной внешней границы. Основное внимание уделялось установлению зависимостей теплопереноса от определяющих параметров задачи.
В работе [2] численно изучалась двумерная конвекция в горизонтальном цилиндрическом слое пористой среды Дарси с границами одинаковой температуры и однородным внутренним тепловыделением. Решение уравнений конвекции проводилось только для половины полости с наложением условий симметрии относительно вертикальной плоскости, проходящей через ось цилиндров. Вычисления показали, что в каждой половине слоя возникают два противоположно вращающихся серповидных вихря, примыкающих к внутренней и внешней поверхностям слоя. Конвективные движения с нарушенной симметрией в этом случае реализоваться не могут.
В тонких слоях и в слоях умеренной толщины (отношение радиусов цилиндров Я > 0.2) наряду с серповидным течением наблюдались симметричные движения с несколькими дополнительными вихрями в верхней части слоя. Подробное исследование переходов между симметричными движениями с различным числом вихрей в приполярной области тонкого цилиндрического слоя обычной жидкости псевдоспектральным методом проведено в [3].
Наряду с известными симметричными решениями в виде двух или другого четного числа вихрей ранее авторами для насыщенной пористой среды Дарси были найдены новые асимметричные решения уравнений конвективной фильтрации [4, 5]. Одно из
них представляет собой многовихревую структуру с несимметричными вихрями в приполярной области. Другое решение реализуется при больших числах Грасгофа в виде конвективного факела, отклоненного от вертикали.
Разнообразие природных и искусственных пористых материалов обусловливает использование различных моделей пористой среды. Если скорость фильтрации не мала (число Рейнольдса, определенное по размеру поры, больше единицы), часто используют модель Форцгеймера, в которой уравнение переноса импульса имеет дополнительное слагаемое, квадратичное по скорости фильтрации жидкости. Как предельный случай она содержит и модель Дарси.
Цель работы - исследование условий возникновения, существования и устойчивости асимметричных относительно вертикали конвективных движений для модели Форцгеймера пористой среды. Особый интерес представляет изучение влияния нелинейного члена в уравнении переноса импульса на структуру и свойства исследуемых режимов конвекции.
1. Постановка задачи. Рассмотрим слой насыщенной пористой среды, ограниченный твердыми цилиндрическими поверхностями с радиусами Я1 и Я2. Слой заполнен вязкой несжимаемой жидкостью с плотностью р^ и теплоемкостью (ср)у. Границы цилиндрической полости поддерживаются при различных температурах: внутренняя имеет температуру Т1, внешняя - Т2 < Т1.
Пористая среда характеризуется коэффициентом пористости ф и проницаемостью К. Обе эти характеристики для различных сред изменяются в широких пределах: К = 10-4-10-12 см2, ф = 0.02-0.90.
Уравнения конвективной фильтрации жидкости в приближении Буссинеска для модели Форцгеймера пористой среды имеют вид [1]
Р }
-ши —р V „-1/21 | „„,
фд-=рГКи - сгК |и|и + 8вТу
(1.1)
(рср)тЦт = ктАТ- (рсри—Т, Шуо = 0
Здесь (ср)т и (ср)у - удельные теплоемкости насыщенной пористой среды и жидкости соответственно, кт - коэффициент теплопроводности среды, с ^ - безразмерный коэффициент (трения или торможения) Форцгеймера, величина которого зависит от природы пористого материала. В расчетах авторов значение с^ изменялось от нуля (для модели Дарси) до единицы для сред с умеренной пористостью.
Перейдем к безразмерным переменным. Выберем в качестве единиц измерения
2
расстояния, времени, скорости, температуры и давления соответственно Я2, Я2 /V, у/Я2, Т1 - Т2, р^у/К. Уравнения конвективной фильтрации для рассматриваемой модели пористой среды примут следующий вид:
Баф1 = - — Р - и - суБа1/2|+ вгТу
1 (1.2)
Ь ^ = -1 АТ - и—Т, = 0
д г Рг
К уравнениям (1.2) следует добавить граничные условия, записанные в безразмерных переменных. Для температуры на границах слоя
г = Я: Т =1; г =1: Т = 0 (1.3)
На обеих цилиндрических поверхностях использовалось условие равенства нулю нормальной компоненты скорости фильтрации
и„ = 0 (1.4)
Краевая задача (1.2)—(1.4) содержит несколько параметров подобия: число Грасго-фа вг, число Прандтля Рг, параметр Дарси Ба, отношение радиусов Я и параметр Ь -отношение теплоемкостей среды и жидкости
В расчетах величина Ь и пористость среды ф полагались неизменными: Ь = 1 и ф = 0.3, что является типичным для сыпучих пористых сред.
Рассмотрим вначале двумерные конвективные движения в плоскости поперечного сечения слоя. Для их описания введем в полярных координатах г, 0 функцию тока у и вихрь £ скорости фильтрации
На границах полости, по условию (1.4), значения функции тока и вихря скорости полагались равными нулю.
Сформулированная краевая задача для переменных у, Т решалась численно методом конечных разностей. Дифференциальные уравнения аппроксимировались конечно-разностными выражениями с использованием односторонних разностей для производных по времени и центральных разностей для пространственных производных. Полученные конечно-разностные уравнения решались с применением двухслойной явной и неявной схем. В случае неявной схемы сеточные функции находились методом продольно-поперечной прогонки. Уравнение Пуассона для функции тока решалось методом последовательной верхней релаксации. Основные расчеты проводились на равномерных сетках с шагом по радиальной координате 0.005 и полярному углу 1.8°.
2. Обсуждение результатов. Рассмотрим сначала стационарные режимы конвекции. Как показали вычисления, в рассматриваемой модели насыщенной пористой среды, как и в модели Дарси [5], возможны как симметричные (8) относительно плоскости 0 = 0, так и асимметричные (А) конвективные движения.
При малых числах Грасгофа возникает конвективное течение в виде двух серповидных вихрей (81). Оно существует в широком диапазоне значений параметров задачи. С увеличением числа Грасгофа над внутренним цилиндром образуется конвективный факел, а вблизи границ полости формируются пограничные слои.
Структура другого симметричного движения 82 (линии тока и изотермы) представлена на фиг. 1, а,„. Помимо двух серповидных вихрей течение содержит дополнительные конвективные ячейки в приполярной области цилиндрического слоя. Эти вихри образуются в результате развития неустойчивости релеевского типа: в относительно тонких цилиндрических слоях жидкости тепловые условия в верхней части становятся похожими на таковые в плоском слое, подогреваемом снизу. В слоях умеренной толщины, например с Я = 0.3, существует только одно симметричное решение такого вида с двумя дополнительными вихрями. В более тонких слоях существует несколько такого рода решений с разным числом вихрей: с двумя, четырьмя и т.д. Так, например, для модели Дарси течение с четырьмя дополнительными вихрями реализуется в слое с Я = 0.8, а с шестью вихрями - для Я = 0.9. Для модели Форцгеймера с коэффициентом су = 0.55 при Я = 0.5 наблюдается движение с двумя и четырьмя дополнительными вихрями. Симметричное движение 82 возникает "жестким" образом при конечном числе Грасгофа и существует в ограниченном диапазоне его значений. В толстых слоях (Я < 0.2) многовихревых решений не существует и наблюдается только серповидное течение.
Исследование переходов между симметричными движениями с различным числом вихрей в приполярной области тонкого цилиндрического слоя обычной жидкости проведено в [3].
Gr =
£р(T1- T2)Я2K
А
Фиг. 1. Линии тока (а-в) и изотермы (г-е) конвективного движения в цилиндрическом слое для R = 0.3, Рг = 1, Da = 10-4, cf = 0.55, Gr = 500 (а, б, г, д), Gr = 5000 (в, е)
Симметричные стационарные движения с ростом числа Грасгофа теряют устойчивость и становятся нестационарными. При значениях Gr > Gr* (Gr* ~ 103) стационарное решение (S1) становится неустойчивым и после некоторого переходного процесса трансформируется в решение с нарушенной симметрией в виде конвективного факела, отклоненного от вертикали (А1). Значение критического числа Грасгофа Gr* зависит от толщины слоя, числа Прандтля и параметра Дарси. Так, например, для R = 0.3 значение Gr* = 2.25 ■ 103 получается для Pr = 1, Da = 10-4, Cf = 0.55.
На фиг. 1 изображены структуры несимметричных течений, рассчитанные при R = 0.3, Pr = 1, Da = 10-4 и значении Cf = 0.55.
Одно из асимметричных решений (A2) показано на фиг. 1, б, д. Это движение по характеру близко к реше
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.