ЯДРА
ИССЛЕДОВАНИЕ НИЗКОЛЕЖАЩИХ УРОВНЕЙ ЯДРА ^ В МНОГОКВАНТОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ОРТОГОНАЛЬНОЙ СХЕМЫ
© 2004 г. К. Й. Янкаускас *
Клайпедский университет, Литва Поступила в редакцию 11.12.2003 г.
В многоквантовом приближении ортогональной схемы с учетом всех состояний, характеризуемых схемой А = [44], квантовыми числами КтШ и К^п + 2 группы 0(3(А — 1)) и числами Е = К + + 2Ж (Ж < 9) группы и(3(А — 1)), выполнены конкретные расчеты энергии и радиуса ядра 4Be. Изучена сходимость результатов при расширении базиса, выявлена структура волновых функций. Результаты расчетов сравниваются с результатами аналогичного многоквантового приближения унитарной схемы.
1. ВВЕДЕНИЕ
В трансляционно-инвариантной модели ядра схемы и(3(А — 1)) используются несколько базисов, характеризуемых соответствующими цепочками подгрупп группы и(3(А — 1)), — базис унитарной схемы и базис ортогональной схемы [1], а также ряд их модификаций [2]. Более развитым математическим аппаратом обладает модель унитарной схемы, в основном по этой причине оставляющая в "тени" модель ортогональной схемы. Разработка математического аппарата ортогональной схемы и выяснение возможностей этого базиса представляются весьма актуальной задачей.
В работе [3] в многоквантовом приближении унитарной схемы (задается цепочками подгрупп группы и (3(А — 1)): и (3(А — 1)) э ви(3) х и (А —
— 1), и (А — 1) э 0(А — 1) э в (А), ви (3) э 0+(3))
были проведены спектроскопические расчеты для ядра ^в. Из расчетов, выполненных с полуреалистическими потенциалами, следует, что учет многоквантово-возбужденных и(3(А — 1))-состояний существенно улучшает результаты: энергию связи увеличивает на 25—40%, а электрические квадрупольные моменты и вероятности электрических квадрупольных переходов — в несколько раз.
Изучению свойств легких ядер в ортогональной схеме (задается цепочками подгрупп группы и(3(А — 1)): и(3(А — 1)) э 0(3(А — 1)) э 0(А —
— 1) х 0(3), 0(А — 1) э в(А)) посвящено несколько работ, их обзор можно найти в [2]. Однако в этих работах возможности ортогональной схемы нельзя считать раскрытыми, так как расчеты в них выполнены в базисах, которые, если не учитывать
*E-mail: fizkat@jtf.ku.lt
состояний, представляющих р-возбуждения (т.е. состояний с Е > К, см. далее), совпадают с унитарными. Кроме того, ряд спектроскопических характеристик атомных ядер, как, например, электрические квадрупольные моменты, вероятности переходов В(Е2), вовсе не вычислялись. Исходя из вышесказанного представляется целесообразным разработать методику и провести расчеты, аналогичные [3], в характерном, существенно отличающемся от унитарного, базисе ортогональной схемы и сопоставить результаты унитарной и ортогональной схем.
Таким расчетам посвящена настоящая работа. В базисах ортогональной схемы, содержащих все функции, маркируемые схемой Юнга А = [44] и квантовыми числами Е = К = К^п и К^п + 2 неприводимых представлений групп и(3(А — 1)), 0(3(А — 1)) (приближения К^п и К^п + 2), проведены конкретные расчеты для 4Be и изучена роль функций с разными квантовыми числами групп 0(3(А — 1)), 0(А — 1). Также проведены расчеты в базисах К^, К^п + 2, расширенных функциями с Е > К (многоквантовые приближения), и изучена роль р-возбужденных состояний. Вычислялись энергия связи, энергия и радиус низколежащих уровней (ротационных полос) Ьж = 0+, 2+, 4+ и 0+, 2+, 4+. Выбор для расчетов ядра 8Be и использование таких же потенциалов, как и в [3], продиктованы намерением сравнить имеющиеся результаты многоквантового приближения унитарной схемы с результатами аналогичного приближения ортогональной схемы настоящей работы и сделать некоторые выводы о возможностях базиса ортогональной схемы и(3(А — 1)).
В настоящей статье на примере ядра 4Be демонстрируется разработанная методика учета
2162
многоквантово-возбужденных состояний базиса ортогональной схемы и выясняется относительная пригодность двух базисов модели U(3(А — 1)) — ортогональной и унитарной схем. В связи с этим естественно коснуться вопроса о месте схемы U(3(А — 1)) среди других родственных методов. Следует отметить близость модели схемы U (3(А —
— 1)) методу K-гармоники и методу многомерных гиперсферических функций и ее тесную связь с моделью Sp(2n, R). Эквивалентность определенных приближений схемы U(3(А — 1)) упомянутым моделям была показана в [2]. Сложнее сравнить схему U(3(А — 1)) с многоквантовой моделью оболочек (no-core shell model) [4, 5], так как на сегодня в схеме U(3(А — 1)) не существует работ, выполненных в достаточно широком базисе и с использованием соответствующих эффективных взаимодействий. Хорошие результаты работы [4], думается, объяснимы не только базисом, но и применением удачных, полученных микроскопически, эффективных взаимодействий, использующих реалистические феноменологические NN-силы. Если исходить из модельных представлений схемы U(3(А — 1)) и модели [4], то можно ожидать, что при достаточно широком базисе результаты схемы U(3(А — 1)) будут близки к результатам [4]. Если же сопоставить математические методы схемы U(3(А — 1)) и [4], то следует отметить, что в модели [4] для построения антисимметрических состояний используются детерминанты и она сталкивается с определенными трудностями при построении кинематически корректных волновых функций [6], т.е. при обеспечении трансляционной инвариантности и хорошего квантового числа J. (Видимо, эти вопросы будут решены с помощью разрабатываемой в последнее время трансляционно-инвариантной модификации этой модели [7].) Отмеченные проблемы не возникают при конструировании базисных функций схемы U(3(А —
— 1)), в которой применяется формализм матрицы плотности и широко используются теоретико-групповые методы. Причем указанный формализм в равной степени применим как к ядрам типа 4Не и 8Ве, так и к таким системам, как 12Ве.
Развитые в схеме U(3(А — 1)) вычислительные методы (метод SU^-неприводимой матрицы плотности [2] в унитарной схеме и метод коэффициентов Петраускаса [8] в ортогональной схеме) позволяют весьма просто учесть многоквантово-возбужденные состояния, и для малонуклонных систем в настоящее время имеются все возможности провести расчеты, аналогичные [4]. Такие работы планируются.
2. БАЗИС И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Базисную функцию системы А нуклонов обозначим
Ф(ЕК/Зииза\ЬГо),
где Е и К — неприводимые симметрические представления групп и(3(А — 1)) и О(3(А — 1)); и123 = = (ш1ш2ш3) — неприводимое представление группы О(А — 1); в и а — индексы повторения для цепочек О(3(А — 1)) э О(А — 1) х О+(з) и О(А — 1) э Э Б(А) соответственно; Л — схема Юнга группы Б (А); Ь — орбитальный момент; Го — остальные квантовые числа и спин-изоспиновая характеристика.
Конкретные расчеты для ядра |Бе будем проводить в поэтапно расширяемом базисе функций, маркируемых наиболее симметричной схемой Л = [44] (Б = 0, Т = 0), орбитальным моментом Ь = 0, 2, 4 и следующими квантовыми числами ЕКв^123а неприводимых представлений групп и(3(А — 1)), О(3(А — 1)) и О(А — 1):
ЕК@Ш12за = Е4(400), Е6в(400),Е6(600), Е6(510), Е6(420)а (базис Втах).
Число Е = К + 2Ж, где N принимает значения N = 0,1,..., 9. Для состояний, где повторений нет, индексы в и а не выписаны. Для Ь = 2 индекс повторения в = 1, 2, 3, для Ь = 4 индекс в = 1, 2. Индекс а = 1, 2. Базис Втах с функциями, маркируемыми наименьшим возможным Кт;п и N = 1, и с функциями с Кт;п + 2 и N = 0 представляет приближение Кт;п + 2. Базис Втах этих же функций с N > 1 представляет многоквантовое приближение.
Приведем основные определения и формулы, обсудим методику расчета. Будем пользоваться волновой функцией ортогональной схемы, записанной в виде[2]
\ЕКГо) = Квк (р)игк0 (О). (1)
Выражение (1) представляет решение гармонического осциллятора в 3(А — 1)-мерной сферической системе координат. Здесь К(р) — радиальная часть функции, зависящая от многомерного расстояния р; и (О) обозначает угловую и спин-изоспиновую функцию, О — соответствующие переменные; Е — общее число осцилляторных квантов; К — многомерный угловой момент; Го обозначает остальные квантовые числа. Функции с Е > К представляют радиальные возбуждения, или р-возбуждения,
состояний с Е = К. В (1) иг является угловой функцией метода К-гармоник [2]. Вначале рассмотрим расчет энергии. Известно, что для состояний со схемой Юнга Л = [4...4к\, где к = 0, 1,3, полный гамильтониан имеет вид
Н = + Т + Ос. (2)
Здесь Ус — центральное межнуклонное взаимодействие ([3], формула (2)); 0е — оператор куло-новского взаимодействия; Т — оператор кинетической энергии. Применяя формализм матрицы плотности, матричный элемент оператора Ус можно записать следующим образом:
(ЕКГо\Ус\Е 'К Т'0) =
N+М'
(3)
ЕЕ®
V р,а=0
vKKГоK'К'Г'0 DNN'lк 1'К' ^
р,а
р+а-
В (3) введены обозначения: 1К = К + (3А — 6)/2, N = (Е — К)/2, где А — число нуклонов; — приведенные матрицы плотности для состояний с Е = К, Е' = К', символ V = Ш, М, В, Н обозначает вид взаимодействия (Вигнера, Майорана, Бартлета и Гайзенберга соответственно), а /р,+а — интегралы Тальми от соответствующих функций Ун (т) оператора центрального межнуклонного взаимодействия Ус ([3], формула [3]); Dp,а — коэффициенты Петраускаса ([8], формула (8)).
Заметим, что для расчета (3) в случае схем [4...4к] (к = 0, 1, 3) достаточно знать матрицы плотности и ®М для взаимодействий Вигнера и Майорана, так как матрицы плотности
= —= 2®Ш — ®М)/5.
Выражение, аналогичное (3), можно записать и для матричного элемента оператора кулоновской энергии:
е_ е2 А (1 — 2£ц(г))(1 — 2^0(и))
0е =
£
г<3
где е — заряд электрона; е0 — электрическая постоянная; ¿¿(г) — оператор изотопического спина г-го нуклона; т^ — расстояние между г-м и ]-м нуклонами. Имеем
(ЕКГо\0е\Е'К 'Г0) =
N+N'
Е ®
р,а=0
еККГоК'К'г'0 ^^к 1К' те
Dp,а тр+а.
В (6) ®е — приведенная матрица плотности оператора (5), а интегралы Тальми /е равны:
ге _ Ь 2р+!р!
т
р \/27ггф (2р + 1)Н
(В записи этого интеграла в формуле (8) работы [3] опечатка.) Для матричного элемента оператора кинетической энергии, используя выражение для
среднеквадратического радиуса (10) (см. ниже) и теорему вириала, получаем:
{ЕКГ0\Т\Е'К'Г'0) =
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.