МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <6 • 2008
УДК 533.72:532.5.013
© 2008 г. И. Н. ЛАРИНА, В. А. РЫКОВ
ИССЛЕДОВАНИЕ МЕДЛЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ ОДНОАТОМНОГО ГАЗА ОКОЛО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
Численным методом на основе модельного кинетического уравнения проведено исследование медленных течений одноатомного газа около кругового цилиндра при малых числах Кнудсена. Для описания движения газа используется новое кинетическое уравнение, из которого строго следуют уравнения сплошной среды для медленных неизотермических течений газа, содержащие температурные напряжения. Показано, что около неравномерно нагретого цилиндра, обтекаемого медленным потоком газа, возникает замкнутая область конвективного движения, если поток набегает на горячую сторону его поверхности. Применение новой модели уравнения Больцмана позволяет исследовать движения газа как в режиме сплошной среды, так и в режиме разреженных течений.
Ключевые слова: разреженный газ, температурные напряжения, модельное кинетическое уравнение.
На основе модельного кинетического уравнения Крука численным методом в [1, 2] проведено исследование дозвуковых течений одноатомного газа около кругового цилиндра потоком разреженного газа в стационарном и автоколебательном режимах. Основное внимание уделено области перехода от разреженных к сплошносредным течениям газа. Предельные режимы обтекания описываются общепринятыми уравнениями Навье-Стокса, когда имеют место линейные связи между тензорами напряжений и скоростей деформаций (закон Ньютона) и векторами потока тепла и градиентами температуры (закон Фурье). Расчеты обтекания цилиндра равномерным потоком газа показали, что при малых числах Кнудсена на неравномерно нагретый цилиндр действует подъемная сила. Эффект ее образования основан на том, что верхняя, более нагретая, и нижняя, более холодная, поверхности цилиндра вызывают асимметрию обтекания и, тем самым, образование циркуляции скорости вокруг цилиндра и создание подъемной силы. При числах Кнудсена Кп, меньших некоторой критической величины Кп*(Я, Тк), зависящей от скорости набегающего потока Я = П,/(2кТ„/т)1/2 и безразмерной температуры тела Тк = Т0/Т,, возникают автоколебания потока. Здесь П,, Т,, - размерная скорость и температура набегающего потока соответственно; Т0 - размерная температура поверхности тела; т - масса молекулы газа; к - постоянная Больцмана. В этих исследованиях скорость потока Я имела конечные дозвуковые значения и не принимала значений порядка числа Кнудсена, если Кп ^ 1 и в потоке имелись значительные изменения температуры.
Особый режим обтекания неоднородно нагретого цилиндра, не рассмотренный в [1, 2], возникает, когда скорость набегающего потока Я имеет величину порядка малого числа Кнудсена, т.е. Я ~ Кп ^ 1, а в области течения имеется температурное поле, при котором |Т-1УТ| ~ 1, где Т - температура газа. Такие движения газа интересны тем, что, несмотря на малость числа Кнудсена, они не описываются общепринятыми уравнениями Навье-Стокса. В этом случае в уравнениях медленных неизотермических течений сплошной среды тензор неравновесных напряжений должен содержать барнеттовские температурные напряжения [3-6]. Авторы [3-6] первыми указали на особый предельный режим
неизотермических течений газа при малых числах Кп и скоростях потока. Они провели асимптотический анализ уравнений сохранения и построили уравнения сплошной среды, содержащие температурные напряжения. На основе полученных макроскопических уравнений в [7-10] даны примеры решения ряда задач, иллюстрирующие медленные неизотермические течения газа.
Рассмотрение в данной работе таких течений газа на основе кинетического уравнения обусловлено тем, что кинетический подход, более общий и позволяет оценивать точность приближения асимптотических уравнений сплошной среды. При кинетическом подходе снимаются ограничения и асимптотические условия, которые необходимо выполнять для справедливости уравнений сплошной среды. Макроскопические уравнения возникают из кинетического уравнения Больцмана методом разложения функции распределения в асимптотический ряд по малому числу Кнудсена при фиксированных остальных безразмерных параметрах задачи. Помимо числа Кнудсена в задаче обтекания тела присутствуют безразмерная скорость набегающего потока Я и безразмерная температура тела Тц. Общепринятые уравнения Навье-Стокса получаются, когда Я и Тц фиксированы, а Кп ^ 1. Макроскопические уравнения, описывающие медленные неизотермические движения газа, возникают при предельном переходе Тц - 1 ~ 0(1), Я ~ Кп и Кп ^ 1. При использовании макроскопических уравнений в конкретных приложениях всегда остается вопрос: сколь велика или мала может быть температура тела Тц, чтобы не нарушалась точность макроскопических уравнений? Количественные ответы на такие вопросы можно дать, лишь проведя сравнение решений, полученных на основе кинетических и макроскопических уравнений.
Сильное охлаждение поверхности тела по сравнению с температурой набегающего потока при малом, но фиксированном числе Кнудсена, приводит к образованию около поверхности тела кнудсеновского слоя с сильным изменением внутри него температуры газа. Этот эффект может приводить к нарушению обычных условий скольжения и скачка температуры на поверхности тела. Кинетическое уравнение является тем единым уравнением, которое объединяет и описывает все указанные явления. Ввиду этого в основу численного исследования обтекания цилиндра медленным неизотермическим потоком газа при малых числах Кнудсена положено новое модельное кинетическое уравнение, обобщающее уравнение [11], из которого следуют уравнения сплошной среды в обоих предельных случаях.
1. Постановка задачи. Рассматривается круговой цилиндр, который обтекается дозвуковым потоком одноатомного разреженного газа. Вводится декартова система координат с ортонормированным базисом х0, у0, /0. Начало координат расположено в центре кругового цилиндра, а ось z направлена вдоль оси цилиндра, скорость Я = £х0 - вдоль оси х. Будем рассматривать плоское движение газа на основе функции распределения /($, г, X), удовлетворяющей кинетическому уравнению, которое обобщает модельные
уравнения из [11] и [12]
% + ^ | + ^ | = (/} + 7-(/} (1Л)
-3/2
I+(f) = nT 3/2
-3/2
I-(f) = nT 3/2
7
6v( h+s - h+) - (h+nS + й+ + h+)
3V(hns - h-) -3Vhn
7 + 7 + 0 7 + 1
hns = 8oenvivi. ho = 8oeiiu¡ui. hi = 8oeiiu¡ui
Нп5 = £(,0.8(и2-2.5), g0 = п 3/2ехр(-и2)
и = (X - и)/Г1'2, V = 1.6п-1/2рТ~юКп-1, р = пТ
Н+ = 0.5[Н(г, г, и) + Н(г, г, -и)], Н_ = 0.5[Н(Г, г, и) - Н(Г, г, -и)]
7 1 гт-т3/2 /»
Н = п Т / - £о
ю = 0.5(у + 3)/(у - 1) - показатель степени в законе зависимости вязкости от температуры, ^ - показатель степени в потенциале взаимодействия частиц. Здесь Н+ и Н_ - четная и нечетная части функции Н(г, г, X) относительно вектора скорости и, поэтому Н = Н+ + Н-. По сравнению с модельным кинетическим уравнением из [11] в четную часть инте-
грала столкновений /+(/) добавлены новые члены Н+ и Н+, обеспечивающие точные
выражения для температурных напряжений. Величины е0 - квадратичные функции величин 5,-, возникающие из квадратичной части интеграла столкновений относительно
неравновесной функции Н. Величины е1 появляются из-за того, что линейный относительно Н оператор столкновений, действуя на функцию (и2 - 3.5)(ии - 5уи2/3), дает
вклад в тензор напряжений. Коэффициенты в выражениях е( и е 1 определены из требования совпадения выражений для температурных напряжений, полученных на основе уравнения (1.1), с выражениями, найденными в [13]. Для максвелловских молекул, когда
ю = 1, Н+ и Н+ равны нулю. Уравнение (1.1) построено для степенного потенциала взаимодействия между молекулами.
Выражения, отмеченные знаками "плюс" и "минус", - соответственно четные и нечетные функции скорости и. Величины е0 и е 1 определяются соотношениями
е( = 2 (1- ю)2 (4/15 )2 (ОД - 52 5у/3)
е1и = 2(1- ю)70.194 6
Величины е у, Шу и - интегралы от функции Н(г, г, и)
еу = 2 íuiUJНdu, шу = 4 |(и2-3.5 -^Чу)На'0, 5 = ¡ЦЪ-Мъ
Компоненты тензора неравновесных напряжений р у и вектора потока тепла ^ выражаются через е у и соотношениями
Р у = Ре у У г = РТШ 5 ,
Вектор абсолютной скорости X имеет компоненты Ху, Так как движение газа плоское, функция распределения зависит только от радиус-вектора физического пространства г = хх0 + уу0. Относительно переменной функция распределения четная, поэтому компонента скорости иг = 0, компонента вектора тепла = 0 и компоненты тензора неравновесных напряжений рг = руг = 0. Так как р^ + руу + рг = 0, то рг = -(р^ + р). Числовая плотность п, компоненты средней скорости и, энергия единицы объема
Е = ни2 + 1.5нТ, компоненты тензора неравновесных напряжений рц и вектора потока тепла д{, г,Ц = (х, у), определяются интегралами
n = J fdX, nU i = J^i fdX, E = Jí;2 fdX
Pii = 2Tj(vivj - §ijU2/3)fdX, q, = T3/2Ju,u2fdX
Функция распределения невозмущенного потока и функция распределения /ц молекул, отраженных от поверхности тела, имеют вид
/„ = п-3/2ехр [- (\х - Я)2 - ^ - \\], Я =
/ц = Нц(пТц)-3/2ехр [-(£X + £У + ^)/Тц], (X, Го) > 0
Здесь температура поверхности тела Тц(ф) задана как функция угла ф, плотность отраженных частиц нц определяется условием непротекания поверхности тела, г0 - единичный вектор, ортогональный к поверхности кругового цилиндра. Число Маха есть Мм. Уравнение (1.1) и граничные условия приведены к безразмерному виду при помощи характерных величин: нте, Тм - плотность и температура невозмущенного потока, и0 = 2(кТЦш)111 - тепловая скорость, Я - радиус цилиндра, Я/и0 - масштаб времени. Число Кнудсена определено отношением Кп = Л0/Я, Х0 = 3.2п-1/2цм/(шнми0) - длина свободного пробега.
В начальный момент времени г = 0 в области вне цилиндра задается функция распределения /0(г, X). Для уравнения (1.1) ставится начальная задача: определить при г > 0 функцию распределения /(г, г, X), которая является решением уравнения (1.1), при г = 0 удовлетворяет начальному условию, а при г > 0 удовлетворяет краевым условиям на теле и на бесконечности.
2. Метод численного решения. Используется метод расчета течений разреженного газа при малых числах
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.