ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 1, с. 79-87
КОМПЬЮТЕРНЫЕ ^^^^^^^^^^^^^^ МЕТОДЫ
УДК 629.7.036.5.062.3.001.24
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО МЕТОДА РАСЧЕТА ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
© 2015 г. О. Б. Белоногов
Королёв, ОАО РКК "Энергия" им. С.П. Королева Поступила в редакцию 15.08.13 г., после доработки 10.06.14 г.
Исследуется работоспособность нового полигармонического метода автоинтегрирования с полным осреднением коэффициентов Фурье для расчета амплитудно-фазовых частотных характеристик нелинейных динамических объектов и систем управления с заданной погрешностью вычислений и за минимальное время.
Б01: 10.7868/80002338814060043
Введение. Для проведения идентификации параметров, оптимизации и оценки соответствия выбранному критерию устойчивости динамических объектов, регуляторов и следящих систем управления требуется определение амплитудных и фазовых частотных искажений, возникающих при отработке ими входных моногармонических сигналов (ВМС) на заданных частотах. Кроме этого, при проектировании регуляторов и следящих систем часто требуется определять полосы их пропускания. С этой целью проводятся расчеты амплитудно-фазовых частотных характеристик (ЧХ).
В [1] авторами установлено, что переходные процессы втягивания в вынужденные колебания при ВМС даже у некоторых линейных динамических объектов могут длиться достаточно долго, а у такого звена, как консервативное, переходные процессы могут не заканчиваться вообще. Поэтому для нелинейных и некоторых линейных динамических объектов заранее никогда неизвестно число периодов ВМС, в течение которого длится переходный процесс втягивания в вынужденные колебания. Игнорирование этой особенности при расчетах ЧХ может приводить к существенным ошибкам.
В связи с этим теоретический и практический интерес представляет задача разработки методов и алгоритмов расчета ЧХ регуляторов и следящих систем, содержащих существенно нелинейные элементы и позволяющих получать результаты вычислений автоматически с заданной погрешностью вычислений и за минимальное время (так называемых методов автоинтегрирования).
Стремительное развитие вычислительной техники и совершенствование ее характеристик (в частности, возрастание уровня быстродействия компьютеров в последние годы) позволили практически полностью переориентировать методы расчета ЧХ динамических объектов и систем управления с приближенных, получаемых из переходных характеристик, на более точные, основанные на численном интегрировании дифференциальных уравнений систем при ВМС на фиксированных частотах и анализе откликов на эти воздействия методом Фурье.
Согласно этим методам процесс интегрирования дифференциальных уравнений динамического объекта на каждой из заданных частот продолжается до тех пор, пока средние значения вычисляемых параметров периодического отклика динамического объекта на ВМС не станут достаточно постоянными.
1. Постановка задачи. Анализ постоянства параметров реакций динамических объектов и систем на ВМС можно проводить различными способами, которые, в частности, могут быть основаны на сравнении вычисляемых значений амплитуд и фазовых сдвигов или на сравнении вычисляемых значений коэффициентов Фурье исследуемых гармоник выходных сигналов (откликов).
В работе [2] показано, что наиболее эффективные алгоритмы метода автоинтегрирования должны базироваться на сравнении действительных и мнимых составляющих (коэффициентов Фурье) исследуемой гармоники (ИГ) периодического выходного сигнала (ПВС) динамического
объекта на ВМС. При таком подходе к построению методов и алгоритмов сокращается продолжительность вычислений ЧХ динамических объектов.
В свою очередь анализ постоянства коэффициентов Фурье ИГ ПВС динамического объекта или системы управления может осуществляться различными вариантами:
1) сравнением значений коэффициентов Фурье на я-м периоде колебаний ВМС со значениями этих же параметров на (я — 1)-м периоде (вариант метода автоинтегрирования без осреднения коэффициентов Фурье);
2) сравнением средних за последние I периодов значений коэффициентов Фурье ИГ ПВС на я-м периоде колебаний ВМС со средними за последние I периодов значениями этих же параметров на (я — 1)-м периоде (вариант метода автоинтегрирования с локальным осреднением коэффициентов Фурье [3]);
3) сравнением средних за я — к периодов значений коэффициентов Фурье ИГ ПВС, получаемых на я-м периоде ВМС (здесь к — число неанализируемых периодов), со средними значениями этих же параметров на (я — 1)-м периоде (вариант метода автоинтегрирования с полным осреднением коэффициентов Фурье [4]);
4) сравнением значений коэффициентов Фурье ИГ ПВС на я-м периоде колебаний ВМС со средними за последние I периодов значениями коэффициентов Фурье ИГ ПВС на я-м периоде колебаний ВМС (первый комбинированный вариант метода автоинтегрирования);
5) сравнением значений коэффициентов Фурье ИГ ПВС на я-м периоде колебаний ВМС со средними за я — к периодов значениями коэффициентов Фурье ИГ ПВС динамического объекта или системы управления, получаемыми на я-м периоде ВМС (второй комбинированный вариант метода автоинтегрирования);
6) сравнением средних за последние несколько периодов значений коэффициентов Фурье ИГ ПВС на я-м периоде колебаний ВМГС со средними за я — к периодов значениями коэффициентов Фурье ИГ ПВС динамического объекта или системы управления, получаемыми на я-м периоде ВМС (третий комбинированный вариант метода автоинтегрирования).
В [2] указано, что наиболее эффективным алгоритмом моногармонического метода (МГ-ме-тода) автоинтегрирования является вариант метода с полным осреднением коэффициентов Фурье. Этот метод существенно сокращает продолжительность вычислений и позволяет более точно рассчитывать ЧХ любых гармоник нелинейных динамических объектов. Однако точность вычисления ЧХ при таком методе также недостаточна потому, что переходный процесс втягивания динамического объекта в вынужденные периодические колебания заканчивается только тогда, когда средние значения коэффициентов Фурье и соответствующих им амплитуд и фазовых сдвигов всех составляющих гармоник ПВС становятся достаточно постоянными. Но такой подход к построению метода расчета ЧХ динамического объекта в принципе невозможен, так как число составляющих гармоник ПВС бесконечно. Тем не менее, точность метода расчета может быть повышена, если при анализе помимо исследуемой гармоники анализировать несколько близких к ней наиболее значимых гармоник. Такие методы расчета ЧХ называются полигармоническими.
В настоящей работе поставлена задача исследования работоспособности варианта нового полигармонического метода (ПГ-метода) автоинтегрирования с полным осреднением коэффициентов Фурье [5] для расчета ЧХ четных и нечетных гармоник нелинейных динамических объектов. При этом под работоспособностью метода понимается его способность в соответствии с предлагаемым алгоритмом вычислять ЧХ объекта.
2. Описание ПГ-метода автоинтегрирования. Алгоритм метода предписывает завершение процесса интегрирования уравнений динамического объекта, регулятора или следящей системы управления на каждой из фиксированных частот ВМС после того, как относительные изменения сравниваемых параметров анализируемых гармоник станут по модулю меньше заранее заданного числа, регламентирующего погрешность вычислений.
Алгоритм ПГ-метода автоинтегрирования для расчета ЧХ первой гармоники динамического объекта, в котором дополнительно анализируются вторая и третья гармоники, имеет два основных цикла — по частоте и по времени, при этом ВМС вычисляется по соотношению [2]
и (?) = А 8т(2л /?),
где и — текущее значение сигнала; А — его амплитуда; / — частота сигнала; I — текущее время. На каждой из фиксированных частот / в цикле из нужного их диапазона выполняется интегрирование дифференциальных уравнений исследуемого динамического объекта.
В цикле по времени в течение первых к периодов ВМС, где искажения наиболее велики, а номер периода i < к, операции анализа не проводятся. По завершении к-го периода на каждом из следующих периодов последовательно выполняются следующие действия.
1. Вычисление коэффициентов Фурье первой гармоники ПВС и двух его дополнительных гармоник — второй и третьей по соотношениям:
P(i, l) * 2fh Rm(i, l), Q(i, l) * 2fh Sm(i, l), I = 1,2,3,
m
Rm(i,l) = 1X Oin(2rc lftu) + Y (ti j _i)sin(2n Ifjj),
2 j = i
m
Sm(i, l) = 2 X j)C0S(2n lftj + Y (ti j _i)cos(2n lf ti, j_i)), 2 j=1
где P(i, l), Q(i, l) — вычисленные на i-м периоде ВМС коэффициенты Фурье l-й гармоники ПВС Y(t); h — шаг интегрирования; j — номер шага; m = T/h — число шагов h, содержащихся в одном
периоде ВМС, t,j = iT+jh, j = 0, m, — сетка моментов времени численного интегрирования методом трапеций.
Чтобы получить результаты расчетов с одинаковой точностью на каждой из фиксированных частот ВМС, шаг интегрирования h по времени варьируется и его значение в зависимости от частоты f вычисляется по выражению [2]
h = 1/(f),
где Kf — коэффициент, величина которого определяет максимальное значение шага интегрирования по времени на минимальной частоте ВМС, обеспечивающего устойчивый процесс интегрирования. Он находится экспериментально для каждой конкретной математической модели динамического объекта, регулятора или системы управления.
2. Определение средних значений коэффициентов Фурье исследуемой и дополнительной гармоник ВПС за пройденное количество анализируемых периодов ВМС
п п
X р (и /) Е а /)
Рс (п,/) = к +1 , & (п,/) = '-к + \ , I = 1,2,3, п — к п — к
где п — значение номера последнего периода ВМС.
3. Анализ достаточности постоянства средних значений коэффициентов Фурье анализируемых гармоник по выражениям
\РС (n I)| - \РС (n -11)|
Рс (n, I)
100 <s,
Qc (n, I)| - \QC (n -1,1)|
Qc (n, l)
100 <s, l = 1,2,3,
(2.1)
где е — число, регламентирующее заданную погрешность вычислений в процентах.
4. Если все неравенства (2.1) выполняются, тогда вычисляются относительная амплитуда Б1 (коэффициент усиления) исследуемой 1-й гармоники ВПС как отношение ее амплитуды, определяемой по средним значениям ко
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.