ИЗВЕСТИЯ РАИ. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2007, № 2, с. 15-27
= ТЕОРИЯ СИСТЕМ И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ :
УДК 681.511.4
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ В РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМАХ, СОДЕРЖАЩИХ ЗВЕНЬЯ С ОГРАНИЧИТЕЛЯМИ*
© 2007 г. Н. В. Фалдин, С. В. Феофилов
Тула, Тульский государственный ун-т Поступила в редакцию 18.05.06 г.
Предлагается метод исследования периодических движений в релейных системах, содержащих звено с ограничителями. В основу метода положен фазовый годограф релейной системы. Рассматриваются способы построения фазового годографа, определение с его помощью возникающих в системе периодических движений, исследование их устойчивости.
Введение. Релейные системы управления находят широкое применение в технике. Объясняется это, прежде всего, простотой реализации таких систем, а также возможностью получения высоких динамических характеристик при малых весах и габаритах управляющих устройств. К релейным законам управления часто обращаются и в тех случаях, когда необходимо обеспечить высокую точность режима слежения на так называемых ползучих скоростях.
В настоящее время достаточно полно разработана теория релейных систем с линейными объектами управления, которая является эффективным инструментом их анализа и синтеза [1-5]. Между тем реальные технические объекты управления, как правило, нелинейные. Важным классом подобных объектов управления являются такие, нелинейность которых обусловлена наличием различного рода ограничителей. Ограничители весьма часто встречаются в технических системах. Они присутствуют, например, в электрических, гидравлических и газовых приводах.
Исходя из математического описания звеньев, содержащих ограничители, можно выделить два типа последних: в форме механических упоров и в форме насыщения. Звено, содержащее ограничители первого типа, задается дифференциальным уравнением второго порядка с разрывной правой частью, причем разрывной (из-за удара об упор) является и фазовая траектория звена. Звено с ограничителями второго типа описывается дифференциальным уравнением первого порядка с разрывной правой частью, а его траектория представляется непрерывной функцией.
Работа направлена на развитие прикладной теории релейных систем, объект управления которых
*
Работа выполнена при финанасовой поддержке РФФИ (грант < 05-08-33506).
содержит звенья с ограничителями. Эта теория должна включать в себя следующие методы: исследование возникающих в системе периодических движений; изучение режима слежения (режима стабилизации); синтез. В статье рассматривается один из этапов поставленной задачи - разрабатываются методы анализа периодических движений в релейных системах указанного класса.
В основу развиваемой теории положен фазовый годограф релейной системы [5], который является естественным обобщением годографов Цыпкина и Гамеля. Он выделяет все возможные периодические движения объекта управления. Для релейных систем с двухпозиционным релейным элементом фазовый годограф представляет собой линию в фазовом пространстве системы, каждая точка которой задает периодическое движение определенной частоты.
Наиболее сложными для изучения являются ограничители в форме механических упоров. Поэтому в работе основное внимание уделяется исследованию периодических движений в релейных системах, содержащих подобные ограничители. Рассматриваются релейные системы с двухпозиционным релейным элементом. Полученные в статье результаты по построению фазового годографа, по определению периодических движений, по оценке их устойчивости затем распространяются на релейные системы, включающие звенья с ограничителями в форме насыщения.
Результаты работы могут быть использованы при определении и анализе возникающих в системе периодических движений. Они весьма полезны также и при синтезе релейных систем. Положенный в основу развиваемой теории фазовый годограф позволяет сравнительно просто формировать законы управления, обеспечивающие в системе заданные параметры автоколебаний.
1. Фазовый годограф системы. На рис. 1 и 2 представлены структурные схемы звеньев, содержащие ограничители соответственно в форме ме-
ханических упоров и насыщения. Движение звена на рис. 1 задается уравнениями
X1 Х2
Vku -2ax2 - nxj, если |xj < D или |xj = D и (ku - nxj)signxj < 0; 0, если Ixj = D и (ku - nxj) signxj > 0.
(1.1)
Ниже всюду будем предполагать, что удары об г* входа на ограничитель упор абсолютно неупругие, т.е. в каждый момент
Х1( г* +0) = х1 (г * -0),
Х2 (г * + 0) = 0.
Сход с ограничителя является непрерывным. ляется как Движение звена, изображенного на рис. 2 опреде-
(1.2)
x =
|ku - ax, если |x| < D или |x| = D и (ku - ax)signx < 0;
0,
если
x = D
(ku - ax) signx > 0.
(1.3)
В равенствах (1.1) и (1.3) функции (ки - пхх) signx1 и (ки - ax)signx задают прижимающую силу [6], с которой, как физической величиной, указанные функции совпадают только по знаку.
Рассмотрим релейную систему
dx р * ч — =f( x,u),
(1.4)
и = Ф(у - а, Ь), а = Ях, (1.5)
здесь х = (хь Х2, ..., х„),/ = (1,/2, ...,/) - п-мерные векторы, ЯТ - вектор-строка, у - входной сигнал (скалярная функция), Ф - статическая характеристика двухпозиционного релейного элемента, 2Ь -ширина петли гистерезиса. Предполагается, что имеет место симметрия
/(-х, -и) = -/(х, и), Ф(-у + а, Ь) =-Ф(у - а, Ь), |у - а| > Ь.
В автономной (у(г) = 0) релейной системе (1.4), (1.5) периодическое движение определяется одной (любой) точкой с предельного цикла. Будем задавать периодическое движение точкой х*(Т), где 2Т - период, соответствующее переключению
релейного элемента с минуса на плюс. Ограничимся рассмотрением простых (в интервале 0 < г < 2Т управление и(г) имеет одно переключение) симметричных (х(г + Т) = -х(г)) периодических движений. Вектор-функция х*(Т) (0 < Т < «>) выделяет множество всех возможных периодических движений объекта управления и называется фазовым годографом релейной системы [5, 7].
Обозначим через
х(г) = х(0), А, г)
решение уравнения (1.4) при и(г) = А (А - высота полки реле) и начальном условии х(0). Так как в фазовый годограф включаются только симметричные периодические движения, то точка х*(Т) принадлежит фазовому годографу тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению
х* (Т) + ^(х* (Т), А, Т) = 0, (1.6)
которое называется основным уравнением фазового годографа.
Общим способом построения фазового годографа служит численное решение (1.6). Можно использовать все известные численные методы решения системы нелинейных алгебраических
u k x1 u k x
2 s2 + 2as + n J s + a J
Рис. 1.
Рис. 2.
уравнений. Хорошо зарекомендовал себя алгоритм, названный методом интераций с принудительным симметрированием, который задается равенством
-k +i _ Yk - F (Yk, A, T)
k = 0, 1, 2, ... (1.7)
(Ук —► х*(Т) при к —►
Он прост в реализации и, как показывает его практическое применение, обеспечивает быструю сходимость. Алгоритм (1.7) можно успешно использовать и в том случае, когда объект управления содержит звенья с ограничителями. Однако он не позволяет выделить все ветви неоднозначности фазового годографа. Такая ситуация имеет место для объекта управления, содержащего звенья с ограничителями в форме механических упоров.
Если объект управления является линейным, то в [3, 5] получены аналитические зависимости, задающие фазовый годограф в явном виде. При описании объекта управления с помощью передаточной функции Щя) она представляется в виде суммы простых дробей (суммы типовых звеньев). Для каждого такого звена известны формулы, определяющие его фазовый годограф.
На рис. 3 представлен фазовый годограф звена с ограничителями в форме механических упоров (см. рис. 1). Ветви ОВ и ОВ' отвечают "свободному" движению звена, т.е. когда в периодическом движении ограничители не достигаются, причем период 2Т* соответствует периодическому решению, на котором координата х^О касается ограничения.
Указанная ветвь фазового годографа легко определяется с помощью аналитических зависимостей, полученных в [3, 5]. Ветви СЕ и Т*£" отражают периодические траектории, имеющие участок движения на ограничителе. Полупериод Т** равен времени движения от ограничителя х1 = -В до ограничителя х1 = В при и = А.
Следующие ^-характеристики CB и C'B' (R-ха-рактеристиками называются компоненты фазового годографа) соответствуют периодическим траекториям, имеющим точки отражения от ограничителя. Момент t* есть точка отражения, если существует интервал t* - £ < t < t* + е, £ > 0, в котором значение x(t*) является единственным, лежащим на границе. Компоненты фазового годографа CB и C'B' легко находятся численно. Для этого необходимо проинтегрировать уравнения (1.1) при xi(0) = -D, i2(0) = 0 и u = A, переключив в некоторый момент t1 (T** < t1 < T*) управление с u = A на u = -A. Время движения по такой траектории с ограничения x1 = -D до x1 = D равно полупериоду T, а x*(T) = -x(tx). Рассмотрев ряд значений tx, получим ветви фазового годографа CB и C'B'. В интервале Т** < Т < T* фазовый годограф - неоднозначная (трехзначная) вектор-функция. Следовательно, если на вход звена с ограничителем подать периодический входной сигнал вида u = Asign( sin П t), где
T** < Т < T*, то могут иметь место три разных по форме решения x(t) периода 2 Т.
Фазовый годограф, изображенный на рис. 3, соответствует случаю, когда kA > nD, т.е. возможно движение на ограничителе. Именно такая ситуация, как правило, имеет место на практике. На рис. 4 представлен вид фазового годографа, когда ограничители активны, т.е. могут достигаться в периодическом движении, но движение на ограничителе (по границе) невозможно, т.е. kA < nD.
В реальных технических объектах управления звено с ограничителем часто стоит на входе объекта управления, так как относится к приборной части системы. На рис. 5 приведена структурная схема такого объекта. Будем полагать, что kA > nD. Рассмотрим определение фазового годографа для полупериодов Т > Т* (рис. 3). Именно этот диапазон автоколебаний представляет наибольший интерес для практики.
и k Х1 W(s)
s2 + 2аs + п -!
Рис. 5.
^(0 А А*
- А* - А
г*
Т
цб(г - Т - t*)
Т + г*
2Т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.