МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2014
УДК 539.3
© 2014 г. Ю. Г. ПРОНИНА
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ОБРАЗОВАНИЯ И РАЗВИТИЯ ПОР В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ В РАМКАХ ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ ДЕВИСА-НАДАИ
В рамках деформационной теории Девиса—Надаи исследована задача о шаре с центральной полостью, находящемся под действием внутреннего и внешнего давления. Решение построено в отсчетной конфигурации для степенного закона деформирования материала с возможностью учета сохранения количества вещества внутри полости. Проведен анализ полученного решения; математически доказано существование предельной нагрузки при всестороннем растяжении и дан способ ее определения. Доказана возможность образования новой поры в сплошном шаре при его растяжении, произведена оценка критической нагрузки порообразования. Показана невозможность полного исчезновения уже существующей сферической поры под действием внешнего давления (при сохранении ее формы, оставаясь в пределах гипотезы сплошности).
Ключевые слова: деформационная теория Девиса—Надаи, логарифмические деформации, упругопластический материал, толстостенная сфера, порообразование, кавитационная неустойчивость, залечивание, критическая нагрузка.
1. Введение. В середине XX в. в экспериментах на металлах и резиноподобных материалах было обнаружено внезапное образование пор при растяжении. Согласно современным концепциям зарождение и слияние микропор считается одним из характерных механизмов начальной стадии разрушения материалов. В связи с этим анализ формирования новых и развития имеющихся поверхностей в твердых телах играет фундаментальную роль в механике разрушения. В качестве одной из основных расчетных моделей для этих исследований используется толстостенная сфера под действием равномерной нагрузки.
Задачи о малых упругопластических деформациях толстостенной трубы и сферы под давлением рассмотрены в [1]. Решение геометрически нелинейной задачи о шаровой поре в упругом пространстве изложено в [2]. Особую специфику приобретают задачи, в которых изучаются большие деформации тел из нелинейно-упругих и упруго-пластических материалов. В подавляющем числе работ, посвященных расчету больших деформаций, исследовались тонкостенные оболочки вращения (см. обзоры трудов в [3—5]). Однако закономерности поведения тонких оболочек мало применимы к изучению условий зарождения и исчезновения пор в твердых телах. Наиболее полно исследованы физически и геометрически нелинейные задачи о деформации толстостенных тел из гиперупругих материалов. В монографии [6] представлены решения задач теории упругости для сферы из полулинейного гармонического материала Джона и несжимаемого упругого материала. В 1982 году в статье [7] была предложена модель формирования поры при растяжении сплошного шара из гиперупругих
(сжимаемого и несжимаемого) материалов. Там же введен термин "кавитация" применительно к твердым телам. Авторы работ [8—18] рассмотрели вопросы существования, единственности и устойчивости кавитационных решений для разных классов ре-зиноподобных материалов. Вариационным задачам предельного анализа для высокоэластичных материалов посвящены труды автора статьи [19].
Для описания механического поведения многих металлов и сплавов применяется деформационная теория Девиса—Надаи [20, 21]. Предложенные Е. Девисом и А. На-даи зависимости между напряжениями и логарифмическими деформациями рассматривают как экстраполяцию на область больших деформаций основных соотношений деформационной теории пластичности или теории течения [3]. В общем виде решение о больших логарифмических деформациях толстостенной сферы под действием внутреннего давления при произвольном законе упрочнения материала дано в [22]. Надо отметить, что существование предельного значения нагрузки при ограниченной скорости упрочнения материалов было показано еще в 1945 г. в [23]. Рост сферических пор в жесткопластических телах исследован в [24, 25]. Численный анализ кавитацион-ной неустойчивости при осесимметричной деформации идеального упругопластиче-ского тела представлен в [26]. Несколько позднее авторы последней статьи распространили свои результаты на случай упругопластического материала со степенным упрочнением в рамках деформационной теории [27]. В статье [15] для этого же класса материалов на основе принципа виртуальной работы приближенными методами построены поверхности кавитации; конкретные расчеты выполнены для цилиндра. Заметим, что после труда [22] большинство результатов (за исключением, например, [27]) в рамках деформационной теории было получено численными методами (если не принимать во внимание исследования тонких пластин и оболочек). В [27], помимо упомянутых выше численных расчетов, изложено решение, аналогичное по сути решению [22], но для неограниченного тела со сферической полостью под действием растягивающих усилий на бесконечности. В обеих работах [22, 27] интеграл уравнения равновесия выписан в текущих координатах в общем виде для произвольного закона упрочнения, поэтому по форме совпадает с решением, приведенным в [1] для малых деформаций. В статьях [28, 29] в рамках деформационной теории Девиса—Надаи найдено решение задачи о растяжении шара с центральной полостью под действием равномерной нагрузки, приложенной на внутренней и на внешней поверхностях тела, с учетом возможности сохранения количества вещества внутри полости; окончательные выражения построены в отсчетной конфигурации для степенного закона деформирования.
В настоящей работе указанное решение приведено к виду, применимому для описания как растяжения, так и сжатия центральной полости в шаре. Выписаны выражения для окружных компонент напряжения. Математически доказаны существование предельного значения нагрузки при растяжении, возможность образования поры в сплошном шаре и невозможность исчезновения уже существующей полости (без изменения ее формы, оставаясь в пределах гипотезы сплошности).
2. Описание задачи. Рассматривается изотропное тело, ограниченное двумя концентрическими сферическими поверхностями, радиусы которых в начальный момент времени обозначены через а и Ь (а < Ь). Предполагается, что механическое поведение материала тела подчиняется соотношениям деформационной теории Девиса—Надаи. На его внутренней поверхности задана постоянная нормальная нагрузка qa, а на внешней — постоянная нормальная нагрузка qЬ. Требуется определить напряженно-деформированное состояние тела в зависимости от заданной нагрузки и механических характеристик материала.
3. Основные соотношения. Введем лагранжевы сферические координаты р, 9, ф с началом в центре сфер. Из условий сферической симметрии и отсутствия касательной
нагрузки вытекает, что напряжения арр и о00 = ow являются главными напряжениями, тангенциальные перемещения равны и0 = uv = 0, а радиальное перемещение u зависит только от координаты р.
Будем оперировать истинными составляющими деформации, не ограниченными условиями малости в сравнении с единицей [21]. В этом случае ее компоненты, отнесенные к сферической системе координат р, 9, ф, определяются выражениями [22]:
s рр(р) = ln (1 + du/dp), sw(p) = Ефф(р) = ln (1 + u/p) (3.1)
Согласно деформационной теории Девиса—Надаи [20, 21] материал тела считается несжимаемым, а напряжения и деформации связаны между собой известными зависимостями
2аi 2аi 2аi
Т—£рр> а00 -а_7—099' -а_т—0W (3.2)
•^У О i О i о i
CTi = Ф(е;) (3.3)
где а — среднее нормальное напряжение, а, — интенсивность напряжений, б,- — интенсивность деформаций, ai = Ф(е,- ) — закон деформирования материала, в качестве которого принята степенная зависимость
ai = B £ f, 0 <ц< 1 (3.4)
Отметим, что поскольку в данной работе не исследуется стадия разгрузки, термин "пластический" не употребляется, хотя используемая теория была создана для описания поведения упругопластических материалов (металлов и сплавов).
4. Общее решение. Построение решения проведем по схеме, разработанной совместно с Ю.М. Далем и реализованной в [28, 29], но с учетом знака напряжений, перемещений и деформаций при сжатии. Обозначим радиальную координату произвольной точки тела после деформации через
р* =р + u(p) (4.1)
Из условия несжимаемости spp + Eqq + sw = 0 с учетом соотношений (3.1) и (4.1) следует выражение:
u(p) = ^р3 + а3 - р (4.2)
где а3 — произвольная постоянная интегрирования, пропорциональная приращению объема полости. Подстановка соотношения (4.2) в выражения (3.1) для истинных деформаций дает
е ее(р) = е w(p) = -1/2 Spp(p) = 1/3 ln(1 + a3/р3) (4.3)
Отсюда находим интенсивность деформаций
3 1 = 2/3 ln I 1 + 4
st(p) = sign u ■ 2/3 In I 1 + ^ I = 2/3
(4.4)
Умножив уравнение равновесия рассматриваемого тела dann 2
—^ + — (арр -аее) = 0 dp* p*
на d р*/d р, приводим его к виду [28]:
^ + ± -ее) = 0 (4.5)
dp р* dp
Вследствие сферической симметрии задачи для интенсивности напряжений справедлива зависимость
O = (оее -Opp) sign u (4.6)
В результате подстановки этого выражения в уравнение (4.5) и его последующего интегрирования, получаем
Р 2
срр(р) = 2 sign u f ^iP 3 dp + A, A = const (4.7)
p + a
a r
Для ясности уточним, что sign u = sign a3.
Учитывая краевые условия cpp(a) = qa и app(b) = qb, из формулы (4.7) находим
P 2
Opp(p) = 2 sign u f 3PiP 3 dp + qa (4.8)
a P +a
b CT- 2
qb - qa = 2 sign u J 3СТР 3 dp (4.9)
p + a
a
Данный результат согласуется с решениями [22, 27] частных случаев поставленной проблемы.
Последние формулы справедливы в тех ситуациях, когда давление pa = -qa внутри полости неизменно. В общем случае qa меняется со временем. Если предположить, что в процессе деформирования количество газа в поре остается постоянным, то, согласно закону Бойля—Мориотта, давление в ней равно
з
mm a Pa = -qa = -qa ~-3
a + a
С учетом этого формулы (4.8)—(4.9) принимают вид
р 2 3
Орр(р) = 2 sign u J-y^ dp + qa —3a 3 (4.10)
p + a a + a
a
3 b 2
qt -qa~r—з = qb -qm =2 signu f 3iP 3dp (4.11)
a + a p + a
a
Окружные напряжения, как следует из (4.6), находятся по формуле
оее(р) = ow(p) = sign u аДр) + Орр(р) (4.12)
При известном законе деформирования (3.3) соотношения (4.4) и (4.9) или (4.11) определяют постоянн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.