ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 7, с. 1264-1275
УДК 519.676
ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННОЙ АСИМПТОТИКИ ИНТЕНСИВНОСТИ ПОЛЯРИЗОВАННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО1-*
© 2007 г. Г. Ä. Михайлов, Н. В. Трачева, С. Ä. Ухинов
(630090 Новосибирск, пр-т акад. Лаврентьева, 6, Ин-т вычисл. матем. и матем. геофиз. СО РАН)
e-mail: gam@sscc.ru; tnv@smf.sscc.ru; sau@sscc.ru Поступила в редакцию 02.02.2007 г.
Рассматривается задача об оценке параметров временных асимптотик интенсивности поляризованного излучения. Методом Монте-Карло получены прецизионные оценки таких параметров для конечных слоев вещества путем реализации итераций резольвенты соответствующего оператора переноса с заданной матрицей рассеяния, а также на основе вычисления параметрических временных производных. Расчеты проведены для двух вариантов такой задачи - с рэлеевской матрицей молекулярного рассеяния и с матрицей аэрозольного рассеяния. Показано, что поляризация влияет на асимптотику интенсивности излучения, за исключением пространственно-однородной задачи, для которой результаты получены аналитически. Библ. 11. Табл. 4.
Ключевые слова: перенос поляризованного излучения, временная постоянная, статистическое моделирование, метод Монте-Карло.
1. ВВЕДЕНИЕ
Для описания поляризационных свойств света используется вектор Стокса I = (I, Q, U, V)T, компоненты которого определяют интенсивность, степень и плоскость поляризации, а также степень эллиптичности излучения. Математическая модель переноса поляризованного излучения строится на основе феноменологического предположения о том, что в результате рассеяния ассоциируемый с "фотоном" вектор Стокса преобразуется заданной матрицей рассеяния (см. [1]).
Рассмотрим стационарное интегродифференциальное уравнение переноса излучения с поляризацией:
юУФ + оФ = JosP (ю', ю)Ф(r, ю')dro' + f0(r, ю), или ЬФ + оФ = SФ + f0, (1.1)
п
где Ф = (Ф1, Ф2, Ф3, Ф4)т - вектор-функция плотности потока частиц ("векторных фотонов"), иначе -
интенсивности излучения; П - пространство единичных векторов направления, ю е П, r е D с U ;
ю) - матричная функция рассеяния, о = o(r) - полное сечение, о = os + oc, oc - сечение поглощения, os - сечение рассеяния; f0 = (/0^, f2), /03),
Г )т - вектор-функция плотности распределения источника частиц. Матрица P^', ю) определяется соотношением
P (ю',ю) = L (п - i2) R (ц) L (-ii),
где L(0 - специальная матрица поворота, R(-) - матрица рассеяния; i1 - угол между плоскостью ю', s и плоскостью рассеяния ю, ю'; i2 - угол между плоскостью рассеяния ю, ю' и плоскостью ю, s; Ц = (ю', ю), s = (0, 0, 1) (см., например, [2]).
Существует ряд задач теории переноса, при решении которых исследователей интересует асимптотическое поведение интенсивности излучения на больших временах в светорассеиваю-щих средах. Известно, что для неполяризованного излучения эта асимптотика при выполнении довольно общих условий является экспоненциальной. Параметром экспоненциальной асимпто-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 06.01-00046-а), программы "Ведущие научные школы" (грант НШ-4774.2006.1) и INTAS (Ref. Nr 05-1000008-8024).
тики при этом является ведущее характеристическое число X* однородного стационарного уравнения переноса
ЬФ + (а + X/v) Ф = 8Ф (1.2)
со стандартными краевыми условиями (см. [3]).
Целью нашей работы является решение вопросов, связанных с распространением этого утверждения на случай поляризованного излучения. В пространственно-однородном случае, т.е. когда однородная среда заполняет все пространство, это достигается довольно просто на основе
теории весового моделирования процесса переноса, причем оказывается, что X* = X* = -а^ независимо от типа поляризации. Здесь ас - сечение поглощения, v - скорость частиц.
Специалистам хорошо известно также, что X* = X* = -а^ и для полупространства. Эвристически это достаточно ясно из соображений непрерывности величины X* как функции оптической толщины плоского слоя.
Для ограниченной среды теоретически неразрешимым оказался вопрос о связи значений X* и X*, т.е. значений параметра асимптотики, соответственно, для скалярного и векторного вариантов с одинаковой индикатрисой рассеяния Лп(ю, ю'). Это фактически вопрос о соотношении скоростей деполяризации потока частиц и его перехода к экспоненциальной асимптотике.
В настоящей работе с помощью прецизионных расчетов методом Монте-Карло показано, что для ограниченных сред в случаях молекулярного и аэрозольного рассеяния X* Ф X*, т.е. деполяризация потока частиц несколько запаздывает относительно перехода к асимптотике.
Получена также "оценка" параметров асимптотики "векторной освещенности" границы полубесконечного слоя с источником на этой границе, т.е. помехи обратного рассеяния для соответствующего варианта оптического зондирования.
2. ЗНАЧЕНИЕ X* ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОГО ОДНОРОДНОГО ПРОСТРАНСТВА
В пространственно-однородном случае, когда рассматривается эволюция угловой зависимости вектор-функции полной интенсивности Ф = Ф(ю), слагаемое юУФ в уравнении переноса (1.2) отсутствует и соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
(а + X / v) Ф = 8Ф. (2.1)
Предполагается, что матрица рассеяния непрерывна по ю и, следовательно, оператор 8 вполне непрерывен.
Теорема 1. Главное характеристическое число X* уравнения (2.1) равно (-ас^.
Доказательство. Оператор 8 оставляет инвариантным конус Т непрерывных по ю вектор-функций Стокса. Нетрудно проверить, что выполняется равенство 810 = аД0, где 10 = (1, 0, 0, 0)т. Таким образом, значение X = X* = (ах - а) V = -а^ является характеристическим числом, соответствующим "характеристическому элементу" 10, который является внутренним для конуса Т. Следовательно, X* = -а^ - главное характеристическое число (см. [4]).
Рассмотрим теперь вопрос о временной зависимости функции Ф в пространственно-однородном случае. Если ас = 0, то эта асимптотика имеет вид С10 вследствие закона сохранения энергии и известной временной деполяризации излучения. Если же ас Ф 0, то при 1"0 = 5(01"(ю), используя известный (см. [5]) стандартный весовой метод моделирования процесса переноса с заменой
а —- а,, ас —► 0 (см. также последний абзац разд. 3), получаем асимптотику СТ0 е . Таким образом, в пространственно-однородном случае показатель X* экспоненциальной асимптотики интенсивности поляризованного излучения определяется главным характеристическим числом X* = -ас^ На полубесконечный слой это утверждение переносится с помощью эвристически очевидного свойства непрерывности величины X* как функции толщины слоя. Это свойство проверено представленными далее расчетами.
3. ВЕСОВОЕ СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ С УЧЕТОМ ПОЛЯРИЗАЦИИ
Вектор-функция плотности столкновений ф(г, ю) связана с вектор-функцией интенсивности соотношением
ф = (аФ1, аФ2, аФ3, аФ4)т = (ф1, Ф2, Ф3, Ф4)т.
Известно (см. [1]), что она удовлетворяет интегральному уравнению переноса с учетом поляризации
Ф (х) = |К( х', х) ф (х')йх'+ Г(х), или ф = Кф + Г,
(3.1)
т.е.
Фг(х) = X!ки(х'' х)Ф1(х')йх' + /(х), г = 1.....4,
1 = 1 X
3
где х = (г, ю) е X = К х П, Г = (/1,/2,/3,/4)т - вектор-функция плотности распределения начального столкновения. Здесь
К(х, х) = Ч( Г' ) ехр ( Г' г) ]а ( г)Р( ю' - ю >8(ю - Г " Г'
г - г
г - г
(3.2)
где
Ч(г) = -г-т, т(г', г; ю) = ! а(г'+ гю)йг. а( г) J
г- г
а( г)
0
В нестационарном случае вводится дополнительная фазовая временная координата г и ядро (3.2) домножается на 8(г - (г - г')/^).
Уравнение (3.1) будем рассматривать в нормированном пространстве ^(Х) обобщенных плотностей векторных мер ограниченной вариации, которое представляет собой минимальное расширение векторного пространства Ьх(Х), включающее в себя "дельта-функции" различной допустимой размерности. В качестве линейных функционалов (ф, Ь) будем рассматривать интегралы от непрерывных ограниченных векторных функций Ь е С0 по соответствующим мерам,
формально - интегралы вида | фт (х)Ь(х)йх.
Наряду с уравнением (3.1), будем рассматривать сопряженное уравнение ф* = К*ф* + Ь, где К* - оператор с транспонированным ядром. Предполагается, что оптическая модель достаточно регулярна для того, чтобы выполнялись соотношения
К е [ N ^ N ], К * е [ С^ Со ], р( К) = р( К* )< 1.
Уравнение (3.1) выводится из феноменологической модели переноса следующим образом. Если фп - плотность столкновений кратности п = 0, 1, ..., то, очевидно, фп = Кфп - Следовательно, вектор-функция ф = = 0 фп действительно является единственным решением уравнения (3.1) в ^(Х). П
Заметим, что уравнение (3.1) можно распространить на все пространство X, положив а = ас вне некоторой выпуклой оболочки среды (см. [1], [5]). Можно также рассматривать ограниченные функции Ь с разрывами I рода, для которых интегралы (ф, Ь) определены.
После подстановки диагональной матрицы РК = diag(R11, 0, 0, 0) вместо Р в систему уравнений переноса с поляризацией получаем уравнение переноса излучения без поляризации. В этом случае наибольшее вещественное характеристическое значение X* задачи (1.2) называется временной постоянной, так как она определяет асимптотику потока частиц 1(г, ю) ~ С(г, ю^хр^г) (см. [3]).
Методом Монте-Карло оценивают указанные выше линейные функционалы от решения рассматриваемого интегрального уравнения. Ниже приводится общий алгоритм метода Монте-Карло для оценки таких функционалов в случае системы интегральных уравнений II рода (см. [1], [5]-[7]).
Для вычисления искомых функционалов используется "оценка по столкновениям". В случае процесса переноса излучения с учетом поляризации будем оценивать линейные функционалы вида
4
3 = (ф, Ь) = Цф,(X)к,(X).
г' = 1 X
Здесь Ь - вектор-функция с абсолютно ограниченными компонентами, т.е. кг е Ьмпри г = 1, ..., 4.
Рассмотрим цепь Маркова с начальной плотностью п(х) и субстохастической переходной плотностью р(х', х) такими, что
п(х0, если Г(х0, и р(х', х0, если К(х', х0,
для которой N является случайным номером последнего состояния.
Введем вспомогательный случайный вектор "весов" 0п = (, , 0<'п), ) и "оценку по столкновениям" ^ форм
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.