ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫ СИНХРОНИЗАЦИИ В МНОГОМЕРНЫХ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
А. В. Макаренко*
Научно-исследовательская группа «Конструктивная кибернетика» 101000, Москва, Россия.
Институт проблем управления. Российской академии наук 117997, Москва, Россия
Поступила в редакцию 28 октября 2014 г.
Предложен новый подход к комплексному исследованию временной структуры синхронизации многомерных хаотических систем. Метод позволяет диагностировать и количественно оценивать характеристики перемежаемости при синхронизации хаотических колебаний в режиме Т-синхронизации. Проведено изучение системы двух идентичных логистических отображений с однонаправленной связью, функционирующих в режиме развитого хаоса. Показано, что широко распространенный подход, при котором анализу подвергаются только паттерны синхронизации, а зоны десинхронизации рассматриваются как фоновый сигнал и из анализа исключаются, следует признать методологически неполным.
П01: 10.7868/80044451015050195 1. ВВЕДЕНИЕ
Синхронизация принадлежит к числу фундаментальных понятий теории нелинейной динамики и теории хаоса. Этот феномен широко распространен в природе, науке, технике и обществе [1]. Одно из важных проявлений этого явления это синхронизация хаотических колебаний, которая экспериментально наблюдалась в различных физических приложениях (см. [1 5] и приведенные там ссылки), такие как радиотехнические генераторы, механические системы, лазеры, электрохимические осцилляторы, плазма и газовый разряд, квантовые системы. Изучение данного эффекта является весьма важным также с точки зрения его применения к передаче информации [6] и к криптографическому шифрованию [7] с помогцыо детерминированных хаотических колебаний, к квантовым вычислениям [3, 8].
Синхронизация хаотических колебаний объединяет под собой несколько различных видов [2]: обобщенная [9], полная [10], противофазная [11], с запаздыванием [12], частотная [13], фазовая [14], синхронизация временных масштабов [15]. Под каждый из них разработан соответствующий аналитический ап-
Е-таП: avm.sdenceifflmail.ru
парат и методы диагностики. Тем не менее продолжаются активные исследования, направленные, с одной стороны, на рассмотрение разных видов синхронизации с единых позиций, а с другой на поиск новых видов синхронного поведения, не укладывающихся в означенные. Несмотря на продолжительную историю изучения синхронизации хаотических колебаний, множество важных вопросов в данной области остаются нерешенными. В их числе и количественное исследование временной структуры синхронизации динамических систем. Под этой структурой будем понимать всплески синхронного поведения фазовых переменных систем, в промежутках между которыми уровень синхронности характеризуется малой величиной, т. е. перемежаемое поведение [16].
Понятие перемежаемости является весьма важным в физике (и но только) для исследования структурных свойств процессов и оно не ограничивается только синхронизмом хаотических систем. На это в свое время обратил внимание еще Мандельброт [17] (задача о турбулентных течениях в гидродинамике), а также несколько позже Зельдович с соавторами [16] (задачи химической кинетики и самовозбуждения магнитного поля в случайном потоке проводящей жидкости). Так, явление перемежаемости
имеет приложение в физике частиц высоких энергий [18], космологии [19], при исследовании перестроек аттракторов нелинейных динамических систем [20 22] и в прочих областях. С физической точки зрения перемежаемость вообще означает появление неких структур различного масштаба в среде (например вихрей, локализованных деформаций, температурных неоднородностей), которая исходно могла быть совершенно бесструктурной на этих масштабах. С математической точки зрения такое поведение характеризуется наличием редких, но сильных пиков в поведении индикатора структуры некой случайной величины [16].
Исследование структуры синхронизма имеет как теоретическую значимость для самой нелинейной динамики [20], так и прикладное значение, например, в вопросах биологии и медицины [23 25], стохастической финансовой математики [26] и т. д. Работа [27] по анализу «пузырящегося поведения» (bubbling phenomenon) является одной из первых, в которой была экспериментально зафиксирована перемежаемость между синхронным и несинхронным поведениями в системе связанных осцилляторов. Но при анализе этого явления временная структура синхронизма, как таковая, не исследовалась. Со временем интерес исследователей к структурным феноменам, возникающим при синхронизации хаоса, неуклонно возрастал. В настоящее время вопросы временной, пространственной и пространственно-временной структуры синхронизма активно исследуются как с теоретических (модельных) представлений [28 31], так и с позиций прикладных аспектов, например нейрофизиологии (нейробиоло-гии) [23, 32], энергетических сетей [33].
При всей актуальности проблематики количественного исследования временной структуры синхронизации нелинейных систем продвижение в этом вопросе тем не менее весьма отстает от исследования чисто пространственных паттернов синхронизации в распределенных системах. Это наглядно иллюстрируется цитированными выше работами [23,28 33]. В числе основных причин, по мнению автора, лежат две объективные трудности. Во-первых, это отсутствие единой и полной теории нелинейных динамических систем [20]. Во-вторых, при исследовании пространственных паттернов возможно широко применять как аппарат теории сетей [34], так и аппарат теории распознавания образов на изображениях (двумерных и трехмерных скалярных полях физических величин). В свою очередь, при анализе временной или пространственно-временной структуры существует проблема перехода от временных рядов
фазовых переменных к графам или образам, характеризующим перемежаемость процесса синхронизации. Не в последнюю очередь это вызвано неразвитостью соответствующего инструментария, поскольку исследователи в основном оперировали и продолжают оперировать так называемым интегральным коэффициентом синхронности изучая параметры синхронизации в «среднем». Соответственно, измерительные меры разрабатывались, как правило, в рамках этой же концепции. Заметим, что парадигма изучения систем и процессов «в среднем» широко закрепилась во многих экспериментальных науках. Причины распространения подобного подхода и его фундаментальные ограничения подробно изложены, к примеру, в обзоре [16].
В настоящей статье развивается оригинальный метод диагностики и количественного измерения характеристик режимов перемежаемости при синхронизации хаотических систем, направленный на комплексное изучение временной структуры синхронизма через исследование так называемой Т-синхрони-зации [35 37]. В основе метода лежит формализм символического СТС^-анализа, предложенного автором в работах [38, 39]. (Аббревиатура СТС^ обозначает три алфавита, которыми оперирует метод: С, Т и СЗ-) Необходимо отметить, что символическая динамика при всей своей кажущейся внешней простоте является весьма строго обоснованным инструментом анализа нелинейных динамических систем [40] и позволяет исследовать такие сложные явления в системах, как хаос, странные аттракторы, гиперболичность, структурная устойчивость, управляемость и т. п. (см., например, [40 42] и приведенные там ссылки).
В данной работе предлагается рассматривать взаимосвязь синхронных и дееннхронных доменов в комплексе. Это позволяет детально исследовать режимы перемежаемости при синхронизации хаотических систем. Кроме того, существенно переработаны положения символического СТС^-анализа: правила кодирования символов базового алфавита сформулированы в строгой и формальной форме, что позволило сформировать полный состав символов. Также предложен ряд мер для оценивания временной структуры синхронизации. В качестве изучаемого примера выбрана система логистических отображений, являющаяся, с одной стороны, эталонным объектом нелинейной динамики. С другой стороны, с учетом универсальности Фейгенбаума, многие результаты анализа этой системы распространяются па широкий класс как модельных, так и реальных объектов.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Т-СИНХРОНИЗАЦИИ ХАОТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Введем в рассмотрение траекторию динамической системы, заданную в виде дискретной последовательности (временного ряда): где фазовая переменная 8 системы имеет размерность Лг, а траектория состоит из К временных отсчетов. При этом каждому А-му отсчету может быть сопоставлен момент времени .
Определим исходное отображение, кодирующее в терминах конечного Т-алфавита [38, 39] форму п-й компоненты последовательности
,("■) _("■) _("■)
тГН
(1)
Как видно из формулы (3), символ Ткодируется в виде ТI, где I это правая часть кодов символов алфавита В свою очередь, символ кодируется через Т/1 ... /л-, см. (1). Полный алфавит кодирующий форму траектории многомерной последовательности в целом, состоит из 1/ символов.
Предположим теперь для простоты, но без потери общности, что временная последовательность К.}£=1 размерностью Лг формируется за счет объединения фазовых переменных Лг одномерных динамических систем, т. е. это значение фазовой переменной п-й системы в к-й момент времени.
Будем считать динамические системы синхронными в момент времени к, в смысле Т-синхрониза-ции [35], если выполняется условие ./д. 1, где
Строго, отображение (1) задается через соотношения:
ТО = Да. ь = 0,
Т1 = Да. н <0,
Т2 = Да. н >0,
ТЗЫ < о, Да+ < А.ч.
ТЗР < о, Да+ < о, Да+ . > Д.-- ,
Т4Ы > о, Да+ = о,
Т4Р < о, Да+ = о,
Т5Ы > о, Да+ > о, Да+ . < Д.-- ,
Т5Р > о, Да+ > А.ч.
Т6Б > о, Да+ < о, Да+ . > -Дй_
Т6 = -Дй+ > 0,
Т6Ь > о, Да+ < о, Да+ . < -Дй_
Т7Б < о, Да+ > о, Да+ . < -Дй_
Т7 = -Дй+ < 0,
Т7Ь < о, Да+ > о, Да+ . > -Дй_
Т8Ы = о, Да+ < о,
Т8Р = о, Да+ > о,
где
д „(") _ч
(п)
(2)
Графические диаграммы, иллюстрирующие геометрию символов Га^|„. для к-го отсчета и п-й фазовой переменной, приведены на рис. 1.
Таким образом, Т-алфавит включает в себя множество символов:
•Л
[1 при ГП1 =
в других случаях.
= гГ к,
(4)
Принимая во внимание возможность на
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.