МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 6 • 2014
УДК 539.374
© 2014 г. С. Е. АЛЕКСАНДРОВ, Р. В. ГОЛЬДШТЕЙН
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОСАДКИ ТРЕХСЛОЙНОЙ ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЫ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛИТАМИ
Исследован процесс осадки трехслойной полосы между параллельными шероховатыми плитами в условиях плоскодеформированного состояния. Внутренний слой полосы предполагается жесткопластическим упрочняющимся, а два внешних слоя предполагаются идеально жесткопластически-ми. Краевая задача имеет две оси симметрии. Считается, что толщина полосы значительно меньше ее ширины. Краевые условия на краю и в центре полосы выполняются в интегральной форме. На поверхности контакта полосы и плит, а также на поверхности контакта слоев, возможны два режима трения — проскальзывание и прилипание. Показано, что общая структура решения зависит от того, какой из этих режимов реализуется. В частности, один из слоев может оставаться жестким на некоторой стадии процесса деформирования. Для точного определения условий смены режима трения и состояния каждого слоя (жесткий или пластический) сформулированы дифференциальные уравнения, решение которых должно быть получено численно. Для некоторых значений параметров краевой задачи поле скоростей является сингулярным вблизи одной или обеих поверхностей трения. Для таких случаев вычисляется коэффициент интенсивности скорости деформации, величина которого, по предположению, контролирует процесс формирования узкого слоя с сильно измененными свойствами вблизи соответствующей поверхности трения.
Ключевые слова: трехслойная полоса, осадка, режим трения, жесткопла-стическое тело, коэффициент интенсивности скорости деформации.
Введение. Определение напряженно-деформированного состояния при плоском течении жесткопластической полосы с малым отношением толщины к ширине в процессе ее сжатия между параллельными шероховатыми плитами является одной из классических задач теории пластичности (задача Прандтля о сжатии полосы). Решение для однородной идеально жесткопластической полосы представлено в монографиях по теории пластичности, например [1]. Известны многочисленные обобщения этого решения. Ограничиваясь исследованиями, в которых рассматривались полосы из упрочняющегося материала или многослойные полосы, представляющие наибольший интерес для публикуемой работы, отметим решения [2—6]. В [2—4] получены решения для различных моделей жесткопластических упрочняющихся тел. В [5] исследовано течение трехслойной полосы, состоящей из комбинации слоев идеально жест-копластического и жестковязкопластического материалов. В [6] получено решение для полосы, составленной из произвольного количества идеально жесткопластиче-ских слоев. В публикуемой работе строится решение для процесса осадки полосы, состоящей из двух слоев идеально жесткопластического материала, примыкающих к плитам, и внутреннего жесткопластического упрочняющегося слоя. При этом принимается достаточно общий закон изотропного упрочнения. Показано, что режим тре-
4
ния на поверхности контакта слоев (прилипание и проскальзывание) зависит от параметров моделей материалов и геометрических параметров. Известно, что механизм пластического течения является одним из основных факторов, влияющих на формирование узкого слоя материала с сильно измененными свойствами вблизи поверхностей трения [7]. В случае деформирования композиционных материалов такие слои появляются на границе контакта разнородных материалов [8, 9]. Несмотря на существенное значение, оказываемое структурой поверхностного слоя материала на эксплуатационные характеристики изделий, подавляющее большинство работ в этой области относится к различным процессам резанья металлов (например, [10] и список литературы в этой статье). Формированию поверхностных слоев в процессах обработки давлением посвящены исследования [11, 12], которые, однако, не носят систематический характер. Предполагается, что полученное решение может служить основой для разработки экспериментальной программы, направленной на систематическое изучение процесса формирования узкого слоя с сильно измененными свойствами вблизи поверхностей контакта двух разнородных материалов при их обработке давлением.
1. Постановка задачи. Рассматривается процесс осадки трехслойной полосы между параллельными плитами в условиях плоскодеформированного состояния. Геометрическая схема процесса и декартова система координат (х, у) показаны на фигуре. Внутренний слой, текущая толщина которого обозначена 2Н,, предполагается упрочняющимся жесткопластическим телом. Два одинаковых слоя, примыкающих к плитам, предполагаются идеально жесткопластическими. Текущая толщина каждого из этих слоев равна Н - Н,, где к — половина текущей толщины полосы. Скорость движения каждой плиты постоянна и равна и0. Процесс симметричен относительно осей х и у. В связи с этим решение строится только в области 0 < х < X и 0 < у < Н, где Ь — половина текущей ширины полосы.
Определяющие уравнения идеально жесткопластического материала внешних слоев имеют вид
(хх -стуу)2 + 4аХу = 4кр, %хх + %уу = 0, % ^ = СТ*у (1.1)
% хх % уу хх уу
Здесь а ХХ, о уу, о Ху — компоненты тензора напряжения в декартовой системе координат, Е, ХХ, Е, уу, Е, Ху — компоненты тензора скорости деформации в декартовой системе координат, кр — предел текучести при чистом сдвиге, являющийся постоянной материала. Первое уравнение системы (1.1) — условие пластичности. Второе и третье уравнения следуют из ассоциированного закона течения. При этом необходимо, чтобы знаки оху и Е,ху совпадали. Очевидно, что второе уравнение является уравнением несжимаемости. Определяющие уравнения упрочняющегося жесткопластического материала внутреннего слоя имеют вид
(ахх -а уу )2 + 4а Ху = 4£о2Ф 2 (е еЧ), % хх +% уу = 0, % ^ = а*у (1.2)
% ХХ % уу а ХХ а уу
Здесь Вед — накопленная деформация, определяемая уравнением
% = $ ед (1.3)
Л
Здесь Ы/Л — полная производная по времени и — эквивалентная скорость деформации. В случае плоскодеформированного состояния определяется соотношением
^ ед
^ (Хх + ^уу + 2^Ху ) (1.4)
Предполагается, что Ф (£еч) — произвольная функция накопленной деформации, удовлетворяющая условиям Ф (0) = 1 и ЫФ/Ывеч > 0 для всех Ееч. В начальный момент времени е ед = 0. Таким образом
£еЧ = 0 (1.5)
при к = И и к, = И1, где 2Н и 2Н,- — начальные значения толщины полосы и толщины внутреннего слоя, соответственно. Кроме того, к0 — начальный предел текучести при чистом сдвиге. Системы определяющих уравнений в каждом слое дополняются уравнениями равновесия
даХХ/дх + да Ху /ду = 0, да Ху /дх + дауу / ду = 0 (1.6)
Кроме того необходимо учесть, что
5ХХ , 5уу , 5ху = 1 ^ + (1.7)
дх уу ду у 2 ^ ду дх)
Здесь иХ и иу — проекции вектора скорости на декартовы оси координат.
Считается, что к < Ь. В связи с этим для построения приближенного решения принимаются предположения, используемые в соответсвующем приближенном решении задачи Прандтля об осадке однородной идеально жесткопластической полосы (например, [1]). В частности, точные краевые условия при х = 0 и х = Ь заменяются интегральными условиями вида к
| а хх|Х=ьЫу = 0 (1.8)
0 к
1 их\х=0 ыУ = 0 0.9)
0
Краевые условия, которые выполняются точно, имеют форму
uy = 0 при y = 0 (1.10)
uy =-U0 при y = h (1.11)
оXy = 0 при y = 0 (1.12)
[a yy ] = 0, [а Xy ] = 0, [uy ] = 0 (1.13)
при y = h. Квадратные скобки в (1.13) обозначают величину скачка функции, заключенной в скобки. Помимо условий (1.10)—(1.13), необходимы условия трения при y = h и y = h. Возможны два режима трения: прилипание и проскальзывание. Режим трения должен определяться из решения краевой задачи. При выполнении режима прилипания на поверхности плиты
Ux = 0 (1.14)
при y = h. При выполнении режима проскальзывания на этой поверхности
о xy =-mkp (1.15)
при y = h. В (15) учтено, что ux > 0, если выполняется режим проскальзывания. При выполнении режима прилипания на поверхности контакта слоев
[ux] = 0 (1.16)
при y = h. При выполнении режима проскальзывания на этой поверхности
Cxy = ±m min {kp, k} (1.17)
при y = h. Правильный знак в (1.17) определяется из решения. Величина kt — локальный предел текучести при чистом сдвиге материала внутреннего слоя. В уравнениях (1.15) и (1.17) предполагается, что m и ml — постоянные.
2. Решение в начальный момент времени. Ввиду условия (1.5), в начальный момент необходимо построить решение, полагая, что Ф (seq) = 1 в (1.2). Такое решение можно получить, как частный случай решения [6] для осадки многослойной полосы, все слои которой являются идеально жесткопластическими. В частности, решение в [6] строится, как комбинация решений вида
üxx = 2k[l - (Ay + C)2]1/2 + k(Ax + B), ayy = k(Ax + B), axy = -k(Ay + C)
u п lr- -,-11// I- -,-ili/l u (2.1)
u-x = G - Ex--
U0
■Ex - 2E {[l - (Ay + C)2 f - [l - (AHl + C)) f}, Ц- = ^ + Ey
Здесь А, В, С, О, Е, Е — постоянные интегрирования, а к — предел текучести материала слоя, в котором используется решение (2.1). Непосредственной подстановкой можно убедиться, что решение (2.1) удовлетворяет уравнениям (1.1), (1.6) и (1.7). В рассматриваемом случае к = кр в слое, примыкающем к плите. Постоянные интегрирования в этом слое будем обозначать нижним индексом 2 (вместо А будем писать А2 и так далее). Во внутреннем слое к = к0. Постоянные интегрирования в этом слое будем обозначать нижним индексом 1 (вместо А будем писать А± и так далее).
Если слой, примыкающий к плите, находится в пластическом состоянии, то в нем имеет силу решение (2.1). Таким образом, их ^ 0 при у = Н и условие (1.14) не выпол-
няется. Следовательно, такое решение возможно только при условии (1.15). Положим, что
иу =-в и о (2.2)
при у = Н1. Величина Р должна быть определена из решения. Краевые условия (1.10)— (1.13) и (1.15) не зависят от режима трения при у = И,. Подставляя эти условия и (2.2) в решение (2.1), получим систему уравнений
р1 = 0, - 1 = Р2 + Е 2Н, С1 = 0, А1 =-рЛ2, В1 = -рВ2
кРЛ2, В1 = кр
ко ко
к
АН + С1 = -Р (Л2 Н, + С2), - р = ЕН + р = Е2Н1 + ¥ъ т = Л2Н + С2 ко
Из этой системы уравнений следует, что
крЛ2, В1 = ко ко
Е — в Е — 1 -в Р — Н -в Н
Ел —--,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.