ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2013, том 51, № 2, с. 301-310
УДК 536.2(075)
ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С УЧЕТОМ КОНЕЧНОЙ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛОТЫ © 2013 г. В. А. Кудинов, И. В. Кудинов
Самарский государственный технический университет Поступила в редакцию 31.08.2011 г.
Путем введения релаксационных поправок для теплового потока и градиента температуры получены гиперболические уравнения теплопроводности, содержащие третью и четвертую производные по пространственной координате и времени (смешанные производные). Формула для теплового потока, на основе которой выводятся указанные гиперболические уравнения, совпадает с формулой, определяемой из обобщенной системы уравнений Онзагера, полученной А.В. Лыковым на основе гипотезы о конечной скорости диффузии теплоты и массы. Исследования найденных точных аналитических решений гиперболических уравнений позволяют сделать заключение о наличии скачков температуры в окрестности граничной пространственной координаты (где задано граничное условие первого рода), что свидетельствует о физической невозможности мгновенного прогрева (охлаждения) тела до температуры окружающей среды ни при каких условиях внешнего теплообмена.
ВВЕДЕНИЕ
Проблеме получения гиперболических уравнений теплопроводности, учитывающих конечную скорость распространения теплоты, и исследованию их решений посвящено большое число работ [1—19]. Необходимость получения данных уравнений связана с так называемыми парадоксами теории теплопроводности, следующими из решений классического параболического уравнения нестационарной теплопроводности, выведенного на основе закона Фурье для теплового потока. Для преодоления трудностей классических аналитических решений параболических уравнений путем учета релаксации теплового потока было выведено гиперболическое уравнение, содержащее вторую производную от искомой функции по времени. Выполненный многими авторами анализ аналитических решений этого уравнения свидетельствует о том, что при устранении одних парадоксов теории теплопроводности возникают другие. В настоящей работе сделана попытка объяснения вероятных причин подобных результатов на основе исследований аналитических решений гиперболических уравнений, содержащих вторую и третью производные от искомой функции по времени, а также смешанные производные (по времени и пространственной координате).
Классическое параболическое уравнение теплопроводности
д Т (х, т)/дт = ад 2Т (х, т)/дх2, выведенное на основе закона Фурье д = -ХдТ/дх,
(1)
не описывает реальной физики процесса, так как оно не учитывает инерционность теплового потока и зависимость градиента температуры от времени. В итоге оказывается, что уравнение (1) соответствует бесконечной скорости распространения теплового возмущения, когда изменение температуры в какой-либо одной точке тела приводит к мгновенному изменению ее во всех других точках. К числу других парадоксов теории теплопроводности относится получаемая из решения уравнения (2) бесконечная величина теплового потока в окрестности пространственной координаты, в которой задано граничное условие первого рода при т = 0.
ВЫВОД ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С УЧЕТОМ ИНЕРЦИОННОСТИ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА
С учетом инерционности теплового потока, определяемой временем релаксации (коэффициентом релаксации) т г, была получена формула Максвелла—Каттанео [1—5]
, дТ дд д = -а--т ,
дх дт
(3)
где q — тепловой поток; Т — температура; X — ко
эффициент теплопроводности; тг = а/мт2, а — ко эффициент температуропроводности, w — ско рость перемещения теплового возмущения.
На основе формулы (3) выводится гиперболи ческое уравнение теплопроводности
дТ(х,т) д2Т(х,т) _ д2Т(х,т)
■ + т г-= а- 2
дт дт дх
Аналитические и численные решения уравнения (4) для конечных и полубесконечных областей при граничных условиях 1-го, 2-го и 3-го рода получены во многих работах [4—19]. Их анализ позволяет сделать следующие заключения. Распределение температуры характеризуется движением по пространственной координате во времени тепловой волны, на фронте которой наблюдается скачок температуры. В решениях для тел конечных размеров появляется обратная волна со скачком температуры на ее фронте со знаком, противоположным знаку скачка в прямой волне. Наличие скачка температуры в обратной тепловой волне приводит к возникновению отрицательных температур в процессе охлаждения, т.е. температура тела может оказаться ниже температуры, задаваемой граничным условием первого рода на поверхности пластины. Указанные факты свидетельствуют о локальном нарушении как первого, так и второго законов термодинамики.
ВЫВОД ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ОНЗАГЕРА
Анализируя вероятные причины получения такого рода результатов, можно заключить, что уравнение (4) неадекватно описывает тепловой баланс в процессе теплообмена, согласно которому количество поступающей извне энергии должно быть равно изменению внутренней энергии выделенного объема тела. Следовательно, в формуле (3), на основе которой выведено гиперболическое уравнение (4), отсутствует дополнительная информация, без которой это уравнение оказывается не соответствующим закону сохранения энергии. Кроме того, оно допускает уменьшение энтропии в неравновесном термодинамическом процессе. В связи с этим рассмотрим вывод формулы (3) согласно работам [4, 5]. В названных работах на основе гипотезы о конечной скорости диффузии массы и теплоты получена обобщенная система уравнений Онзагера, которая для одномерной задачи переноса теплоты приводится к одному уравнению вида [4]
I = & г 1 + ьх + г дХ
(5)
дт дт
где J — поток субстанции (тепловой поток); X — термодинамическая движущая сила (градиент
температуры дТ/дх); ¿г\ Ь, Ь — постоянные феноменологические коэффициенты переноса.
Если пренебречь производной по времени от движущей силы X (дХ/ дт = 0), как это предлагается в [4] (стр. 290), [5] (стр. 449), то из (5) для одномерного потока теплоты можно получить формулу (3), где Ь = -X, Гг) = -тг. Однако, если величи-
ной дХ/дт не пренебрегать, формула для теплового потока будет иметь вид
д = -X — - Хт,
дх
д 2Т дхдт
■ - т
дд дт,
(6)
где Г = -Хт г.
Для вывода гиперболического уравнения на основе формулы (6) воспользуемся уравнением теплового баланса применительно к одномерному температурному полю
,дТ = _дд дт дх
где с — теплоемкость, у — плотность. Подставляя (6) в (7), получаем
дТ
су-
(7)
су-
д х
д 3Т дх 2дх
+ т,
д 2д
(8)
дт дх дх дт дхдт
Перепишем уравнение (8) следующим образом:
д Т , д 2Т , , су-= А—2 + Ат г
дт дх
д 3Т дх 2дт
+ т,
(9)
Уравнение (9) с учетом (7) принимает вид
дТ(х, т) д2Т(х, т) _
+тг ~2 _
дт
д2Т (х, т) + т д3Т (х, т)
дт
2
дх
дх 2дт
(10)
Таким образом, гиперболическое уравнение (10) выведено с учетом всех членов уравнения, полученного из предложенной А.В. Лыковым обобщенной системы дифференциальных уравнений Онзагера применительно к одномерному процессу переноса теплоты.
ВЫВОД ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С УЧЕТОМ ИНЕРЦИОННОСТИ ГРАДИЕНТА ТЕМПЕРАТУРЫ
Рассмотрим еще один метод вывода формулы (6), не связанный с соотношением (5). Применительно к (1) введем релаксационную поправку не только для теплового потока, но и для градиента температуры, т.е. запишем соотношения для # и
дТ/дх как д + тгдд!дт и дТ/дх + тгд2Т/(дхдт). Тогда формула (1) приводится к виду
, дд 1 д , дТ д + т г— = —к—(Т + т г —
дт дх \ дт
(11)
Формула (11) полностью совпадает с формулой (6).
Проанализируем также способ вывода гиперболического уравнения (10), основанный на учете релаксационных поправок для теплового потока и градиента температуры. С учетом релаксационной поправки т г д 2Т/(дхдт) для градиента температуры запишем формулу (1):
q
= -x-L (t + Т r д—).
дх\
дт
(12)
Подставляя в уравнение теплового баланса (7) вместо q соотношение (12), а вместо Т — соотношение, содержащееся в скобках правой части формулы (12), получим
\ дТ
дТ
'дх2
дх
~Хд (т + Т r . дх\
дт
дт
(13)
Уравнение (13) при X = const сводится к уравнению (10). Таким образом уравнение (10) получено в работе [8], где, однако, производной третьего порядка предлагалось пренебречь, что равносильно пренебрежению слагаемым L дХ/дт в системе уравнений (5). Но, как показали приведенные ниже исследования, учет слагаемого с производной третьего порядка в уравнении (10) приводит к существенному не только количественному, но и качественному отличию получаемых результатов по сравнению со случаем его отсутствия.
Для получения гиперболического уравнения с производными еще более высокого порядка представим тепловой поток и градиент температуры соотношениями, включающими их производные по времени более высокого порядка [18], т.е.
да 2 д 2q . д q + т — + т2 —тт = —X дт дт
2- " Т + Т! д— + т2 ^
2 дх I 1 дт 2 дт2
(14)
где т1, т2 — времена релаксации процесса, характеризующие реакцию вещества на изменение потока тепла и градиента температуры.
Соотношение (14) можно переписать в виде
q = —Х\дТ + т-
I дх дхдт
д 2т + 2 д Т + т 2-
дхдт
— Ti dq-т2 ^ (15) дт дт
Подставим (15) в уравнение теплового баланса (7)
дТ
судт = +
дт дх I дх дхдт
д2Т , 2 д3Т + т2
' дхдт
+ т1
д 2q
+ т2
д 3q
(16)
2
дхдт ~ дхдт2 Запишем два последних слагаемых соотношения (16) как
' т (И
дт\дх!
(18)
2 Т 2
д 2q 1 дхдт
д 3q дхдт2
(17)
_ 2 д _Т2 дт2
дх
Уравнение (16) с учетом (17), (18) принимает вид
д Т , д Т , 2 д 3Т --+ т1-Т + Т 2-г =
Ят 1 Я^2 2 P.J
(19)
= a
д 2Т дх2
+ Т
д 3т
дх 2дт
+ т2
д 4т
дх2дт2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Найдем точное аналитическое решение уравнения (19) для теплоизолированного с боковой поверхности стержня конечной длины с постоянным ненулевым начальным условием, один конец которого теплоизолирован, а на втором задано постоянное граничное условие первого рода. Указанные начальные и граничные условия описываются формулами
Т (х,0) = То, (20)
дТ (х,0) = 0
дт ' д 2Т (х,0)
= 0,
(21) (22)
дт2
дТ (0, т)/дх = 0,
Т (5, т) = ТсТ, (23)
где Т0 — начальная температура, Тст — температура стержня при х = 5, 8 — длина стержня.
Введем следующие безразмерные
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.