КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 69, № 4, с. 488-495
УДК 536.75539.2
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОБЪЕМНОЙ КОНДЕНСАЦИИ ПЕРЕСЫЩЕННОГО ПАРА МЕТОДОМ ПРЯМОГО ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАПЕЛЬ ПО РАЗМЕРАМ
© 2007 г. Н. М. Корценштейн*, Е. В. Самуйлов*, А. К. Ястребов**
*ОАО "Энергетический институт им. Г.М. Кржижановского" 119991 Москва, Ленинский проспект, 19 **Московский энергетический институт (Технический университет) 111250 Москва, Красноказарменная ул., 14 Поступила в редакцию 08.11.2006 г.
Процесс объемной конденсации пересыщенного пара исследован путем прямого численного решения основного кинетического уравнения для функции распределения капель по размерам. Использована аналогия с соответствующим решением кинетического уравнения Больцмана. Предлагаемое рассмотрение конденсационного роста капель пригодно при любых значениях числа Кнудсена. Тестирование метода проведено на примере конденсации пара при быстром создании пересыщения в парогазовой смеси в результате адиабатического расширения. Для широкого диапазона изменения числа Кнудсена проведено сравнение результатов моделирования с полученными методом моментов.
ВВЕДЕНИЕ
Моделирование процесса объемной конденсации пересыщенного пара будем проводить на базе кинетического уравнения для функции распределения капель по размерам. В случае гомогенной конденсации пара в неподвижной среде без учета коагуляции капель указанное уравнение имеет следующий вид (см., например, [1]):
где
= 15( г - г
ръ
дг дг
(1)
< П„
= п
\ г
ггп 1 /(г, г)<г + — г Ръ
(2)
а =
| гп/(г, г)<г
(3)
где /(г) - массовая функция распределения капель по размерам, нормированная на число капель в единице массы паро-газо-капельной смеси, г - радиус капли, г - скорость роста капель, I - скорость нуклеации, ръ - плотность паро-газо-ка-пельной смеси, 5 - дельта-функция Дирака, гкр -критический радиус капель. Когда размер капель много меньше средней длины свободного пробега X (т.е. при больших числах Кнудсена, Кп > 1, Кп = = Х/г), для решения уравнения (1) обычно применяется моментный метод, который позволяет получить эквивалентную (1) систему моментных уравнений для первых четырех моментов функции распределения [1]. Моментные уравнения получаются умножением уравнения (1) на гп (п = 0...3) и интегрированием по радиусу капель:
- моменты функции распределения. Нулевой момент П0 равен числу капель в единице массы смеси, третий момент П3 - их суммарному объему в единице массы смеси и т.д.
Поскольку при больших числах Кнудсена скорость роста не зависит от радиуса капли (с точностью до зависимости равновесного давления пара от радиуса капель), система интегро-дифферен-циальных уравнений (2) может быть преобразована в систему дифференциальных уравнений относительно моментов функции распределения:
. п (4)
= пгО,п-1 + -1- гп
Ръ
кр
При решении кинетического уравнения момент-ным методом находятся именно моменты 0.п, а сама функция распределения при необходимости восстанавливается по ее моментам. В [1] приведено аналитическое решение уравнения (1) при больших числах Кнудсена.
К достоинствам моментного метода относятся относительная простота и высокая точность. Однако при малых и умеренных числах Кнудсена из-за зависимости скорости роста капель от их размеров переход от системы уравнений (2) к системе уравнений (4) выполнен быть не может, и момент-
г
кр
г
кр
ные уравнения становятся интегро-дифференци-альными уравнениями. В связи с этим возникает проблема выбора: решать интегро-дифференци-альные моментные уравнения или исходное дифференциальное уравнение кинетики конденсации (1). В этом случае моменты функции распределения, определяющие параметры конденсационного аэрозоля, могут быть найдены непосредственно из решения кинетического уравнения.
В данной статье, являющейся развитием предыдущей работы авторов [2], выбор сделан в пользу непосредственного решения кинетического уравнения. Мы воспользуемся известными результатами, полученными при решении проблемы испарения-конденсации на межфазных поверхностях на базе кинетического уравнения Больцмана. Для одномерных нестационарных процессов переноса в отсутствие внешних сил это уравнение имеет вид [3]:
I+4;• I -'<' )■
(5)
Здесь Р(4) - функция распределения молекул по скоростям 4, 4х - проекция скорости молекулы на ось х, 3 - интеграл столкновений Больцмана
х 2п+ х + х + х
3 (Р) = ШИ( Р р1- >
0 0 —х —х —х
х ЬёЬёг й 4 хй ^ уй 41г,
х
(6)
ся на отдельные этапы: на каждом шаге по времени сначала решается уравнение эволюции системы в свободно-молекулярном режиме
дР+=о
Ы 4хдх '
а затем уравнение релаксации родной системе
(7)
локально одно-
£ = " ■
(8)
где Р = Р(4), р = Р&), Р = Р(4'), Р = Р41), 41 и 4 -скорости молекул до столкновения, 41 и 4' - их скорости после столкновения, g = 41 - 4 - относительная скорость, Ь - прицельное расстояние, £ -угловой параметр взаимодействия. Значения 41 и 4' зависят от величин 41, 4, Ь и £, а также от потенциала взаимодействия между молекулами.
Имеются разнообразные методы решения уравнения Больцмана. В частности, широко распространены моментный метод и метод прямого численного решения. Именно моментный метод решения уравнения Больцмана послужил в свое время основой для создания аналогичного метода решения основного кинетического уравнения объемной конденсации. В качестве примера использования моментного метода при решении уравнения Больцмана можно привести задачу об испарении-конденсации на межфазной поверхности. Этим методом были найдены [4, 5] коэффициенты, связывающие скачки давления и температуры вблизи границы раздела фаз и потоки тепла и массы, в условиях слабой и сильной неравновесности.
Метод прямого численного решения уравнения Больцмана разработан в нескольких вариантах [6, 7], в которых используются различные подходы к вычислению интеграла столкновений. В этом методе физические процессы разбивают-
При этом решение уравнения (7) является начальным условием для уравнения (8), а решение уравнения (8) - начальным условием для уравнения (7) на следующем временном шаге.
Метод прямого численного решения уравнения Больцмана использовался при анализе разнообразных проблем [8]. Из них наиболее близка предмету данной статьи задача о нестационарном тепломассопереносе в паровой пленке при пленочном кипении [9, 10]. Использование метода прямого численного решения позволило решить ее в нестационарном приближении и выявить особенности поведения паровой пленки на различных стадиях процесса. В частности, была выявлена возможность конденсации пара в паровой пленке при нестационарном нагреве холодной жидкости горячим телом.
Данная работа состоит из двух частей. В первой части изложен метод прямого численного решения кинетического уравнения (1) для функции распределения капель по размерам. Во второй части на конкретной задаче проведено тестирование предложенного метода, причем рассмотрены случаи больших и малых значений числа Кнудсе-на. В качестве тестовой выбрана задача о конденсационной релаксации пересыщенного пара после расширения парогазовой смеси. Ранее [11-13] эта задача была решена моментным методом для больших чисел Кнудсена.
МЕТОД ПРЯМОГО ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КИНЕТИКИ КОНДЕНСАЦИИ
Кинетическое уравнение Больцмана (5) и кинетическое уравнение для функции распределения капель по размерам (1) имеют схожий вид, поэтому для их решения могут использоваться одни и те же методы. Взяв за основу метод прямого численного решения уравнения Больцмана, мы разработали метод численного решения кинетического уравнения объемной конденсации. При построении метода учитывались следующие различия уравнений (5) и (1):
а) в уравнении (1) функция распределения дифференцируется по основной переменной г, тогда
как в уравнении Больцмана (5) дифференцирования по компоненте скорости нет;
б) уравнение Больцмана является интегро-дифференциальным, а уравнение кинетики конденсации - дифференциальным, причем сложным этапом в решении уравнения Больцмана является расчет интеграла столкновений, который требует больших затрат машинного времени;
в) правая часть уравнения Больцмана консервативна, а правая часть уравнения кинетики конденсации неконсервативна, то есть наличие правой части в уравнении Больцмана не сказывается на сохранении суммарных массы, импульса и энергии молекул пара, тогда как в уравнении конденсации правая часть влияет на число капель, их суммарный объем и т.д.
Аналогами уравнений (7) и (8) в задаче о конденсации пара могут служить уравнения, описывающие рост капель и их нуклеацию:
д/ . д(гЛ = 0
dt dr 0'
|f = 1 S( r - r KP).
Px
(9)
(10)
'¥* = -,
dt Px
(11)
X/Ar- = 1 ■
; d t PX
(12)
тическому, так как при г Ф гкр правая часть уравнения (10) равна нулю. По этой причине все слагаемые в левой части (12), кроме первого, равны нулю. Таким образом, окончательный вид разностной схемы для уравнения нуклеации таков:
/ + 1 - / Д I
-1-Д Г1 = —,
At 1 px'
(13)
где значение функции распределения /1 соответствует критическому радиусу, Аг1 = г2 - гъ - номер шага по времени.
На этапе роста новые капли не образуются, поэтому разностная схема для уравнения (9) должна быть такой, чтобы нулевой момент функции распределения (т.е. число капель) оставался постоянным:
|t I № = 0.
I /
(14)
Физически правильным представляется следующий порядок этапов: сначала идет образование капель (уравнение (10)), а затем их рост (уравнение (9)). Так же как и при численном решении уравнения Больцмана, решение уравнения (10) служит начальным условием для уравнения (9), а решение уравнения (9) - начальным условием для уравнения (10) на следующем временном шаге.
Для численного решения уравнений (9) и (10) необходимо ограничить область изменения радиуса капель. Естественной нижней границей является критический радиус, а в качестве верхней границы можно взять любое достаточно большое значение радиуса гтах, при котором функция распределения всегда остается равной нулю. В расчетной сетке по радиусу капель в качестве первого узла берется критический радиус.
Проблема, связанная с наличием дель
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.