МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА < 3 • 2008
УДК 532.5.013.4:536.25
© 2008 г. И. А. ЕРМОЛАЕВ, А. И. ЖБАНОВ, С. В. ОТПУЩЕННИКОВ
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЖИМОВ МАЛОИНТЕНСИВНОЙ КОНВЕКЦИИ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОЛОСТИ С ТЕПЛОВЫМ ПОТОКОМ НА ГРАНИЦЕ
Исследованы особенности теплообмена при малоинтенсивной естественной термогравитационной конвекции жидкости в прямоугольной полости, подогреваемой снизу (охлаждаемой сверху). Представлены результаты изучения локальных эффектов конвекции. Выявлены зависимости величины локального перегрева (переохлаждения) от числа Грасгофа и отношения длин сторон полости для одно-, двух- и трехвихревых стационарных движений. Даны оценки границ режимов конвекции.
Ключевые слова: естественная тепловая конвекция, прямоугольная полость, локальный теплообмен, метод конечных элементов.
Естественная тепловая конвекция в замкнутых и незамкнутых областях - объект теоретических и экспериментальных исследований в течение длительного времени [1-3]. В большинстве случаев рассматриваются, как правило, режимы развитой конвекции при значении числа Рэлея более 103. Между тем теплообмен в современных системах микроэлектроники, как следствие миниатюризации, во многих случаях сопровождается малоинтенсивной конвекцией, характеризуемой значением числа Рэлея Яа < 104. Кроме того, существует ряд других, практически важных приложений малоинтенсивных конвективных течений [4].
Конвекция при небольших значениях числа Яа представляет также теоретический интерес в силу принципиальных особенностей локального теплообмена, таких как эффект перегрева (переохлаждения) [5]. Так, в задачах с изотермическими границами на части стенки поток тепла меньше, чем в отсутствие конвекции. В задачах с равномерным тепловым потоком этому соответствует рост локальной температуры в сравнении с режимом теплопроводности.
Эффекты малоинтенсивной конвекции составили предмет сравнительно небольшого числа исследований. Так, при невысоких значениях критерия Яа выделен рост максимума температуры жидкости в сравнении с отсутствием конвекции в цилиндрическом сосуде при подводе тепла к боковой поверхности [6]. Малоинтенсивная конвекция сжимаемого газа в квадратной полости с изотермическими и адиабатическими границами при подогреве сбоку или снизу, а также конвекция в пористом слое при боковом подогреве и различном относительном удлинении исследовалась в [5]. Отмечен эффект локального перегрева (переохлаждения) для горизонтального слоя сжимаемого газа, нагреваемого снизу, при заданных температурах границ в [7]. В [8] исследована нестационарная конвекция сжимаемого газа в прямоугольной области при подводе потока тепла к боковой стенке. Выявлен рост локальной температуры в сравнении с режимом теплопроводности при малых числах Яа и во время развития нестационарной конвекции при более высоких значениях критерия Рэлея. Эффекты локального перегрева и переохлаждения подтверждены также результатами трехмерного моделирования [9-11].
В настоящей работе исследуется малоинтенсивная конвекция жидкости в узких и широких прямоугольных полостях, нагреваемых снизу (охлаждаемых сверху), с заданным
на одной из горизонтальных стенок тепловым потоком (или оттоком) при фиксированной температуре противоположной стенки.
1. Постановка задачи. Основные уравнения. Метод решения. Рассматриваемая расчетная область - двумерная прямоугольная полость шириной L, высотой H, с твердыми непроницаемыми стенками. Жидкость считается вязкой, термически сжимаемой средой с постоянными теплофизическими свойствами, для которой справедливо приближение Буссинеска.
Задача решается в декартовой системе координат, начало которой совпадает с левым нижним углом полости, оси x и y направлены горизонтально и вертикально. В численных расчетах на нижней границе задан постоянный тепловой поток, боковые границы адиабатические, температура верхней стенки постоянная. В начальный момент времени поле температур однородно и имеет температуру верхней границы, среда находится в гидростатическом равновесии в поле силы тяжести, направленной вертикально вниз, к нагреваемой стенке подводится постоянный поток тепла.
Для решения описанной задачи использованы нестационарные двумерные уравнения конвекции в приближении Буссинеска [1]. В качестве масштабов расстояния, времени, скорости и температуры выбраны H, H2/v, v/H, q0H[k. Безразмерные переменные определены как X = x/H, Y = y/H, т = vi/H2, U = uH/v, V = uH/v, 0 = Xß/q0H, где x, y - координаты, t - время, v - коэффициент кинематической вязкости, u, u - составляющие скорости и проекции по осям x, y, ß = T - T0, T0 = 0, X - коэффициент теплопроводности, q0 - масштаб потока тепла. Это позволяет записать безразмерные уравнения Буссинеска в переменных вихрь скорости - функция тока - температура как
-ю -у-ю -у-ю . „ Э0 ,,
дт + -Y dX - -X -Y = Аю y dX (L1)
Ау = ю (1.2)
Э0 -у-0 ЭуЭ0 1 .„
Эх + dYdX- dXdY "pTА0 (1.3)
Здесь ю, у - вихрь скорости, функция тока, Gry = gyßq0H4/Xv2 - число Грасгофа, Pr = v/x - число Прандтля, gy - y-составляющая ускорения силы тяжести (gx = 0), ß - температурный коэффициент объемного расширения, x - коэффициент температуропроводности.
Безразмерные граничные условия для системы уравнений (1.1)—(1.3) имеют вид
X = 0: у(0, Y, т) = Э У ^ т - = Э-0дР = о
X = L: у(L, Y, т)
- у ( L, Y, т ) = -0 ( L, Y, т ) -X -X
1
7 = 0: у(Х, 0, т) = №-01) = о,
ЗУ о У
У = Н: у(X, Н, т) = ду (н' т - = 0(X, Н, т) = 0 оУ
Значения вихря скорости на стенках определено по формуле Вудса [3]. В начальный момент времени ю(Х, У, 0) = у(Х, У, 0) = 0(Х, У, 0) = 0. Течение образовывалось как результат роста малых возмущений, обусловленных ошибками аппроксимации. Начальные возмущения специальной формы для формирования одно-, двух- и трехвихревого течения не задавались. Значение числа Прандтля фиксированно: Рг = 1.
Задача решалась методом конечных элементов Галеркина [2]. Температура, вихрь скорости и функция тока аппроксимировались линейной комбинацией не зависящих от времени базисных функций (функций формы) на линейных треугольных конечных элементах, что предполагает кусочно-линейную аппроксимацию ю, у и 0 внутри расчетной области и на ее границах. Для временной аппроксимации использована неявная двуслойная схема.
Уравнения (1.1)—(1.3) решались последовательно, каждый временной шаг начинался с вычисления поля температуры (1.3), затем определялись граничные условия и поле вихря скорости (1.1), далее вихрь скорости корректировался и определялось поле функции тока (1.2). Расчеты проводились по конечно-элементной программе, реализующей данный алгоритм. Более подробное описание алгоритма и программы приведено в [12, 13]. Стационарные решения были получены методом установления, путем решения нестационарной задачи (1.1)—(1.3). Критерий установления - неравенство
\пк +1 I к +1 к\ I к +1 к\
\0т - 0т\ + К - Кт\ + |ут - ¥т| <£
где 0т, ют, ут - экстремальные значения температуры, вихря скорости и функции тока. Индекс к - номер шага по времени, значение е варьировалось в интервале 10-6-10-5. Шаг по времени 10-3. Расчеты проводились на равномерных сетках от 27 х 27 до 27 х 108 в зависимости от отношения длин сторон полости Ь/И. Проверка на сетке 40 х 40 показала, что относительное изменение максимума температуры не превосходит 1%.
2. Обсуждение результатов. Основные численные расчеты проведены в диапазоне параметров 0 < Ог < 104, 0.5 < Ь/И < 4. В зависимости от величины Ь/И и Ог в полости устанавливается одно-, двух- или трехвихревое стационарные течения. При числах Грасгофа менее 103 конвективные течения почти не влияют на теплообмен в полости для всех Ь/И, температурные поля в значительной степени соответствуют режиму теплопроводности. Изотермы параллельны горизонтальным стенкам, небольшие искажения заметны лишь вблизи нагреваемой нижней границы, где появляется не равная нулю горизонтальная составляющая кондуктивного теплового потока. С ростом интенсивности выталкивающих сил усиливается температурное расслоение по горизонтали, увеличивается горизонтальная составляющая теплового потока, что приводит к повышению температуры в некоторой локальной области. Величина локального перегрева может характеризоваться превышением максимума безразмерной температуры над режимом теплопроводности. Для всех исследуемых течений максимум температуры располагался в одном из нижних углов полости.
Характерное развитие локального теплообмена с ростом числа Грасгофа для одно-вихревого течения показано на фиг. 1. При Ог = 1.25 ■ 103 распределение температуры по нагреваемой границе линейно, длина участка локального перегрева составляет примерно 1/3 ширины полости. Вдали от нагреваемой стенки температурное поле мало отличается от режима теплопроводности. С увеличением интенсивности конвекции усиливается горизонтальное температурное расслоение, длина участка перегрева уменьшается, максимум температуры растет, достигая наибольшего значения при Ог = 2 ■ 103 (кривые 1-4). С дальнейшим ростом числа Ог уменьшаются как длина участка перегрева, так и величина максимума температуры (кривые 4-6). При Ог ~ 3 ■ 103 величина перегрева и длина его участка становятся равными нулю, что можно считать завершением переходного режима и началом режима развитой конвекции.
Зависимости величин локального перегрева от числа Грасгофа для полостей с отношением длин сторон 0.5 < Ь/И < 1.75 показаны на фиг. 2. Здесь (и на всех фигурах) линией 1 отмечен максимум температуры, соответствующий режиму теплопроводности. Превышение максимума температуры над режимом теплопроводности незначительно до некоторой величины числа Ог, затем 0т быстро растет до наибольшего значения и далее падает до исходного уровня, продолжая уменьшаться с ростом числа Ог. Величина
Фиг. 1. Распределения температуры по нагреваемой стенке для полости с Ь/Ы = 1.5: 1 - режим теплопроводности, 2-6 - Ог = 1.25 • 103, 1.5 • 103, 2.0 • 103, 2.5 • 103, 3.0 • 103
Фиг. 2. Изменения максимума температуры 0т с ростом Ог для одновихревого течения: 2-7 - Ь/Ы = 0.5, 0.75, 1.0, 1.25, 1.5, 1.75
перегрева повышается с увеличением отношения длин сторон полости, максимум перегрева смещается
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.