Автоматика и телемеханика, № 1, 2014
Нелинейные системы
© 2014 г. Э.М. СОЛНЕЧНЫЙ, д-р физ.-мат. наук
(Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИДЕЙ Г.В. ЩИПАНОВА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ИНВАРИАНТНОСТИ ВЫХОДА ЛИНЕЙНОГО РАСПРЕДЕЛЕННОГО ОБЪЕКТА ПО ОТНОШЕНИЮ К ВОЗМУЩЕНИЮ
Исследуются возможности построения на основе идей Г. В. Щипанова системы управления линейным распределенным объектом, обеспечивающей близкое к инвариантному поведение по отношению к внешнему возмущению. Исследование проводится как для произвольного безинерцион-ного объекта, так и для некоторых разновидностей одномерного объекта теплопроводности. Указываются случаи, когда гарантируется грубость "щипановской" системы по отношению к неточности выполнения условия абсолютной инвариантности, и случаи, когда может быть гарантирована только устойчивость замкнутой системы.
1. Введение
Выдвинутая Г.В. Щипановым идея о построении универсального регулятора, который мог бы полностью подавить влияние неизмеряемого внешнего возмущения на объект управления, до сих пор как в работах самого Щипанова [1, 2], так и в работах, обсуждавших эту идею, исследовалась лишь применительно к линейным объектам с конечномерным пространством состояний, т.е. к объектам, описываемым обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями.
Между тем, универсальность предлагаемого Щипановым способа построения регулятора означает принципиальную применимость этого способа к любому объекту, независимо от его математического описания, ибо этот регулятор представляет собой вырожденную систему, допускающую лишь одно (желаемое) поведение выхода объекта, и потому при любом возможном поведении замкнутой системы, содержащей вырожденный регулятор в качестве подсистемы, поведение выхода объекта будет желаемым.
Выражение "принципиальная применимость" здесь означает: "при точном выполнении условия вырожденности регулятора"; а поскольку это условие является соотношением типа равенства, на практике его выдержать невозможно, и поэтому на пути к практической реализации идей Щипанова возникает проблема обеспечения грубости замкнутой системы (объект-регулятор), т.е.
близости ее поведения к идеальному при достаточно малых отклонениях параметров регулятора от их расчетных значений.
В целом ряде работ (см., например, [3-8]) были предприняты исследования (как теоретические, так и экспериментальные) поведения "щипановской" системы при малых неточностях выполнения условия абсолютной инвариантности. Результаты этих исследований показали как опасности потери замкнутой системой грубости (и даже устойчивости), так и возможности обеспечения, при определенных ограничениях на отклонения параметров регулятора, сколь угодно точного приближения поведения замкнутой "щипановской" системы к абсолютной инвариантности.
Поскольку сейчас в инженерной практике широко используются распределенные объекты, адекватно моделируемые системами с бесконечномерным пространством состояний, т.е. описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных, исследование динамических свойств таких объектов и способов управления ими в настоящее время широко развивается, и естественно возникает вопрос о возможностях использования идей Щипанова и для управления распределенными объектами.
В настоящей работе предпринимается исследование возможностей использования этих идей для некоторых видов линейных распределенных объектов как безынерционных, так и чаще встречающихся на практике инерционных объектов, в частности для некоторых разновидностей одномерного объекта теплопроводности. Исследование проводится в направлении выяснения возможностей обеспечения грубости построенной по идеям Щипанова системы управления при неизбежной неточности выполнения условия абсолютной инвариантности. Показывается возможность обеспечения грубости "щи-пановской" системы управления как для безынерционного объекта, так и для некоторых разновидностей объекта теплопроводности. Для тех видов объекта теплопроводности, для которых наличие грубости доказать не удается, показывается устойчивость замкнутой системы по отношению к внешнему возмущению (см., например, [6, разд. 2.2]) и дается оценка нормы оператора, переводящего это возмущение в отклонение температуры объекта от ее значения в установившемся режиме.
Замечание 1. Понятие устойчивости по отношению к внешнему возмущению близко к известному понятию устойчивости при постоянно действующих возмущениях (см., например, [9]), но отличается от него тем, что исследуемая система рассматривается при фиксированных начальных условиях. Для линейной системы устойчивость по отношению к возмущению означает ограниченность оператора, определяющего реакцию системы только на внешнее возмущение; влияние начальных условий в линейной системе описывается другим оператором и может рассматриваться отдельно. В данной работе начальные условия (по времени) везде будут считаться нулевыми.
Нужно, конечно, иметь в виду, что в данной работе исследуется вопрос о грубости лишь по отношению к одностороннему отклонению одного из параметров системы от его идеального значения. В [6, гл. 5] уже проводилось исследование вопроса о грубости "щипановской" системы по отношению к возможным малым чистым запаздываниям и к малым инерционностям в ре-
гуляторе, но только для линейного объекта с конечномерным пространством состояний.
2. Исследование вопроса об устойчивости и грубости системы управления линейным распределенным объектом с регулятором, близким к вырожденной системе
1. Рассмотрим линейный распределенный объект, динамика которого описывается следующим образом:
где выход объекта у, управление и и возмущение / будем считать элементами банаховых пространств обобщенных функций времени Ь, соответственно пространств У, и и Ф; при Ь < 0 все эти функции считаются принимающими нулевое значение; У и ^ будем считать линейными ограниченными причинными [10] операторами соответственно и — У и Ф — У; оператор У пока будем считать имеющим ограниченный причинный обратный оператор У-1 : У — И ("безынерционный объект").
Замечание 2. Понятие причинности [10] оператора означает, что реакция на воздействие (выход оператора) не может возникнуть раньше возникновения воздействия (входа). Только такие операторы отвечают физическому принципу причинности: следствие не может опережать причину.
Сформируем регулятор в виде системы из двух линейных динамических звеньев:
где V — "внутренняя координата" регулятора, элемент банахова пространства V, Ег (г = 1 ^ 3) — линейные ограниченные причинные операторы. Оператор Е2 : У — И считаем имеющим ограниченный причинный обратный
где 5 = 1ёи — Е1Е3, 1ёи — тождественный оператор в пространстве И.
Если 5 = 0, то, как видно из (2.3), для любого объекта вида (2.1) у = 0, т.е. имеет место абсолютная инвариантность (или компенсация по терминологии [1, 2]) выхода у объекта по отношению к возмущению /.
Пусть теперь 5 — ненулевой оператор И — И.
Теорема 2.1. При условии существования и ограниченности обратных операторов У-1 и Е-1 замкнутая система ((2.1), (2.2)) обладает свойством устойчивости по отношению к возмущению / и свойством грубости по отношению к неточности выполнения условия 5 = 0 абсолютной инвариантности. Это означает, что оператор, переводящий / в у, ограничен и что при ||5|| — 0 норма его стремится к нулю.
(2.1)
у = У и + /
(2.2)
и = Е^ — Е2у, V = Е3и,
оператор Е-1 : И — У. Из (2.2) следует:
(2.3)
Доказательство теоремы см. в Приложении П.1.
Пусть, например, y (t) означает распределение какой-либо скалярной величины y (x, t) по множеству L, ||y (t) ||х = sup |y (x, t) | и ||y||y = sup ||y (t) ||x.
жеь t>о
Тогда, если y — выход объекта, управляемого регулятором (2.3), утверждение теоремы 2.1 означает, что выход y (x, t) объекта (2.1), управляемого регулятором (2.2), при достаточно малой норме оператора 5 принимает сколь угодно малые значения равномерно по множеству L и по времени. Таким образом, измеряя в каждый момент времени величину y(x, t) на всем L и вычисляя норму ||y (t) ||x, можно за счет уменьшения ||5|| добиваться сколь угодно полного подавления влияния возмущения f € Ф на выход y объекта, т.е. сколь угодно точного приближения поведения системы ((2.1), (2.2)) к состоянию абсолютной инвариантности по отношению к возмущению f € Ф.
Замечание 3. Проблема обеспечения грубости щипановской системы управления объектом с конечномерным пространством состояний исследовалась, например, в [6, 8]. В частности в [8] показано, что необходимым и достаточным условием грубости одноканальной системы управления, настроенной на абсолютную инвариантность, является совпадение степеней числителя и знаменателя передаточной функции от управления к выходу объекта, т.е. безынерционность канала передачи сигнала в объекте от управления к управляемой величине.
2. На практике объекты управления чаще бывают инерционными, что выражается в несуществовании или в неограниченности обратного оператора Y-1 : Y ^ U; во многих практических случаях оператор Y является дифференциальным оператором 1-го или 2-го порядка по времени и по пространственным координатам.
Пусть уравнение динамики объекта имеет вид
где у, и и / — элементы пространств соответственно V, и и Ф; Б — линейный дифференциальный оператор V — V, В и ^ — линейные ограниченные операторы соответственно И — V и Ф — V.
(Уравнение (2.4), конечно, должно быть дополнено граничными условиями, обеспечивающими существование и причинность оператора, переводящего пару (и, /) в у.)
Сформируем регулятор вида (2.2), сохраняя предположения об ограниченности и причинности линейных операторов К (г = 1 ^ 3). Тогда предполагая оператор 5 : 5 = 1ёи — К1К3 имеющий ограниченный обратный оператор 5-1 : И — И, получаем уравнения замкнутой системы
(2.4)
Dy = Bu + Ff,
(2.5)
(D + b) y = Ff, 5u = -R2y,
v = R3u
(с теми же граничными условиями, что в (2.4)), где Ь = В5 1К2 — ограниченный оператор V — V.
Ниже условия устойчивости и грубости замкнутой системы вида (2.5) исследуются применительно к некоторым разновидностям линейно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.