научная статья по теме ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМОВ ДВИЖЕНИЯ ПО УГЛУ АТАКИ СПУСКАЕМОГО АППАРАТА С ТРИГАРМОНИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕГО МОМЕНТА ПРИ ВХОДЕ В АТМОСФЕРУ Космические исследования

Текст научной статьи на тему «ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМОВ ДВИЖЕНИЯ ПО УГЛУ АТАКИ СПУСКАЕМОГО АППАРАТА С ТРИГАРМОНИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕГО МОМЕНТА ПРИ ВХОДЕ В АТМОСФЕРУ»

КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2015, том 53, № 3, с. 263-272

УДК 629.78.015

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМОВ ДВИЖЕНИЯ ПО УГЛУ АТАКИ СПУСКАЕМОГО АППАРАТА С ТРИГАРМОНИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕГО МОМЕНТА ПРИ ВХОДЕ В АТМОСФЕРУ

© 2015 г. Е. В. Баринова, И. А. Тимбай

Самарский государственный аэрокосмический университет им. С.П. Королева (Национальный исследовательский университет) l5545@yandex.ru Поступила в редакцию 25.10.2012 г.

Рассматривается задача об изменении амплитуды колебаний угла атаки в пространственном движении неуправляемого спускаемого аппарата, аэродинамический восстанавливающий момент которого описывается нечетным рядом Фурье по углу атаки с тремя первыми гармониками. Проводится исследование эволюции фазовых траекторий на основе анализа интеграла действия, для которого найдены аналитические выражения. Получена формула для времени появления дополнительных положений равновесия на фазовом портрете, а также для времени перехода между различными областями фазовой плоскости. Для случаев движения, когда при пересечении сепаратрисы фазовая точка может попадать в различные колебательные области, найдены формулы для определения вероятности захвата в ту или иную область.

БО1: 10.7868/80023420615020016

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается пространственное движение относительно центра масс неуправляемого спускаемого аппарата (СА) с тригармонической характеристикой восстанавливающего момента от угла атаки. Исследуются переходные режимы движения по углу атаки, когда в процессе спуска происходит изменение характера движения — колебательное движение "скачкообразно" переходит в колебательное движение с другими амплитудными характеристиками.

Исследованию переходных режимов углового движения СА на начальном участке траектории спуска уделяется большое внимание в работах Г.Е. Кузмака [1], В.А. Ярошевского [2—3] и других авторов. В [1] исследованы переходные режимы движения СА с синусоидальной зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки, что характерно для СА, имеющих форму сферы или тонкого конуса. В настоящее время эксплуатируются и разрабатываются СА с достаточно сложной зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки, для удовлетворительной аппроксимации которой рядом Фурье необходимо удерживать не менее двух или даже трех гармоник тригонометрического ряда в разложении (спускаемые модули "Союз", многие перспективные малогабаритные грузовые капсулы, отделяемые части ракет-носителей). В [2] рассмотрено неуправляемое движение при входе в атмосферу осесимметричного СА,

имеющего два устойчивых и одно неустойчивое положения равновесия. В [3] исследованы режимы длительного "зависания" СА вблизи положения неустойчивого равновесия, которым соответствуют повышенные значения амплитуды угловых колебаний в плотных слоях атмосферы. В [4] предложен метод аналитического исследования переходных режимов движения осесимметричного СА с бигармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки. В [5] исследованы переходные режимы движения СА с асимметрией, моментная характеристика которого представлена в виде суммы двух первых синусоидальных гармоник и первой косинусоидальной, рассмотрены случаи возникновения плоской авторотации. В [6] исследовано движение осесимметричных сегментально-конических СА с бигармонической зависимостью восстанавливающего момента от угла атаки, найдено приближенное аналитическое условие, определяющее начальную угловую скорость, обеспечивающую отсутствие переходных режимов движения СА при спуске. В [7] исследовано плоское угловое движение СА, характеристика восстанавливающего момента которого представлена в виде суммы трех первых синусоидальных гармоник. В данной работе внимание уделено анализу переходных режимов движения по углу атаки в случае пространственного движения осесимметричного СА с тригармонической

263

6*

характеристикой восстанавливающего момента от угла атаки.

Изменение угла атаки в пространственном движении осесимметричного СА на верхнем атмосферном участке траектории спуска, где скорость центра масс, угол наклона траектории практически равны скорости и углу входа в атмосферу, а демпфирование играет пренебрежимо малую роль, описывается системой с медленно меняющимися параметрами вида [2]:

а + F (а) = 0,

F(a) = (G - R cos а) х (R - G cos a)/sin3 а + + a sin а + b sin 2а + c sin За, a = a(z), b = b(z), c = c(z).

(1)

ct Vo2

a0 = -maSl p 0-4 Z.1 n

= -mbSlPo

Z.1 n

Co = -mcSlP(

У-21 „

z = e

et

в = \ V0 Isin (

Здесь a — пространственный угол атаки (угол между продольной осью СА и вектором скорости центра масс); R = K0 cos aK¡In = const, G = K0 cos ay¡In = const — отнесенные к поперечному моменту инерции проекции вектора кинетического момента на продольную ось СА и на направление вектора скорости центра масс; K 0 =

= V I2®^ + lWn0 — начальное значение кинетического момента; Ix, In — продольный и поперечный моменты инерции СА; юх0, юп0 — начальные продольная и поперечная угловые скорости; aK, aV, — углы, которые характеризуют соответственно положение продольной оси СА относительно вектора кинетического момента и вектора кинетического момента относительно вектора скорости центра масс на границе атмосферы, где влиянием аэродинамических моментов можно пренебречь [2]; a(z), b(z), c(z) — коэффициенты моментной характеристики; z — медленно меняющийся параметр, переменность которого связана с медленным изменением плотности атмосферы в процессе спуска.

Начальные значения пространственного угла атаки a0 и угловой скорости á 0 на границе атмосферы определяются по формулам [2]:

a0 = arccos(cos ay cos aK - sin ay sin aK cos y),

. _ K0sin ay sin aK sin y (2)

a 0 = ~ : , In sin a0

где у — угол, определяющий положение продольной оси СА в конусе внеатмосферной прецессии, отсчитываемый в плоскости, перпендикулярной оси прецессии.

Коэффициенты уравнения движения (1), если зависимость плотности атмосферы от высоты аппроксимировать экспонентой, могут быть представлены в виде [4]:

где та, ть, тс — постоянные коэффициенты, S — характерная площадь, I — характерный размер СА, У0 — скорость полета, 90 — угол наклона траектории, р0 — плотность атмосферы в начальный момент времени I = 0, X — логарифмический градиент плотности атмосферы по высоте.

НЕВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СА

Для выяснения общих свойств движения СА воспользуемся методом фазовой плоскости. Интеграл энергии системы (1) в случае невозмущенного движения, когда коэффициенты a, b, c постоянны (z = const), имеет вид:

E = a2/2 + W(a) = h, W(a) = Wg(a) + Wr(a),

Wg (a) =

R + G - 2RG cos a

0 • 2 , 2sin a

(3)

Wr (a) = -(a - c)cos a- b cos2 a- 4 c cos3 a,

a = a0Z, b = b0z, c = oz,

где W(а) — приведенная потенциальная энергия системы.

Экстремальные значения функции Ж(а) соответствуют состояниям равновесия системы, т.е. особым точкам на фазовой плоскости. В случае плоского движения (Я = О = 0) в зависимости от значения коэффициентов а, Ь, с на отрезке [0; я] могут существовать две, три или четыре особые точки [7]. В случае пространственного движения в зависимости от соотношения величин а, Ь, с, Я, О могут существовать одна особая точка типа "центр" и при этом на фазовом портрете имеет место одна колебательная область (рис. 1а) или три особые точки: две типа "центр" и одна типа "седло" и при этом на фазовом портрете имеют место три колебательные области — одна внешняя и две внутренние (рис. 1б). Качественный анализ уравнения (1) показывает, что если седловая точка внутри интервала (0; я) отсутствует в плоском случае, то она отсутствует и в случае пространственных колебаний независимо от величин Я и О. С другой стороны, если в плоском случае седло-вая точка существует (выполняется условие

(-Ь + 7Ь2 - 4ac + ^2< 1), то обеспечить ее отсутствие в случае пространственного движения можно только заданием достаточно больших по модулю конечных Я и О.

Следует отметить, что на границе атмосферы, где влиянием аэродинамических моментов можно пренебречь, определяющим в выражении для

а, рад/с 2

(а)

(б)

0

к а

(в)

0.4 0.2

0

0

0.4 0.2

0

-0.2

0

а„

к а

0

а*

(г)

к а

аи

п а а, рад

Рис. 1. Фазовый портрет системы: а — с одной колебательной областью; б — с тремя колебательными областями; в, г — в момент смены типа фазового портрета.

приведенной потенциальной энергии является гироскопический член (а), и фазовый портрет имеет вид, изображенный на рис. 1а.

ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ СА

В связи с изменением коэффициентов а(1), Ь(1), е(1) в процессе движения происходит эволюция фазовых траекторий, в результате которой они могут пересекать сепаратрисы, попадая в различные области фазового портрета, что сопровождается качественным изменением характера движения.

В случае плоского движения, тип фазового портрета определяется соотношением коэффициентов характеристики восстанавливающего момента и качественные изменения фазового портрета в процессе снижения не происходят [7]. Однако в случае пространственного движения по мере роста плотности атмосферы увеличивается влияние составляющей приведенной потенциальной энергии Жг (а), обусловленной воздействием восстанавливающего момента, и может произойти из-

менение типа фазового портрета от портрета с одной колебательной областью (рис. 1а) к портрету с тремя колебательными областями (рис. 1б). В момент бифуркации, то есть при переходе от одного типа портрета к другому, фазовый портрет имеет вид, представленный на рис. 1в или 1г (в зависимости от того с какой стороны появляется дополнительная колебательная область, что обусловлено начальными условиями движения).

Определим время бифуркации tn. Значениям угла а на интервале (0, я) взаимно однозначно соответствуют значения переменной u = cos а на интервале (-1; +1). С учетом замены u = cos а интеграл энергии (3) можно записать в виде:

.2

u , + W(u) = E, 2(1 - u2)

(4)

где W (u) = Wg (u) + Wr (u), Wg (u) = Wr(a) = -(a - c)u - bu2 — 4cu3.

R2 + G2 - 2RGu 2(1 - u2) ,

1

0

Время бифуркации 1п определяется из условия слияния устойчивого и неустойчивого положений равновесия, что осуществляется при одновременном выполнении соотнош

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Космические исследования»