МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2012
УДК 539.3:534.134
© 2012 г. Л. Б. МАСЛОВ
ИССЛЕДОВАНИЕ ВИБРАЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОРОУПРУГИХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В статье рассмотрены теоретические вопросы расчета вынужденных гармонических колебаний пористых структур, насыщенных жидкостью. Дифференциальные уравнения движения, записанные относительно вектора перемещений твердой фазы и давления жидкой фазы, получены из уравнений динамики фазовых составляющих и определяющих уравнений анизотропной сплошной среды. На примере поперечных колебаний простой стержневой конструкции исследовано влияние материальных констант на динамические характеристики пороупругой системы. Показано, что с увеличением частоты возбуждения эффект инерционного взаимодействия фаз пороупругого материала становится весьма существенным, особенно для амплитуд давления жидкости в порах. Следовательно, учет всех видов взаимодействия твердой и жидкой фаз гетерогенного материала необходим для точного решения задач динамики пороупругих систем.
Ключевые слова: пороупругость, динамика, гармонические колебания, амплитудно-частотные характеристики, параметрический анализ.
1. Введение. Для широкого класса природных и искусственных материалов, обладающих пористой структурой, классическая теория упругости не может обеспечить достаточной точности при расчете их динамического поведения. В качестве характерных примеров можно привести насыщенные водой или другими жидкостями горные породы, пенообразные искусственные материалы, поры которых заполнены воздухом, изделия из металла и пластика, полученные спеканием под давлением, а также твердые и мягкие биологические ткани [1—3].
Исторически теория пороупругих сред возникла из необходимости решения специфических задач механики грунтов и геомеханики, таких как проблемы консолидации массивных слоев грунтов, распространение сейсмических волн и другие задачи динамики земной коры [4—6]. Начиная с конца прошлого века, значительное внимание посвящено также исследованию колебательных процессов в пористых структурах, что связано с использованием таких материалов в современных технологиях (звукопоглощающие конструкции). В статье [7] решалась модельная задача о продольных колебаниях изотропного пороупругого стержня, жестко закрепленного на одном торце и нагруженного гармонической силой на противоположном. Был проведен параметрический анализ влияния пористости, проницаемости и жесткости упругой матрицы материала на значения собственных частот колебаний в широком диапазоне значений. Отмечалось, что диссипация энергии в результате взаимодействия твердой и жидкой фаз в подобных системах достигает существенных значений по сравнению со структурным демпфированием гистерезисного типа. В работах [8—9] проведено сравнение результатов, представленных в [10], с собственными экспериментальными данными. Кроме представленного ранее в статье [10] случая пор, заполненных жидко-
стью, рассчитаны амплитудно-частотные характеристики пластины, система пор которой заполнена воздухом.
Однако, несмотря на ряд рассмотренных частных случаев, в представленных работах отсутствует всесторонний анализ влияния механических параметров на динамические характеристики пороупругой системы в общем безразмерном виде. В имеющихся публикациях не выявлены ключевые параметры, определяющие взаимосвязь фазовых составляющих пороупругого тела и существенным образом влияющих на вид и значения амплитудно- и фазочастотных характеристик конструкций из пористых насыщенных жидкостью или воздухом материалов. Поэтому в настоящей статье будут рассмотрены общие теоретические соотношения, описывающие динамическое напряженно-деформированное состояние пористого упругого континуума в переменных "перемещение—давление", и проведен параметрический анализ динамических свойств пороупругих систем на примере изгибных колебаний простой стержневой конструкции.
2. Постановка задачи. Известно, что пороупругая сплошная среда является математической моделью гетерогенного материала, одна из фаз которого представляет собой упругую пористую матрицу, или скелет, а вторая жидкость или газ, заполняющие систему пор материала [11]. Два уравнения движения могут быть получены из рассмотрения закона сохранения количества движения элемента гетерогенной среды отдельно для каждой фазы с учетом инерциальных и диссипативных сил межфазного взаимодействия [6, 11]:
Р11 = (!-ф) Pi-Р12, Р12 = (1 -т) фР f , Р22 = тфР f
где а,, a f — тензоры напряжений в твердой и жидкой фазах; R — сила межфазного взаимодействия, состоящая из силы вязкого трения, действующей на точки твердой фазы со стороны жидкости, и равновесной составляющей согласно подходу Х.А. Рахмату-лина; f,, ff — плотности объемных сил, действующих в твердой и жидкой фазах; u, U — векторы перемещений твердой и жидкой фаз; р11, р12, р22 — частичные фазовые плотности, выражаемые через истинные плотности упругой матрицы р, и заполняющего поры жидкого или газообразного материала р f, пористость ф и параметр искривленности пор т.
Введением вектора относительного движения жидкости в порах w = ф (U - u), уравнения (2.1)—(2.2) преобразуются к виду:
V- о + fv = pu + р f w (2.3)
-Vp + ff =pfU + mfw + ф-2B • w (2.4)
P = P11 + 2P12 +P22, mf =тф-1p f
где p, mf — полная и приведенная плотности; о — полный тензор напряжений в точке сплошной среды; fv — полная объемная сила, действующая в данной точке; p — давление поровой жидкости; B — тензор коэффициентов вязкого трения, выражаемый через тензор проницаемости: B = ф2K 1, K = k/n f .
Определяющие соотношения эффективной сплошной среды, описывающей пористый насыщенный материал, связывают полный тензор напряжений в произвольной
V-(1 -ф) аг + (1 -ф) f, + R = PnU + P12U V-фо f + ф ff - R = P12U + P22U
(2.2)
(2.1)
точке среды и давление жидкости с кинематическими переменными в виде вектора перемещений упругого скелета и относительного изменения объема жидкости в порах. При использовании смешанной формулировки динамической задачи пороупру-гости относительно перемещений упругого скелета материала и давления поровой жидкости в случае анизотропии упругих и гидравлических свойств данные соотношения удобно представить в виде:
а (и, р) = СЛг : £ (и) - Ар = айг (и) - Ар (2.5)
д (и, р) = А : £ (и) + ф2Л-р (2.6)
где аЛг (и) = Сйг : £ (и) — тензор напряжений в точках твердой фазы, вызываемый только деформациями упругой матрицы материала; С ¿г — тензор упругих модулей эффективной среды в дренированном состоянии; А — тензор Био, учитывающий вклад напряжений жидкой фазы в выражение полного тензора напряжений двухфазной среды; ^ = -V • w — скалярная переменная, имеющая физический смысл относительного изменения объемного содержания жидкости в порах.
Уравнения динамики двухфазной среды (2.3)—(2.4) содержат вектор относительного перемещения жидкости в порах. При использовании формулировки задачи поро-упругости в переменных "перемещение-давление" необходимо перейти в динамических уравнениях к вектору перемещений упругого формообразующего скелета материала и давлению жидкости в порах. Однако в явном виде это возможно сделать только, если положить вектор относительного ускорения поровой жидкости равным нулю = 0. Данное ограничение справедливо для статических задач или низкочастотных динамических процессов. Поэтому в следующем разделе будет рассмотрен подход к выводу динамических уравнений в высокочастотной области с помощью преобразования Лапласа и проанализированы одномерные частные случаи получаемых уравнений.
3. Метод и построение решения. В работах [12, 13] используется преобразование Лапласа [14] на стадии формирования динамических уравнений, что в результате приводит к соотношениям относительно отображений искомых функций: перемещений и давления. Получаемая система уравнений может быть использована непосредственно для исследования гармонических колебаний или для анализа нестационарных процессов путем применения обратного преобразования Лапласа.
Будем считать, что все необходимые начальные условия равны нулю, что естественно для задачи об установившихся колебаниях, а также имеет место при исследовании многих динамических проблем. Рассмотрим преобразование Лапласа от системы уравнений (2.3)—(2.4). Из уравнения (2.4) следует обобщение закона фильтрации Дар-си [1]:
д = sW = -К(5) • [Ур + р^2и - ] (3.1)
где 5 — комплексная переменная Лапласа и введен тензор комплексной гидравлической проводимости среды, зависящий от частоты колебаний:
К = 5 (т^ 2Е +5К-1)-1 (3.2)
Исключая вектор относительного перемещения из уравнения (2.3) в пространстве отображений с помощью соотношения (3.1), получим:
V • о + V = 52 (рЕ - руГ) • и - Г • Ур + Г •
Г (5) = р/Ж
Принимая во внимание выражение полного тензора напряжений (2.5), последнее уравнение удобно переписать в следующем виде:
V- а аг - *2 (рЕ-р/Г) • и - (А - Г) -Чр = -Гу + Г • Г/ (3.3)
Используя модифицированный закон Дарси (3.1) и определяющее соотношение (2.6), после преобразований получим уравнение распределения давления жидкости в порах упругого материала:
*_1 V • (К • Ур) - ф2Я~1р - (А - Г) ■ ■£ = */ (3.4)
Полученные соотношения (3.3)—(3.4) с учетом определяющего уравнения линейного упругого материала в дренированном состоянии представляют замкнутую связанную систему уравнений в частных производных относительно изображений вектора перемещений упругого формообразующего скелета и давления жидкости в порах.
Не умаляя общности, примем для упрощения изложения естественное в постановке задачи об исследованиях вынужденных колебаний пористой упругой конструкции условие отсутствия внешних объемных сил, действующих на точки жидкой фазы: Г/ = 0. Будем считать, что конструкция нагружена поперечными силами в направлении У, имеющими удельную плотность распределения:
ь (х) = | /уу (х,у, г, /ух = V = о (35)
л (х)
где — площадь поперечного сечения стержня.
При выполнении гипотезы плоских сечений в материале стержня реализуется одноосное напряженно-деформированное состояние, описываемое продольной компонентой тензора упругости (х) = ах (х) п и законом Гука ах = Ехех. Рассмотрим случай однонаправленног
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.