Механика
Теоретическая механика
Борисов А.В., кандидат технических наук, доцент
Выборнова Е.И., старший преподаватель
(Филиал Национального исследовательского университета «МЭИ» в г. Смоленске)
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ АНТРОПОМОРФНОГО МЕХАНИЗМА СО ЗВЕНЬЯМИ ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ
Представлена линеаризация системы дифференциальных уравнений движения, описывающих движение антропоморфного механизма со звеньями переменной длины. Новизна состоит в учете изменения длин звеньев. Приводится решение в аналитическом и графическом виде. Результаты показывают адекватность поведения предложенной модели.
Ключевые слова: антропоморфный механизм, линеаризация, звенья, переменная длина, дифференциальные уравнения движения.
THE STUDY OF THE BEHAVIOR OF THE LINEARIZED SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS OF MOTION OF THE ANTHROPO-POLYMORPHIC MECHANISM WITH LINKS OF VARIABLE LENGTH
Presents the linearization of the system of differential equations of motion describing the motion of anthropomorphic mechanism with links of variable length. The novelty consists in taking into account the changes of the lengths of the links. Is the solution in analytical and graphical form. The results show the adequacy of the behavior of the proposed model.
Keywords: anthropomorphic mechanism, linearization, links, variable length, the differential equation of motion.
В настоящее время практически все имеющиеся модели антропоморфных систем имеют абсолютно твердые звенья [1-5]. Энергозатраты таких механизмов выше, а походки, полностью имитирующей движения человека достичь не удается. Предлагаемая в данной работе модель частично восполняет указанный недостаток. Моделируется сжатие-растяжение звеньев в виде функций времени.
Система, дифференциальных уравнений движения антропоморфного механизма со звеньями переменной длины имеет вид [6]:
A(q,l) q + B(q,l) q2 + gC(q)l + 2D(q,l)(lq ) + E(q,l) l = F(q,l), (1)
Матричное уравнение, описывающее изменение длин звеньев имеет вид:
G(q,l) q + H(q,l) q2 + gK(q) + 2L(q,l)(lq ) + P(q,l) l = S(E,l). (2)
где: q - угловые обобщенные координаты q = (ф1, ..., фп)т; l - обобщенные координаты, описывающие с деформации звеньев l = (l1, ...,ln)T; A(q,l), G(q,l) - матрицы, учитывающие инерционные свойства; B(q,l), H(q,l) - матрицы, учитывающие вязкость; C(q), K(q) - матрицы, определяемые моментами силы тяжести; D(q,l), E(q,l), L(q,l), P(q,l) - матрицы, учитывающие деформации звеньев; F(q,l) - матрица-столбец обобщенных сил, т.е. управляющих моментов; S(E,l) - матрица-столбец, учитывающая упругие свойства материала звеньев, q -
матрица обобщенных ускорений; ц - матрица обобщенных скоростей, (/ц ) = (¡ц, ..., /пцп )Т - матрица, составленная из произведений /ц при равных индексах.
Проведем исследование динамики системы при малых значениях параметров фг(7) и /(). То есть, линеаризуем полученную систему дифференциальных уравнений движения (1) и (2) около точки ц = 0, / = 0, ц = 0, / = 0.
При выбранном способе отсчета углов модель представляет расположенный горизонтально сильно укороченный механизм. Такая модель важна с точки зрения качественного исследования поведения механической системы при полученном точном аналитическом решении линеаризованной системы.
Если следовать способу отсчета углов и остальным обозначениям, использованным ранее [6], то дифференциальные уравнения движения для моделей однозвенного, двухзвенного и т.д. экзоскелетов, можно привести к линеаризованной системе дифференциальных уравнений движения с целью их приближенного решения. В процессе линеаризации косинусы заменялись единицами, синусы - аргументами, члены по ц и / выше первой степени и их совместные произведения - нулями. При этом структура уравнений упрощается так же, как и матрицы коэффициентов. Тогда, система уравнений (1) и (2), превращается в линеаризованную однородную систему дифференциальных уравнений в обобщенном векторно-матричном виде, представимую так:
Л(д,Г) д + gC(q)¡ = 0, (3)
Матричное уравнение для относительных деформаций звеньев имеет вид:
(ХЯ,1) ц + gK(q) + Р(ц,/)1" = 0. (4)
где: ц - угловые обобщенные координаты ц = (ф1, ., фп)Т; - обобщенные координаты, описывающие с деформации звеньев / = (А, ..., /п)Т; ц - матрица обобщенных ускорений;
Л(ц,/), 0(ц,/) - матрицы, учитывающие инерционные свойства; С(ц), К(ц) - матрицы, определяемые моментами силы тяжести; Р(ц, ) - матрица, учитывающая деформации звеньев, но элементы этих матриц не совпадает с соответствующими элементами матриц из системы (1)
и (2).
Равенство нулю правой части в записанных уравнениях означает, что отсутствует управление, система предоставлена самой себе в поле тяжести Земли.
Линеаризованные уравнения для однозвенника имеют вид:
/1 ф1 + gmlnl¡l = 0, (5)
(6)
gm1n1ф1 + т1п1/1 = 0.
При этом, для однозвенника матрица G(ф1,¡1) = 0. Предполагаем, что ф1 = ф1(^) и /1 = ^(7), масса звена - т1, множитель задающий положение центра масс - п1, момент инерции - /1.
Линеаризованная система не учитывает в полной мере многие свойства исходной модели, но отражает основные закономерности на небольшом промежутке времени.
Приведем общее аналитическое решение полученной системы для однозвенной механической системы со звеном переменной длины.
ф1
ЧС1
т1п1
- 1] -
- 1] -
(7)
1
е
- Сэ-
+
^¡тп [1 + е2?] + €4 ^ЩЩ [1 + е2?] + + 4т\П\ [£эл1 т1п1 + с^дД!]008^ +
2е?^Т^^А + 6'2л/Щ\П\ ]81иС).
=
(-с^ [е2? - 1] + с^л/т\П\ ^ [е2? - 1] +
41Щп[
+ сэ ^тЩ [1 + е2?] - €4 д/М ^тЩ [1 + е2?] + ^т1п1 [Сэл]тщ + с^^М ■ 2е?^Л^Л/А + €2 4тщ ]81иС),
(8)
+ :
+
где
т1п1
/1
, с1, с2, сэ, с4 - константы интегрирования, ^ - ускорение свободного
падения.
Находим частное решение при следующих начальных значениях: ф 1(0) = 0,01 рад, /1(0) = 0,01 м, ф! (0) = 0,01 рад/с, (0) = 0,01 м/с.
Построим графики полученного решения при следующих значениях констант, характе-
2
ризующих данный механизм: т1 = 0,98 кг; /1 = 0,01 кг-м ; п1 = 0,559.
ф1
/1
Рис. 1. Зависимости угла поворота и длины звена от времени для однозвенной механической системы
Анализируя полученные графики можно сказать, что представленная математическая модель адекватно описывает поведение механической системы. Угол наклона звена из начального положения убывает, что соответствует движению под действием силы тяжести. При этом звено незначительно увеличивает свою длину.
Также получено решение для двухзвенной механической системы, однако оно находится на комплексной плоскости и громоздко. Несмотря на упрощения, привести его в тексте работы затруднительно.
Представим графическое решение данной системы с такими же начальными данными, как и для однозвенной механической системы.
1
0.0] 0.(12 X О.оз 0.04
0.111 OS
1)01 0.02 0.03 0.04 0.0S
Рис. 2. Зависимости углов поворота и длин звеньев от времени для двухзвенной механической системы
t
Полученные результаты показывают, что звенья движутся совместно под действием силы тяжести, при этом первое звено растягивается, а второе, прикрепленное к нему, сначала растягивается, затем сжимается. После того, как второе звено начало сжиматься, первое звено начинает сильнее растягиваться.
В работе [3] проводится численное исследование линеаризованных систем дифференциальных уравнений для многозвенных механизмов. В данной работе ограничимся точными аналитическими решениями для простейших систем дифференциальных уравнений, полученными после линеаризации.
Таким образом, впервые в аналитическом виде получено решение линеаризованной системы дифференциальных уравнений движения, описывающей экзоскелет с деформируемыми звеньями. Показана адекватность ее поведения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лапшин В.В. Механика и управление движением шагающих машин. М.: МГТУ. 2012, 200 с.
2. Мащенко С.В., Заднепрянный А.Н. Шагающая система робота. // Искусств. интеллект. 2012, № 1, с. 243-249.
3. Формальский А. М. Перемещение антропоморфных механизмов / А. М. Формальский. -М. : Наука, 1982. - 368 с.
4. Blajer W., Czaplicki A. An alternative scheme for determination of joint; reaction forces in human multibody models. J. Theor. Appl. Mech. 2006; 43:813-824.
5. BoscariolP., Gasparetto A. Model-based trajectory planning for flexible-link mechanisms with bounded jerk. // Rob. and Comput. Integr. Manuf. 2013. 29, № 4, pp. 90-99.
6. Борисов А. В. Динамика эндо- и экзоскелета : монография / А. В. Борисов. - Смоленск: Смоленская городская типография, 2012. - 296 с.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.