МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <6 • 2008
УДК 532.529
© 2008 г. С. А. ВОРОНИН
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ТЕЧЕНИЯ СУСПЕНЗИИ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ С УЧЕТОМ КОНЕЧНОЙ ОБЪЕМНОЙ ДОЛИ ЧАСТИЦ
В рамках двухскоростного подхода предложен вариант модели гетерогенной среды, учитывающий конечную объемную долю включений при условии малого, но конечного рассогласования скоростей фаз. В межфазном обмене импульсом учтена сила Стокса с поправкой на конечность объемной доли частиц в форме Бринкмана. Вязкость суспензии зависит от объемной доли частиц по формуле Эйнштейна. В рамках построенной модели рассмотрена постановка задачи о линейной устойчивости плоскопараллельных течений двухфазных сред. В качестве примера исследована устойчивость течения суспензии в плоском канале. Система уравнений относительно малых возмущений с граничными условиями сведена к задаче на собственные значения для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка. С помощью метода ортогонализации проведено численное исследование зависимости критического числа Рейнольдса от определяющих безразмерных параметров задачи. Показано, что учет конечной объемной доли включений существенно влияет на границу ламинарно-турбулентного перехода.
Ключевые слова: суспензия, устойчивость, нейтральная кривая, объемная доля частиц, критическое число Рейнольдса, метод ортогонализации.
Существующие многочисленные экспериментальные данные по воздействию частиц на турбулентные потоки позволяют сделать вывод о том, что добавление твердых сферических включений может существенно снизить коэффициент сопротивления потока [1, 2] и интенсивность турбулентности. Однако данные по влиянию частиц на ламинарно-турбулентный переход практически отсутствуют. Автору известна лишь работа [3], где приводятся результаты эксперимента по влиянию нейтральноплавучих частиц на переход к турбулентности при течении в круглой трубе. Было получено, что увеличение объемной доли включений, начиная с определенного значения (около 5%), затягивает ламинарно-турбулентный переход.
В литературе исследование линейной устойчивости течений двухфазных сред при двухскоростном описании проводилось только в рамках модели запыленного газа, в которой предполагалось, что плотность материала частиц значительно выше плотности несущей фазы, объемная доля дисперсной фазы пренебрежимо мала, а массовая концентрация - конечна. Впервые задача линейной устойчивости течения запыленного газа была сформулирована Сэфманом [4] в предположении однородной концентрации частиц и отсутствия рассогласования скоростей фаз в основном течении, стоксовского взаимодействия фаз. Позднее были проведены немногочисленные исследования устойчивости плоскопараллельных потоков запыленного газа при некоторых модификациях указанной постановки. Основной вывод этих работ состоит в том, что учет новых факторов (неоднородность распределения частиц, дополнительные межфазные силы) может существенно изменить границу ламинарно-турбулентного перехода. Подробный обзор литературы по устойчивости течений запыленного газа приведен в [5, 6].
В случае течений суспензий и пузырьковых сред, где отношение плотностей материала частиц и несущей фазы изменяется в широком диапазоне, необходимо учитывать конечную объемную долю включений. Существенное отличие от модели запыленного газа состоит в том, что в силу переменности объемного содержания включений несущая
фаза описывается моделью сжимаемой среды. Кроме того, изменяется выражение для межфазной силы и эффективной вязкости среды. В литературе исследование устойчивости течений двухфазных сред с конечной объемной долей частиц в рамках двухско-ростного подхода ранее не проводилось.
Существует значительное количество работ, в которых устойчивость течений осаждающейся суспензии исследовалась в рамках упрощенного односкоростного подхода [7-9], где несущая и дисперсная фаза являются несжимаемыми. Поскольку наличие слоя взвешенных частиц изменяет вязкость сплошной среды, это приводит к появлению неустойчивости при гораздо меньшем значении числа Рейнольдса по сравнению с волнами Толлмина-Шлихтинга. Данный тип неустойчивости впервые был открыт в [10], где рассматривалось течение Куэтта-Пуазейля двух несмешивающихся жидкостей в плоском канале с одинаковой плотностью, но различной вязкостью (вязкий аналог неустойчивости Кельвина-Гельмгольца).
В настоящей работе в рамках модифицированной двухскоростной модели дисперсных сред впервые исследуется влияние малой конечной объемной доли включений и рассогласования скоростей фаз на устойчивость плоскопараллельных течений.
1. Модель двухфазной среды. Рассматривается линейная устойчивость двумерного стационарного изотермического течения суспензии. Несущая фаза - несжимаемая ньютоновская жидкость, дисперсная фаза состоит из сферических частиц с постоянным радиусом и плотностью. Включения являются достаточно крупными и не участвуют в броуновском движении. Объемное содержание частиц считается малым, но конечным, учитывается рассогласование скоростей фаз.
Континуальное описание течений двухфазных сред с конечной объемной долей С дисперсной примеси в общем случае вызывает существенные затруднения. Одной из главных причин этого является необходимость учета тензора напряжений в среде частиц, возникающего в результате гидродинамического взаимодействия включений. В общем случае тензор напряжений в континууме, моделирующем движение дисперсной фазы, не является локальной функцией параметров среды [11]. Еще одной трудностью является необходимость корректировки выражения для силы Стокса, полученной для изолированной частицы. В случае, когда рассогласование скоростей фаз мало, функция распределения по скоростям в среде частиц близка к дельта-функции, что означает малость хаотической скорости включений [11]. Тензор напряжений в дисперсной фазе пропорционален квадрату хаотической скорости движения частиц [12]. Поэтому в случае, когда рассогласование скоростей фаз мало всюду в области течения двухфазной среды (например, рассогласование вызвано малыми возмущениями скоростей фаз), хаотические скорости частиц также малы, и тензор напряжений является величиной второго порядка малости. По этой причине он не будет учитываться при исследовании линейной устойчивости.
Для описания течения гетерогенной среды используется модель взаимопроникающих континуумов [13] с модификациями, позволяющими учесть конечную объемную долю включений. Вязкость суспензии определяется по формуле Эйнштейна [14]. Для силы межфазного взаимодействия принята формула Бринкмана [15, 16], которая была получена при исследовании фильтрации жидкости через облако случайно расположенных в пространстве неподвижных частиц. Данная формула учитывает конечность объемной доли частиц с точностью до 0(С1/2). Как отмечалось выше, хаотическая скорость частиц при рассматриваемых условиях течения двухфазной среды мала, поэтому в любом достаточно малом объеме суспензии скорости частиц близки. Это позволяет использовать выражение для межфазной силы в указанном виде. В рассматриваемых выражениях для вязкости суспензии и межфазной силы приведены первые члены поправки на конечную объемную долю частиц. Несмотря на то, что они имеют различный порядок, учет меньшей по порядку поправки к вязкости суспензии приводит к дополнительному механизму влияния частиц на устойчивость течения. Необходимые пояснения даны после вывода
системы лииеииых уравнении, описывающей развитие малых возмущении течения суспензии.
С учетом сделанных предположений течение двухфазной среды с конечной объемной долей включений при малом рассогласовании скоростей фаз описывается следующими уравнениями:
Э(р + р.)
- кэ-У s- + div(pu + psus) = 0 (1.1)
du ds us „ „ ;;
р du+psddr = - Vp+v ^ (1.2)
^ + div(psus) = 0 (1.3)
m-d- = 6по-( u - us)(1 + /J9C) (1.4)
Р = Р0( 1- C), р. = Р0C (1.5)
Tij = 2-(C)(eij -15ijdivul, eij = 1 (VuJ + VJU ), = 1 + 5C (1.6)
V 3 у 2 —0 2
Здесь р0 и р0 - плотности материалов фаз, которые полагаются постоянными; р и ps - плотности фаз, определяемые формулами (1.5); u и us - скорости несущей и дисперсной фаз; C - объемная доля включений; о, m - радиус и масса частиц; ту - тензор вязких напряжений суспензии; еч - тензор скоростей деформаций несущей фазы; -0, - -вязкости несущей фазы и суспензии; 5J - символы Кронекера, ei - базисные векторы. Поскольку объемная доля дисперсной фазы в общем случае является переменной величиной, то плотности обеих фаз (1.5) также переменны и континуумы, описывающие несущую и дисперсную среды, являются сжимаемыми. В этом состоит существенное отличие от модели запыленного газа, где несущая фаза являлась несжимаемой ввиду пренебрежимо малой объемной доли частиц, и односкоростной модели, где обе фазы являются несжимаемыми. Производные du/dt и dsus/dt рассчитываются вдоль траекторий фаз
du du , ^ dsus d us , ^
-г = --- + (u V) u, —г— = ------ + (usV) us
dt dt dt dt s s
Уравнения (1.1) и (1.2) соответствуют законам сохранения массы и суммарного импульса для суспензии, а движение дисперсной фазы определяется уравнениями (1.3), (1.4). Влияние силы тяжести на течение не учитывается, характерная скорость течения достаточно велика по сравнению со скоростью гравитационного оседания.
Подставляя выражение для тензора вязких напряжений (1.6) в уравнение сохранения импульса смеси (1.2), получим
du ds us vv /vri j wj i\w
р Л+ р.~Ж = - Vp + ( + V )VJ-ei -
2 1 (17)
- 3-div uV- + з-V( div u) + -Д u
В случае, когда плотности материалов фаз близки, величина других составляющих межфазной силы может быть близка к величине силы Стокса. Для простоты оценим величины компонентов межфазной силы для случая пренебрежимо малой объемной концентрации дисперсной фазы [17-19] (поправки к приведенным ниже силам на малую объемную долю включений слабо влияют на получаемые оценки):
„ , , Л „ 2 з 4 з йи
Ьг = 6и - и,)• = о(и - и,). {А = о—Л
fM = про3[(u - u)х w], íSaf = j6.46о2(u - us) /цр
2 'ds(u-us) dti
. ídu
slgn l dy
<вв = 6рс^| йг
Здесь fSt - сила Стокса, fvm - сила присоединенных масс, ^ - сила Архимеда, ^ - сила Магнуса (ш - угловая скорость вращения частицы)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.