научная статья по теме ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЧНОСТИ УПРУГОЙ ПЛОСКОСТИ, СОДЕРЖАЩЕЙ БЕСКОНЕЧНУЮ КВАДРАТНУЮ РЕШЕТКУ КРУГОВЫХ ОТВЕРСТИЙ, ПРИ МЕХАНИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ Механика

Текст научной статьи на тему «ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЧНОСТИ УПРУГОЙ ПЛОСКОСТИ, СОДЕРЖАЩЕЙ БЕСКОНЕЧНУЮ КВАДРАТНУЮ РЕШЕТКУ КРУГОВЫХ ОТВЕРСТИЙ, ПРИ МЕХАНИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2014

УДК 539.3

© 2014 г. В. В. МОКРЯКОВ

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЧНОСТИ УПРУГОЙ ПЛОСКОСТИ, СОДЕРЖАЩЕЙ БЕСКОНЕЧНУЮ КВАДРАТНУЮ РЕШЕТКУ

КРУГОВЫХ ОТВЕРСТИЙ, ПРИ МЕХАНИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

Рассмотрены прочностные характеристики упругой плоскости, ослабленной квадратной решеткой круглых отверстий. Исследованы концентрации напряжений в трех разных решетках в условиях одноосного растяжения/сжатия в различных направлениях. Вычислены минимальные и максимальные значения концентраций, рассмотрены поля напряжений в разных решетках.

Показано, что при условиях сжатия разрушение может появиться внутри материала, а не на краю отверстий. В плотных решетках продемонстрирован степенной вид зависимостей величин концентраций от структурного параметра, равного отношению промежутка между отверстиями к радиусу отверстий.

Ключевые слова: упругость, отверстия, прочность, концентрация напряжений, растяжение, сжатие, анизотропия.

1. Введение. Перфорированные элементы конструкций с периодическими структурами отверстий различного назначения широко используют в инженерной практике: в производстве, в строительстве, в машиностроении. Кроме того, подобные структуры могут самоорганизовываться в естественных или технологических процессах (см. [1—6]).

Решетки отверстий давно изучают с целью оценки их прочностных свойств. Фундаментальным трудом о перфорированных пластинах и оболочках является монография [7]. Большое внимание данной теме уделено в работах [8—14] и многих других. Благодаря указанным трудам сейчас теоретическая база расчета перфорированных пластин хорошо разработана.

В [15] (а также другим методом в [16]) теоретически проанализированы свойства ромбических перфорированных решеток при одноосном растяжении (задача симметричная). Авторы исследовали зависимости максимального окружного напряжения на контуре отверстия от геометрических параметров решетки.

В [17] с помощью разработанного там метода рассмотрена периодическая решетка, элементарная ячейка которой содержит восемь эллиптических отверстий, и вычислены окружные напряжения на контурах этих отверстий.

В [18] поставлена обратная задача: найти оптимальную форму отверстия решетки для заданных значений эффективных упругих модулей. Для решения этой сложной задачи автор предложил использовать разработанный им генетический алгоритм.

Из недавних статей можно указать, например, работы [19, 20], посвящённые исследованию решеток с квадратными отверстиями. Также можно отметить [21], где исследован ряд методов гомогенизации пористых сред. В качестве модели пористой среды используется квадратная решетка круглых отверстий.

Данная работа является продолжением [22] и исследует анизотропию прочностных свойств решеток. Рассмотрены концентрации напряжений в решетках при одноосном растяжении/сжатии. Исследован ряд решеток под различными углами нагрузки (от 0° до 45°) при одноосном растяжении/сжатии. Показано, что в зависимости от геометрии решетки имеют место разные режимы разрушения. Продемонстрирован степенной характер зависимости концентрации от отношения расстояния между отверстиями по отношению к радиусу отверстий.

2. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечную упругую плоскость, содержащую систему одинаковых круговых отверстий (фиг. 1). Центры отверстий образуют квадратную решетку. Нагрузка на контурах отверстий отсутствует. Главным структурным параметром решетки является 8 = ё/Я, где ё — расстояние между соседними отверстиями, Я — радиус отверстий. Целью работы является исследование прочностных характеристик перфорированной плоскости по сравнению с характеристиками сплошной плоскости.

В статье рассмотрены два механизма разрушения: вследствие образования трещины отрыва и трещина сдвига. Трещина отрыва может возникнуть, когда нормальное напряжение (на какой-либо площадке) достигает критической величины. Очевидно, что максимальное нормальное напряжение является первым главным напряжением в данной точке. Трещина сдвига, соответственно, может возникнуть в точке, где сдвиго-

вое напряжение достигает критической величины. Такое максимальное сдвиговое напряжение равно интенсивности напряжений [23]:

^ = + )+х; 2 + т2

Таким образом, необходимо вычислить максимальные величины ст: и ттах в тех или иных условиях нагружений, чтобы определить, есть ли риск появления трещины.

В статье рассматривается решетка, подвергаемая одноосному растяжению (или сжатию), угол направления нагрузки — а (величина отсчитывается от оси решетки), величина нагрузки (осредненная по периодической ячейке) обозначена ст* (фиг. 1). Учитывая, что в такой постановке задачи ст1 и ттах пропорциональны ст*, можно говорить о величине концентрации растягивающих (с = ст1/ст*) или сдвиговых напряжениях (с = ттах/ст*), независимой от внешней нагрузки, т.е. в данном определении концентрация является параметром решетки.

3. Метод решения. Задача решается с помощью метода мультипольных разложений (ММР, см. [22, 23]). Метод основан на теории комплексных потенциалов Колосова— Мусхелишвили ([24]), согласно которой упругое напряженно-деформированное состояние (НДС) может быть представлено в виде двух голоморфных функций ф(г) и у(г), так называемых упругих потенциалов (г — переменная, соответствующая точке в упругой плоскости). Доказано, что такое представление удовлетворяет уравнениям теории упругости автоматически, и это значит, что остается только удовлетворить граничные условия.

В работах [9, 10] и др. с использованием граничных сингулярных интегральных уравнений (ГСИУ) показано, что упругие потенциалы могут быть найдены с помощью граничных функций g(t) и q(t), заданных на контурах упругой области (? — переменная, соответствующая точке на контуре).

Смысл ММР заключается в том, что благодаря голоморфности потенциалов, их можно разложить в ряд Лорана в той или иной точке г*

Ф(г) = Е Ф« (г - г*)«, V (г) = Е Vп (г - г*)п

Учитывая, что все контуры в данной задаче представляют собой окружности, будет удобно потенциалы разложить в ряд в центрах отверстий. Тогда на круговых контурах ряд Лорана превращается в ряд Фурье. Соответственно, граничные функции g(t) и q(t) также удобно представить в виде ряда Фурье, и в результате решение задачи (искомое НДС) будет определяться коэффициентами ряда Фурье. В случае если контуры свободны от нагрузок (как в данной задаче), функция q(t) равна нулю. Более подробно решение описано в [22].

4. Численный эксперимент. В зависимости от величины введенного структурного безразмерного параметра 8 = й/В можно выделить три разных вида решеток (фиг. 2):

разреженная решетка 8 > 1 (й > В),

соразмерная решетка 8 « 1 (й « В),

плотная решетка 8 < 1 (й < В).

В работе рассмотрен случай одноосного растяжения/сжатия. Внешние нагрузки и расположение решетки выбраны так, чтобы горизонтальные средние по ячейке напряжения (ст^) были нулевыми1, а вертикальные (ст ) — равны ст*. Вычислены величи-

1 В статье [22] в пункте 3 указаны связи между средними напряжениями и средними деформациями, т.е. эффективные податливости; иначе говоря, деформировав решетку определенным образом, возможно создать заданное напряженное состояние.

а = юл

а = я

Фиг. 2

а = 0.1Я

100

10

3

(а)

1

15

30

100

10

15

30

45

3 (Ь)

2

1

45

Фиг. 3

ны максимальных напряжений (растяжение и сдвиг) в среде для ориентаций нагрузки от 0° до 45° в трех решетках — 8 = 0.1, 1, 10.

4.1. Концентрации с, и с, на контуре отверстия при одноосном растяжении. На графике (фиг. 3, а) представлены величины концентраций растягивающих напряжений с, при ориентации внешней нагрузки от 0° до 45° для трех решеток с разными 8 (на фиг. 3: для кривой 18 = 10; для кривой 2 8 = 1; для кривой 3 8 = 0.1). Поле первого главного напряжения показано на фиг. 4, а прямая нагрузка (а = 0°), на фиг. 4, Ь диагональная нагрузка (а = 45°).

Концентрация напряжений в среде разреженной решетки (8 = 10) оказалась близка к концентрации в окрестности одиночного круглого отверстия с,« ск = 3 (задача Кирша, [24]). Наименьшая величина концентрации равна 3.002 (при а = 0°, т.е. внешняя нагрузка направлена вдоль оси решетки), наибольшая — 3.138 (при а = 45°, т.е. внешняя нагрузка направлена по диагонали относительно осей решетки).

Для соразмерной решетки (8 = 1) минимальная величина = 3.996 (при а = 0°). Максимальная = 6.354 при а « 36°, т.е., в отличие от случая разряженной решетки, максимум отклоняется от диагональной ориентации.

Случай плотной решетки (8 = 0.1) аналогичен случаю соразмерной, с тем отличием, что концентрация увеличиваются на порядок (по сравнению с концентрацией в сораз-

с

1

с

1

Фиг. 5

мерной решетке) : минимальная с, = 21.726 (при а = 0°), максимальная с, = 77.467 (при а « 42°).

Можно сделать вывод, что концентрация в окрестностях отверстий решетки тем выше, чем меньше расстояние между соседними отверстиями.

Концентрация сдвиговых напряжений с8 (фиг. 3, Ь) ведет себя аналогично концентрации растягивающих напряжений, с учетом того, что величина с8 вдвое меньше с(.

4.2. Концентрация сс на контуре отверстия при одноосном сжатии. Концентрация в разреженной решетке при сжатии, как и в предыдущем параграфе, близка к концентрации в окрестности отверстия в задаче Кирша (в условиях одноосного сжатия концентрация ск = 1). Но, в отличие от случая одноосного растяжения, здесь при 0° < а < < 18° концентрация сс меньше ск. Области понижения концентрации имеют место и в соразмерной (0° < а < 6°), и в плотной (0° < а < 0.4°) решетках, причем величина может снижаться до 0.275 (для плотной решетки).

То есть в определенных диапазонах направления внешнего сжатия концентрация напряжений в решетке может быть в разы меньше, чем концентрация в окрестности одиночного отверстия (см. фиг. 5).

Если рассмотрим поле ст: в условиях прямого внешнего сжатия (см. фиг. 6: (а) прямая нагрузка (а = 0°), (Ь) диагональная нагрузка (а = 45°)), то отметим, что максимальное значение достигается не на контурах отверстий, а в точках, максимально удаленных от центров отверстий. Это значит, что в данном случае трещина отрыва (при достаточно высокой нагрузке) возникнет

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком