МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 6 • 2014
УДК 532.11:539.3:577.1
ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГЛАЗНОГО ЯБЛОКА И ВОЗМОЖНОСТИ ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРИ ПРАКТИЧЕСКОЙ ОЦЕНКЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ГЛАЗА ЧЕЛОВЕКА
© 2014 г. Г. А. ЛЮБИМОВ, И. Н. МОИСЕЕВА, А. А. ШТЕЙН
МГУ им. М.В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт механики, Москва
e-mail: stein@imec.msu.ru
Поступила в редакцию 16.05. 2014 г.
На основе двухкомпонентной модели глазного яблока, предложенной в [1], проводится сравнительное исследование нагружения роговицы стержнем и широкими штампами с плоским, выпуклым и вогнутым основаниями. Показано, что для всех изученных способов нагружения измеряемая геометрическая характеристика деформации в физиологическом диапазоне параметров определяется давлением под нагрузкой и мало зависит от упругих свойств оболочки глаза. Рассмотрена задача о деформировании глазного яблока при постоянном объеме, соответствующая клинической процедуре измерения внутриглазного давления. Изучена зависимость давления от приложенной нагрузки. Показано, что наклон прямой, аппроксимирующей эту зависимость в практически важной области значений весов, а также разность между давлениями под грузом и до нагружения в случае стержня и выпуклого штампа слабо зависят от жесткости роговицы, но испытывают значительное влияние жесткости склерального сегмента. Для плоского же и вогнутого штампов эти величины существенно зависят от обеих упругих констант. Предложена методика измерений и расчетов, позволяющая повысить информативность и надежность данных, получаемых в клинике при статической тонометрии.
Ключевые слова: глаз, математические модели, оболочка глаза, внутриглазное давление, тонометрия, дифференциальная тонометрия.
В работе [1] была предложена модель глазного яблока, в которой упругие свойства глазного яблока охарактеризованы тремя упругими константами, из которых две оказываются существенными. Эта модель представляет интерес для дальнейшего исследования, так как она может служить теоретической основой для некоторых использующихся в настоящее время методов медицинской диагностики глаза [2] и для разработки новых эффективных методов неинвазивной (не травмирующей) диагностики последнего.
Рассматриваемая модель [1] — простейшая в ряду других (см., например, [3]), на основе которых в настоящее время исследуются тонкие эффекты, связанные с детальным учетом разнообразных механических свойств оболочки глаза, а также особенностей его формы и внутреннего строения, организации крово- и водоснабжения и т.д. Однако более полные и сложные модели требуют для получения адекватных количественных результатов задания большого числа физических параметров, определение которых составляет задачу тонких экспериментальных исследований. К сожалению, такие исследования не только не всегда достоверны, плохо согласуясь между собой, но и дают значительный индивидуальный разброс, позволяющий говорить лишь о средних значениях соответствующих величин. Таким образом, модели этого рода не дают возможности решать обратную задачу определения механических характеристик
а б в
Фиг. 1. К постановке задачи: геометрические параметры, характеризующие роговицу до нагружения (а) и определяющие геометрию поверхности раздела между областью контакта с грузом и ненагруженной областью для штампов с вогнутым (б) и выпуклым (в) основанием
глазного яблока по результатам неинвазивных обследований и в состоянии лишь указывать направление возможных уточнений результатов, полученных при традиционных методиках обработки данных.
Метод, предложенный нами в [1], позволяет эффективно решать упомянутую обратную задачу. Он базируется на представлении роговицы мягкой (безмоментной) двумерной однородной изотропной линейно упругой поверхностью, а склеры и прилегающих к ней тканей — упругим элементом, откликающимся изменением объема на изменение давления. Такая модель в первом приближении адекватна реальному объекту, отражая неравноправное участие в исследуемых процессах роговицы и склеральной области, но вместе с тем достаточно проста (две существенных упругих константы), чтобы в небольшом количестве испытаний определить для конкретного глаза и эти константы, и истинное внутриглазное давление. Пренебрежение сопротивлением роговицы изгибу обосновано эмпирическими данными и впервые было реализовано в механически корректной постановке в [4].
В предлагаемой работе исследуется модельная задача о нагружении роговицы грузами с разными формами основания, соответствующими используемым в медицине: широким штампом с плоской, выпуклой и вогнутой поверхностью контакта, а также тонким стержнем. В центре внимания обоснование процедуры, дающей эффективное решение обратной задачи.
1. Постановка задачи и метод решения. Общая постановка задачи подробно описана и обоснована в [1, 5]. Она включает в себя систему обыкновенных дифференциальных уравнений для описания статических деформаций нагруженной извне оболочки (роговицы), которая дополняется конечным соотношением для части внутриглазного объема, находящейся вне роговицы (склерального объема).
Рассматриваем осесимметричную деформацию поверхности (роговицы), распертой внутренним давлением р, причем предполагается, что при некотором давлении р0 она имела форму сферического сегмента радиуса Яс (фиг. 1, а) с половиной угла раствора фс. В области свободной роговицы (вне контакта с приложенной нагрузкой) уравнения равновесия и состояния для роговицы как мягкой двумерной упругой поверхности в предположении малых деформаций с учетом конечности смещений имеют вид [1]
(гТ)' - Т2со$ф = 0
- Т2б1пф - гофТ1 + Хг0р = 0
г' = X С ОБ ф
(1.1)
го = яс Бт Фо, Фо = -.-,
X = 1 + Еь Е 2 = — - 1 Го
£1 = — [Т - VТ - 70(1 - Vс)], 82 = — [ - VТ - То(1 - Vс)]
1
1
Здесь независимым параметром считается длина 5 дуги образующей в ненагруженном состоянии, отсчитываемая от ее пересечения с осью симметрии (-фСЯС < . < фСЯС); Т и Т2 — касательные усилия в меридиональном и перпендикулярном к нему направлениях, г — расстояние точки поверхности, представляющей роговицу, от оси, ф — угол между нормалью к этой поверхности и осью симметрии, 81 и 82 — деформации в направлении главных осей, Е* и vc — модуль растяжения и коэффициент Пуассона роговицы как двумерной упругой поверхности [1]. Угол ф считается положительным, если нормаль направлена во внешнюю относительно оси сторону. Функции го(.) и фо(.) — значения функций г(.) и ф(.) при начальной сферической конфигурации (фиг. 1, а). В этой конфигурации усилия Т и Т2 равны между собой и Т1 = Т2 = То = роЯС/2.
В предположении свободного проскальзывания роговицы по поверхности груза система (1.1) остается справедливой в области контакта груза и роговицы, за исключением проекции уравнения равновесия на нормальное к роговице направление (второе уравнение (1.1)): это соотношение теперь должно включать силу нормальной реакции, действующую со стороны груза. Если не интересоваться распределением силы реакции, это уравнение можно не рассматривать и заменить его геометрической связью
где Я — радиус кривизны груза (положительный для вогнутого груза и отрицательный для выпуклого).
В силу симметрии решение задачи ищется в области о < . < фСЯС. Система уравнений — третьего порядка для свободной роговицы и второго — под грузом. Поскольку значение 5, соответствующее отрыву роговицы от груза, заранее неизвестно, требуются шесть граничных условий. Два из них одинаковы для всех типов нагружения: условие г(фСЯС) = Яь, соответствующее закреплению роговицы на склере, деформации которой считаются малыми, и условие ограниченности усилия Т1 в точке пересечения с осью симметрии [1]. Остальные четыре условия формулируются на границе отрыва (фиг. 1, б, в). С учетом неразрывности поверхности роговицы, а также условий свободного проскальзывания (сила реакции нормальна к поверхности контакта) и исчезновения силы реакции в точке отрыва получаем для штампов следующие условия:
—- = г + = г*, ф- = ф + = ф*, = Т1 = 7*
О = пг*2 • р - Т^т ф* • 2пг* (1.3)
Я
(1.2)
Здесь О — вес приложенного груза, индексами — и + обозначены значения переменных по разные стороны линии отрыва, а звездочкой помечены величины, непрерыв-
ные на этой границе. При Я ^ да, как видно из (1.2), угол ф* ^ 0 и условие (1.3) переходят в соответствующее условие для плоского штампа [1] — закон Имберта—Фика
Граничные соотношения для тонкого стержня подробно рассмотрены в [5] и используются в настоящей работе без изменений.
Система уравнений (1.1)—(1.2) с указанными граничными условиями дает возможность вычислять геометрические характеристики деформированной под грузом роговицы, в том числе приращение ДУС подроговичного объема (часть внутриглазного объема над плоскостью АВ), по известнымр и О. Таким образом, в силу постановки задачи геометрия деформированной роговицы определяется, помимо внутреннего давления, только геометрическими и механическими характеристиками самой роговицы. Чтобы связать АУС с приращением полного заполненного жидкостью внутриглазного объема АУ, вводится склеральный объем (под АВ) с приращением АУХ, подчиняющимся соотношениям
где К — интегральная константа, определяющая упругое поведение всей склеральной области и зависящая не только от механических, но и от геометрических характеристик, в частности, от ее объема.
Упругие свойства объекта (глазного яблока) определяются тремя константами: Е*, Vс и К. Связь этих констант с традиционно используемыми обсуждалась ранее [1, 5]. Для удобства сравнения с данными других авторов были формально определены рого-
вичная и склеральная жесткости Ес и Е,, измеряемые в МПа и отличающиеся от Е*
и К-1 фиксированными размерными множителями: Е* =ЪЕс, К— = £Е,, где
5 = 0.5 мм — средняя в норме толщина роговицы, а £ = 1.44 • 10 5 мм-3. Эти величины имеют простой физический смысл в рамках сильно упрощенных моделей (см., например, [1]). Как показали тестовые расчеты [1], коэффициент Пуассона в рассматриваемом классе задач влияет на результаты слабо, поэтому он при вычислениях не варьировался. Полагалось Vс = 0.45, Яс = 8 мм, фс = 38°.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.