ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2013, том 53, № 10, с. 1679-1683
УДК 519.63
ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ^
© 2013 г. Е. А. Волков
(119991 Москва, ул. Губкина, 8, Матем. ин-т им. Стеклова РАН) Поступила в редакцию 06.05.2013 г.
Детально излагается доказательство существования и единственности классического решения нелокальной краевой задачи для оператора Пуассона на двумерной прямоугольной области, опирающееся на принцип сжатых отображений. Библ. 4.
Ключевые слова: область в виде прямоугольника, нелокальная краевая задача для оператора Пуассона, принцип сжатых отображений, разрешимость краевой задачи.
Б01: 10.7868/80044466913100141
ВВЕДЕНИЕ
В [1] в дифференциальной и разностной трактовках исследована нелокальная краевая задача типа Бицадзе—Самарского для оператора Пуассона на двумерной прямоугольной области и доказаны существование и единственность классического решения этой задачи. Установлено, что если у решения дифференциальной задачи непрерывны на заданной замкнутой прямоугольной области четвертые производные, то отклонение от него на сетке разностного решения в равно-
2
мерной метрике и в разностной метрике Ж2 имеет второй порядок малости по шагу сетки.
В настоящей работе исследуется вариант нелокальной краевой задачи, взятый из [1], с добавлением к нему граничного условия первого рода на одной из сторон прямоугольника.
Классическое решение нелокальной краевой задачи находится в виде суммы двух функций. Первая функция есть решение обычной краевой задачи I рода, в которой правая часть уравнения и функция, задающая граничное условие, те же, что и в нелокальной краевой задаче. Второе слагаемое является решением краевой задачи для уравнения Лапласа при однородных краевых условиях на трех сторонах прямоугольника. На четвертой стороне граничное условие задает некоторая функция, которая явно выражается через решение нелинейной системы уравнений, построенной с помощью операторов сжатия, через коэффициенты нелокальной краевой задачи и через решение указанной выше краевой задачи I рода.
Единственность решения нелокальной краевой задачи вытекает из доказанной ниже теоремы 1.
Изложенный метод исследования разрешимости нелокальной краевой задачи на прямоугольнике очевидным образом переносится, например, на такие области, как параллелограмм, сектор кольца, а также на трехмерные области типа цилиндра.
В [2] изложено применение метода сеток для приближенного решения нелокальной краевой задачи для уравнения Лапласа на прямоугольнике, рассмотренное в [3]. В предположении, что заданные на трех сторонах прямоугольника граничные значения имеют вторую производную, удовлетворяющую условию Гёльдера, доказана равномерная сходимость на сетке приближенного решения к решению дифференциальной задачи со скоростью 0(Н2), где Н — шаг сетки.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 11-01-00744) и программ "Ведущие научные школы" (проект НШ-65772.2010.1) и "Современные проблемы теоретической математики" ОМН РАН.
1679
1680
ВОЛКОВ
1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ
Обозначим через С0 линейное пространство функций одной переменной x, которые определены и непрерывны на отрезке 0 < x < 1 и обращаются в нуль в точках x = 0 и x = 1. Для функций f е С0 введем норму
|| /|| = max| f(x )|.
0 < x < 1
Нормированное таким образом пространство С0 является полным в отношении сходимости по норме. Пусть
R = {(x, у): 0 < x < 1, 0 < у < 2} (1.1)
есть открытый прямоугольник, у — его сторона, расположенная на прямой y = 2, а у0 — сторона, лежащая на оси x, R — замыкание прямоугольника R, Г = R \R — граница прямоугольника R, С(R) — пространство непрерывных на R функций. Рассмотрим обычную краевую задачу I рода
А v = g(x, у) в R, v = t(x) на у, v = 0 на Г\у, (1.2)
где А — оператор Лапласа, g е G(R) и т е С0 — заданные функции.
Эта задача имеет единственное классическое решение v е С( R) п С 2(R), что вытекает из теоремы 2 в [1] при ak = 0, k = 1, 2, ..., m, и из теоремы 3 в [4, гл. III, § 1]. Зададим числа П1, П2, .••, Пт, удовлетворяющие неравенствам
0 <П1 <П2 < •■■ <n m < 2,
и зафиксируем функции
Фк = 9fc(x) = v(x, цк) е C0, k = 1, 2,..., m, (1.3)
где v — решение краевой задачи (1.2).
Введем линейные операторы B, i = 1, 2, ..., m, действующие из С0 в С0 следующим образом. Пусть f е С0, w — решение краевой задачи для уравнения Лапласа, имеющей вид
Aw = 0 в R, w = 0 на Г\у°, w = / на у0, (1.4)
где у0 — сторона прямоугольника (1.1), расположенная на оси x. Полагаем
B/x) = w(x, n) е C°, i = 1, 2, ..., m, (1.5)
т.е. Bf — след решения задачи Дирихле (1.4) на отрезке
Yi = {(x, У): 0 < x < 1, у = R. Обозначим через |B(| норму оператора Bi, i = 1, 2, ., т. С помощью принципа максимума легко устанавливаются неравенства
0 < |Bm| < \Bm - 1 <.< |B1 < 1 (1.6)
и
|Bi| <( 1 - n/2), i = 1, 2, ..., m.
Таким образом, операторы Bi, i = 1, 2, ., m, являются сжимающими. Они играют центральную роль в разд. 2 и 3 при построении решения нелокальной краевой задачи.
2. НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА. СОПУТСТВУЮЩАЯ СИСТЕМА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Зададим числа а1, а2, ..., ат, удовлетворяющие условию
m
X kl < B1-1. (2.1)
к = 1
ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
1681
При этом
N X a =q <
(2.2)
'1|
к = 1
а величина при Пъ близком к двум, может быть сколь угодно большой. Рассмотрим нелокальную краевую задачу на прямоугольнике:
А и = g(x, у) в Я, и = т(х) на у, и = 0 на Г\(уиу°),
т
X аки(х,Пк) = и(х, 0), 0 < х < 1,
к = 1
где у и у0 — стороны прямоугольника Я, расположенные на прямых у = 2 и у = 0 соответственно, g е С(Я) и т е С0 — заданные функции (те же, что и в задаче (1.2)).
Остановимся на сопутствующей системе нелинейных уравнений относительно неизвестных функций у1, у2, ..., ут из С0, которая имеет следующий вид:
( т \
(2.3)
(2.4)
Wi = Bi
Ф + X akWk
' i = 1, 2, ..., m'
k = 1
где
Ф = X ak Фк'
(2.5)
(2.6)
к = 1
фь к = 1, 2, ..., т, — известные функции из (1.3).
Решение этой системы используется в следующем разделе при доказательстве существования решения нелокальной краевой задачи (2.3)—(2.4).
Будем искать решение системы (2.5) методом итераций.
Пусть = О, i = I, 2, ...' m'
n п
Wi = Bi
Zn - 1
a к Wk
C ' n = 1, 2, ...'
И' соответственно'
к = 1
n + 1 л
Wi = Bi
Ф + X ak wk
(2.7)
(2.8)
k = 1
Вычитая соотношения (2.8) из (2.7)' получаем
Wn +1 - w,n = BiX ak (wk - w"k 1), i = 1' 2, ..., m' n > 1.
n- 14
k = 1
(2.9)
Поскольку maxx<i<m||W(- — Wi0 II - 11ф11' то из соотношения (2.9) следуют неравенства
»n + 1 nil ^ II n n- 11 ^ nil II ^
W,- -Wnl - q max ||уг- -w;- || - q ||ф||' n > 1'
1 < i < m 1 < i < m
где q e [0' 1) — величина' определенная в (2.2).
Отсюда с помощью простых вычислений приходим к выводу' что последовательности функций (2.7) являются фундаментальными. Следовательно' существуют пределы
lim у" = у,- e C ' i = 1, 2, ..., m.
(2.10)
Так как
\\Bi Wk - Bi Wk = ||Bi (Wk - Wk ) - ||w k - Wk'
m
m
m
n ^ ю
1682 ВОЛКОВ
то также имеются пределы
lim B{yk = B{Vk, i, k = 1, 2, ..., m.
n ^ да
Поэтому, переходя в соотношениях (2.7) к пределу при п —► да, получаем равенства
( т \
Vt = Bi
Ф + X a kVk
i = 1, 2, ..., m, (2.11)
где уь у2, ..., — вполне определенные функции, принадлежащие С0. Эти функции получены как пределы (2.10).
Вопрос о наличии других решений у системы уравнений (2.5) не рассматривается, так как в этом нет необходимости.
3. ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ (2.3)-(2.4)
Теорема 1. Нелокальная краевая задача (2.3)—(2.4) может иметь только одно классическое решение.
Доказательство. Допустим, что задача (2.3)—(2.4) имеет два классических решения. Обозначим через и их разность. Очевидно, функция и тоже есть классическое решение задачи (2.3)—(2.4) при g(x, у) = 0 и т^) = 0. Имеем
и(х, п) = у¡(х), 0 < х < 1, I = 1, 2,..., т, (3.1)
где у( е С0 — некоторые функции. При этом в соответствии с (2.4) имеем
т
~и(х, 0) = ^а;у;(х), 0 < х < 1. (3.2)
i = 1
Следовательно, выполняются равенства
т
т.
к = 1
Vi = Bi X akVk, i = 1, 2,
k = 1
Отсюда, принимая во внимание неравенства (1.6) и условия (2.1) и (2.2), получаем, что
m
< |B1 X |ak| max ||уJ = q max
^ 1 71 К „„
max |IVJ < |B1 x
1 < i < m
/ , l^k| 111ал l|Tk|| _ HVkH
' 1 < k < m 1 < k < m
k = 1
X акУк к = 1
где q < 1. Это возможно только тогда, когда
тах ||у| = 0, т.е. уI = 0, i = 1, 2,., т.
1 < i < т
Поэтому согласно (3.2) имеем
и (х, 0) = 0, 0 < х < 1.
Таким образом, функция и , будучи непрерывной на замкнутом прямоугольнике Я и гармонической в открытом прямоугольнике R, обращается в нуль на всех сторонах прямоугольника R. Следовательно, и у) = 0 на Я. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Нелокальная краевая задача (2.3)—(2.4) имеет единственное классическое решение. Доказательство. Установим существование решения.
Пусть у1, у2, ..., уm — принадлежащие С0 функции, которые образуют равенства (2.11); ф — функция из (2.6); V — классическое решение краевой задачи (1.2); w — классическое решение краевой задачи (1.4), в которой
f = ф + X akVk е C0. (3.3)
k = 1
m
ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ 1683
Имеем в соответствии с определением оператора В^ (см. (1.5))
С т \
w(x,ni) = Bi ф + X akVk
, i = 1, 2, ..., m.
Отсюда и из равенства (2.11) вытекает, что
™(х, Пг) = , г = 1, 2, ..., т.
Кроме того, согласно (1.3), имеем
) = Фг, ' = 1, 2, т,
где ф; — функции, определенные в (1.3). Рассмотрим функцию
и(х, у) = х<х, у) + м>(х, у). (3.4)
Функция и обладает следующими свойствами:
1) непрерывна на замкнутом прямоугольнике Я;
2) удовлетворяет заданному уравнению Пуассона
А и = g в Я;
3) удовлетворяет заданным граничным условиям
и = т на у, и = 0 на Г \ (уиу°).
Наконец, на основании (3.3) имеем
m m m mm
X au(x, n) = X aiv(x, П) + X aiw(x, П) = XaiФ(' + Xai^i =
m
ai
i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 m
= ф + X akyk = f = w(x, 0) = u(x, 0), 0 < x < 1,
k = 1
поскольку v(x, 0) = 0.
Таким образом, функция (3.4) является классическим решением нелокальной краевой задачи (
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.