ПРОГРАММИРОВАНИЕ, 2015, No 2, с. 7 17
КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА
У л . ; .л .
ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
© 2015 г. А.Б. Батхин, А.Д. Брюно
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша 125047 Москва, Миусская пл., 4 E-mail: batkhin@gmail.com Поступила в редакцию 26.10.2014
Дается описание некоторого вещественного алгебраического многообразия в М3. Это многообразие играет важную роль в исследовании нормализованного потока Риччи на обобщенных пространствах Уоллаха. Для понимания структуры многообразия дается описание всех его особых точек. В силу наличия внутренней симметрии изучаемого объекта, часть исследования проводится с использованием элементарных симметрических многочленов. Все вычисления в препринте выполнены с использованием алгоритмов компьютерной алгебры, в частности, с использованием базисов Грёб-нера и алгоритмов работы с полиномиальными идеалами. В качестве сопутствующего результата сформулировано и доказано утверждение о структуре дискриминантной поверхности кубического многочлена.
1. ВВЕДЕНИЕ
В работах [1]—[3] начато исследование трех-параметрического семейства специальных однородных пространств с точки зрения нормализованного потока Риччи. Поток Риччи в этом случае задает эволюцию инвариантных римановых метрик на рассматриваемых однородных пространствах. Уравнения нормализованного потока Риччи сводится к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений с тремя параметрами а^ а2, а3:
7 / \
= J i(xi,X2,ai,a2 ,аз),
dx2 7 , ,
= J 2(xi,x2,ai,a2 ,аз),
(1)
где /и /2 — некоторые функции.
Особым точкам этой системы соответствуют инвариантные метрики Эйнштейна. В особой (неподвижной точке) ж°, ж2 система (1) имеет два собственных числа А1, А2. Если хотя бы одно из них равно нулю, то особая точка ж°, ж2 называется вырожденной. В [1]—[3] доказана теорема, что множество П значений параметров а!, а2, аз, при
которых система (1) имеет хотя бы одну вырожденную особую точку, описывается уравнением
<3(аь а2, аз) (281 + 483 - 1)(64«5 - 64^1+ + 883 + 2408?8з - 15368182 - 4096в3 + 12в?- 2408183 + 76882 - 681 + 6О83 + 1)- 88182(281 + 483 - 1)(281 - 3283 - 1)(1081+ + 3283 - 5) - 168182(5281 + 6408183 + 102482- 5281 - 32083 + 13) + 64(281 - 1)83(281-- 3283 - 1) + 204881(281 - 1) = 0,
(2)
где 81,82,83 — элементарные симметрические многочлены, равные соответственно
81 = а1 + а2 + а3,
82 = а1а2 + а1а3 + а2а3, (3)
83 = а1а2а3.
Здесь мы описываем строение вещественного алгебраического многообразия П в М3.
Статья состоит из пяти разделов. В разделе 2 дается вывод уравнения (2) и рассматриваются некоторые свойства симметрических многочленов, поскольку часть вычислений проще выполнять в переменных 8^. В разделе 3 вычисляются
все особые точки множества О. В разделе 4 приводится описание всех компонент множества О и их взаимного расположения. Раздел 5 — заключение.
Далее в тексте полужирный шрифт означает вектор из пространства М3, например, а = (аьа2,аз).
2. УРАВНЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОЖЕСТВА О
В [1]—[3] рассматривались уравнения нормализованного потока Риччи на обобщенных пространствах Валлаха. Эти уравнения представляют собой систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме Коши относительно переменных х = (ж1, Ж2, Хз) инвариантной римановой метрики:
Хг = /¿(х, а), г = 1, 2, 3,
fi = B =
1 gi(x) I D
-1 - aiXi--+ xiB,
Xix2x3
111
-+-+-
alxl a2x3 a3x3
/у»2 /у»2 /у»2
xi \ x2 \ x3
xix2x3
111
— + — + —
ai a2 a3
i
222
где gi = x2 — x| — x^2, а индексы i,k,l берутся как результат циклической перестановки тройки (1, 2, 3)
Величина V = Лi=i xi/ai есть первый интеграл системы (4), что позволяет свести ее к системе (1).
Правые части системы уравнений зависят от трех параметров а. Особый интерес представляют собой те значения параметров а, для которых исследуемая система ОДУ имеет особые точки, которым соответствует метрика Эйнштейна.
Рассматривается множество особых точек
П ={(ai, a2, аз) £ R3| (1) имеет хотя бы одну вырожденную особую точку}.
В [1, Lemma 4] доказано утверждение, что если точка принадлежит множеству П, при условии, что для нее $2 = 0 и S3 = 0, то она есть корень многочлена Q.
Для получения многочлена Q в работе [1] было проделано следующее:
1. получены выражения двух знаменателей правых частей системы (4) (третий знаменатель есть линейная комбинация двух других);
2. вычислена линейная часть системы (4) в точках, отличных от начала координат, и для ее матрицы Якоби найден характеристический многочлен p(A);
3. многочлен p(A) есть кубический многочлен со свободным членом тождественно равным нулю, тогда для него выписано условие, при котором он имеет нулевой корень кратности 2; последнее условие есть критерий того, что система (4) вырождена [1, Lemma 2];
4. поскольку три многочлена, полученные в пп. 1 и 3 являются однородными по перемен-
x x3
1 и вычисляют элиминационный идеал; Q
тель этого идеала, и он определяется выражением (2) в переменных s.
В [1]—[3] исследована особая точка Pi = (1/4,1/4,1/4), но там же отмечено, что представляет интерес изучение и других особых точек, удовлетворяющих условию S2 = 0.
Далее предлагается исследование всех особых точек вещественного многообразия П = {а £ R3|Q(a) = 0}. Это исследование предполагает последовательное изучение всех особых точек различных порядков, описание многообразия П вблизи этих особых точек и вдоль регулярных компонент, а также описание его глобальной структуры.
Отметим, что исследование множества П про-
s
уже учтена внутренняя симметрия многочле-Q
ai
симметрии приводит к тому, что множество П инвариантно относительно циклической группы поворотов пространства R3 вокруг оси симмет-
(1, 1, 1)
2nn/3, n £ N. Тем не менее изучение части особых точек удается непосредственно в переменных а, а остальных — в переменных s с последующей интерпретацией полученных результатов в а
х
X
2.1. О структуре дискрилтнантной поверхности кубического многочлена
Переменные а можно рассматривать как корни некоторого вспомогательного кубического многочлена х(у) с коэффициентами 8:
/ ч ёе1 з 2 ,
х(у) = У - + «2У - «3.
(5)
Поскольку исследуется вещественное множество, то в пространстве симметрических переменных 8 выделяются только те значения, которые обеспечивают вещественность корней многочлена Условие вещественности корней многочлена (5) формулируются с помощью его дискриминанта ^(х)
Я(х) = -4*383 + 82«2 +18818283 - 4«2 - 274 (6)
который с точностью до знака есть результант многочленов х(у) и х'(у)-
Если все коэффициенты многочлена (5) вещественны, то пространство своих коэффициентов 8 поверхность = |8|^(%) = 0}, называемая дискриминантной, делит на две области: — в которой все корни вещественные и Е2 — в которой имеется пара взаимно сопряженных комплексных корней.
Утверждение 1. Для, того, чтобы, .многочлен (5) имел все корни вещественные, необходимо и достаточно, чтобы, его коэффициенты, 8 удовлетворяли неравенству ^(х) ^ 0.
Следующее утверждение позволяет конструктивно описать дискриминантную поверхность.
Утверждение 2. Дискрилтнантная, поверхность является линейчатой развёртывающейся поверхностью [4] и и.м,еет следующую параметризацию
Р(Х) : {^ = 3£ + и, ¿2 = 3^ + 2£и, ¿3 = ¿3 + ¿2и}.
(7)
Дискрилтнантная, поверхность и.меет однопа,-рам.етрическое семейство особых точек в виде простра нет венной гладкой кривой а, являющейся, огибающей м.ножества, прямых и и,м,еющей параметризацию
а : {81 = 3£, 82 = 3£2, 83 = ¿3}. (8)
На, этой кривой многочлен (5) и,м,еет единственный корень кратности три.
Доказательство. Если многочлен (5) с вещественными коэффициентами имеет единственный корень кратности три, то х = (У-¿)3, и, следовательно, его коэффициенты задаются формулой (8).
х(У)
два, то все корни его вещественные. Представим в этом случае многочлен х в виде х = (у - ¿)2(у - (£ + и)). Тогда его коэффициенты задаются формулой (7). С другой стороны, кривая а
ду ненулевой касательный вектор т = (3, 6£, 3£2). Если на каждой из прямых с направляющим вектором т ввести параметр и/3, то получим параметрическое представление развертывающейся линейчатой поверхности, совпадающее с (7).
□
Дискриминантная поверхность ^(х) показана на рисунках 1 и 2 с разных ракурсов.
Рис. 1. Дискриминантная поверхность V кубического многочлена. Огибающая показана сплошной жирной линией.
Матрица Якоби преобразования (3), определя-
8
к переменным а имеет вид
д8 ( 1 1 1
= I Й2 + Й3 + Й3 + Й2 | , (9) \ а2а3 а1а3 а1а2
а ее якобиан 3 равен
3=det 3 = (а1 - а2)(а2 - а3)(а1 - а3). (10)
Рис. 2. Дискриминантная поверхность D кубического многочлена. Огибающая показана сплошной жирной линией.
M =
fi + У3 1 - Л
6 6 3 1 - ^3 1 + ^3 1
6
6
V
3
3
3
э/
(12)
Указанное преобразование переводит плоскости
Lc : {a е R3|ai + а2 + а3 = с}, где с = const G R,
(13)
ортогональные оси симметрии, в плоскости с уравнением A3 = с. В пространстве симметрических переменных s плоскостям Lc соответствуют плоскости si = с.
Плоскости Lc используются в дальнейшем для описания глобальной структуры множества Q (см. раздел 4).
3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ МНОЖЕСТВА Q
1
1
1
Следовательно, это преобразование вырождено на трех взаимно симметричных плоскостях Мг~.
М\ : а\ = а2, М2 : = а3, М3 : а3 = а\.
(11)
Отметим, что исключая с помощью соотношений (3) из выражения дискриминанта (6) неременные в получим, что = З2. Таким образом, дискриминантная поверхность О в переменных а есть объединение исключительных плоскостей (11), которые в свою очередь пересекаются по оси симметрии, на которой все три корня совпадают.
Наконец, для упрощения графического представления полученных результатов авторы выполнили еще одно линейное преобразование, по-
а
ось симметрии с вектором (1,1,1) совпала с ап-
а
личину \/3, что позволит сохранить рациональность коэффициентов многочлена Q в новых переменных. Такое преобразование задается композицией матрицы ё1а^-\/3, л/3, л/3) и матрицы
1
поворота па угол arccos ^^ вокруг оси (1, -1, 0).
3
Переход а = МА от старых переменных а к новым А задается матрицей
Оп
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.