МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 3 • 2015
УДК 539.14
© 2015 г. Р. В. ГОЛЬДШТЕЙН, С. В. КУЗНЕЦОВ, М. А. ХУДЯКОВ
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ МОДЕЛИ КЕЛЬВИНА-ФОЙГТА С АССИМЕТРИЧНОЙ ПРУЖИНОЙ
Исследуются демпфирующие свойства модифицированной системы Кельвина—Фойгта, характеризуемой разномодульной пружиной и вязким демпфером, при вынужденных колебаниях, вызванных гармонической силой. Решение осуществляется с помощью формализма Коши и исследования свойств фундаментальной матрицы системы. Анализируются осциллограммы, фазовые портреты и сечения Пуанкаре, отвечающие различным параметрам системы.
Ключевые слова: разномодульная пружина, колебания, модель Кельвина—Фойгта, амортизационная система.
1. Введение. Рассматриваются вынужденные колебания модифицированной модели Кельвина—Фойгта с разномодульной пружиной (жесткость пружины разная при растяжении и сжатии).
Системы с разномодульными упругими элементами исследовались в ряде работ по теории колебаний [1—4] и волновой динамике [5, 6], где было обнаружено, что в случае разномодульных пружин или упругих сред, свойства которых определяются разными модулями упругости (в большинстве континуальных моделей это относится к объемному модулю, [5, 6]), в системе при внешнем гармоническом воздействии начинают появляться колебания на частотах, отличных от частоты возмущающего воздействия. В частности, в [1—4] отмечено, что в системах с разномодульными пружинами возникают колебания как с частотами ниже внешнего гармонического воздействия (субгармонические), так и колебания с частотами, превосходящими частоту внешнего воздействия (супергармонические).
Особенности в поведении таких, а также родственных нелинейных систем [7], связанные в основном с перекачкой энергии с частот возмущающего воздействия на другие частоты и, как следствие, появление супергармонических колебаний, открывают перспективы их применения для эффективного гашения колебаний на частоте внешнего воздействия [9, 10]. В [11, 12] рассматриваются примеры виброгасителей с нелинейными характеристиками, в том числе и с разномодульными пружинами, применяемыми для демпфирования ангармонических колебаний, вызываемых биениями судовых валов и другими видами колебаний.
В настоящей работе анализ вынужденных колебаний в такой системе, по-видимому, впервые, осуществляется с помощью формализма Коши, это позволило сократить число варьируемых параметров и выявить не исследовавшиеся ранее особенности в поведении рассматриваемых систем. В частности, проведено исследование изменения осциллограмм, фазовых портретов и сечений Пуанкаре (точек фазового портрета, кратных периоду внешнего гармонического воздействия), см. [13, 14]. Обнаружено появление кластерных образований в сечениях Пуанкаре при значительной вязкости демпфирующего элемента, что характерно для биений на субгармонических частотах.
2. Основные соотношения. Математическая модель вынужденных колебаний исследуемого элемента описывается следующим уравнением движения:
mx + cx + kx = F sin (ю ft) (2.1)
где m — масса, c — вязкость демпфирования, k — жесткость пружины, F — амплитуда силового воздействия, оу — частота вынужденных колебаний. Жесткость пружины определяется кусочно-постоянной функцией
k =jko' Х > 0 (2.2) Ikí, x < о
Аналитически условие (2.2) записывается в виде
k = ко (1 + sign (x)) + ki (1 - sign (x)) (2 3)
2
Для свободных недемпфированных колебаний можно определить период колебаний системы, состоящий из двух полупериодов:
T = (2.4)
2
Соответствующая собственная частота всей системы определяется следующим выражением
ю = 2п=-4п-= ^юо^ (2.5)
T 2п/ ю0 + 2п/ ю1 ю0 + ю1
В (2.5) ю0 = J k0/ m — натуральная (недемпфированная) частота собственных колебаний элемента с пружиной, характеризуемой жесткостью k0; ю1 = ^ k1¡ m — натуральная (недемпфированная) частота собственных колебаний элемента с пружиной жесткости k1.
Критическая вязкость системы — минимальная вязкость, при которой собственные колебания уже невозможны, имеет вид
cc = 2тю (2.6)
В случае вязкости, определяемой условием (2.6), дискриминант символа уравнения (2.1) обращается в нуль (отсутствуют собственные колебания).
Введем безразмерные параметры а = k1 /k0, Z = c/c0, n = юf /ю, f = F/т. Уравнение (2.1) в терминах безразмерных параметров принимает вид
x = _ ^Юр^ x ш0 ((1 + sign (x)) + a(1 ~ sign (x))) x + fsin Г t 1 (27)
(1 + ,£) 2 t (1 + >/a) ) '
Дальнейшие преобразования уравнения (2.7) состоят во введении безразмерного времени т = ra0t, это дает
x(т) = -*т) - ((1 + sign (x» +2a (1 - sign (x»> x(T) + ro-2sin f2 T) (2.8)
(1 Wa) 2 ^(1 Wa) )
В итоге решение уравнения (2.8) определяется безразмерными параметрами: a, Z и П. Далее будем рассматривать случай, когда a < 1.
1
-1
-2
уг 0.1 * 1
-2 -1 0
x(t)
-0.1 -
-0.2 -
Фиг. 1
3. Нормальная форма Коши. Введение новой переменной О (т) = 5с (т)
позволяет представить уравнение (2.8) в нормальной форме Коши:
-151 = 0
й т1и)
+ р
(3.1)
(3.2)
О =
Р =
-1 ((1 + а) + (1 -а^п(х)} -
. 2 (1 + >/аХ
-2 . Ю0 Б1П
( 2ц40 ^ [ (1 + 40) 1
(3.3)
(3.4)
В выражении (3.3) для фундаментальной матрицы содержится переменная х. Присутствие этой переменной определяет основные нелинейные эффекты, исследуемые ниже.
4. Численное интегрирование нелинейного уравнения (3.2). Для численного анализа системы (3.2) использовали метод Рунге—Кутты 4—5 порядка. Исследуемая система зависит от пяти независимых параметров при однородных начальных условиях. Теперь остается определить, какие параметры изменяют характер движения, а какие — только масштабируют картину относительно исходной системы. За основу возьмем систему с параметрами: ю0 = 1.0, / = 1.0, а = 0.5, £ = 0.1 и п = 0.1. Эти значения отвечают субкритической вязкости и малой частоте вынуждающей силы, по сравнению с собственной частотой колебаний (параметр п).
Поведение данной системы показано на фиг. 1 (осциллограмма слева и фазовый портрет справа). Как видно из фиг. 1, система довольно быстро стабилизируется после
0
прохождения одного периода. Поскольку рассматриваемая нелинейная система разделяется на две линейные, соответствующие каждому из двух значений жесткости пружины, то каждая часть определяется своей амплитудой колебаний и своей максимальной скоростью. Нелинейность оказывает влияние на этап прохождения положения равновесия, после которого система приходит в состояние, характерное для линейной системы.
Ниже анализируется влияние каждого из безразмерных параметров на характер колебаний в системе.
4.1. Вариация амплитуды силового воздействия. На фиг. 2, а, Ь показано поведение системы при изменении амплитуды силового воздействия (осциллограммы слева, фа-
Фиг. 3
зовые портреты справа при ^) / = 0.2 и (Ь) / = 2). Анализ влияния амплитуды внешнего воздействия на осциллограммы и фазовые портреты показывает, что качественных изменений в решении не происходит: построенное решение почти линейно зависит от амплитуды внешнего воздействия.
4.2. Вариация собственной (недемпфированной) частоты одной из пружин при неизменном отношении жесткостей. На фиг. 3, a, Ь показано поведение системы при изменении собственной частоты одной из пружин (осциллограммы слева, фазовые портреты справа при (О) ю0 = 0.2 и (Ь) ю0 = 2). Анализ графиков на фиг. 3 показывает, что изменение собственной частоты одной из пружин ю0 при неизменности отношения жесткостей пружин а приводит к изменению амплитуд перемещений и скоростей, но,
Фиг. 4
в отличие от амплитуды силового воздействия, эта зависимость близка к обратно пропорциональной.
4.3. Вариация отношения жесткостей упругих элементов. На фиг. 4, а, Ь показано поведение системы при изменении отношения жесткостей пружин при ш0 = 0.2 (осциллограммы слева, фазовые портреты справа при (а) а = 0.1 и (Ь) а = 0.01). Сравнение графических данных, представленных на фиг. 4, показывает, что при уменьшении параметра а в пределах одного цикла появляются высокочастотные колебания, происходящие в те моменты, когда рассматриваемая система находится в зоне действия более жесткой пружины.
и^)
Фиг. 5
4.4. Вариация относительной частоты вынужденных колебаний. На фиг. 5 показано поведение системы при изменении относительной частоты вынуждающих колебаний (осциллограммы слева, фазовые портреты справа при = 0.02 и (Ь) п = 0.2). Фазовые портреты на фиг. 5 показывают, что относительная частота наряду с относительной жесткостью пружин являются двумя основными параметрами, влияющими на характер нелинейных колебаний.
Надо отметить, что при вынужденных колебаниях с частотой, близкой к удвоенной частоте собственных колебаний, период стабилизации увеличивается почти в два раза, см. фиг. 6, а, по сравнению с колебаниями на других частотах внешнего воздействия.
-0.5 -1.0 -1.5
-0.6 -0.7 -0.8 -0.9 -1.0 -1.1
-0.3
-0.1
-0.3 -0.1
-0.3
-0.1
-0.3
-0.1
-0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9
Л
.......ГЦ
-0.21 -0.13
(С)
-0.5
-0.7
-0.8
-0.9
-0.20 -0.12 -0.16
-0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9
-0.55 -0.60 -0.65 -0.70 -0.75 -0.80 -0.85
-0.20 -0.12 -0.16
-0.20 -0.11 -0.16
Фиг. 6
На фигурах 6 показаны (а) осциллограммы, (Ь) фазовые портреты и (с) сечения Пуанкаре при [1.8 - 2.2]. Здесь и далее на графиках по горизонтальной оси отложены значения смещений, а по вертикальной — значения скоростей.
Анализ сечений Пуанкаре на фиг. 6, Ь, с показывает, что при определенных значениях частот вынужденных колебаний сечения Пуанкаре становятся двусвязными: это свидетельствует о колебаниях со значительной амплитудой на одной из супергармонических частот. Вообще говоря, распад сечений Пуанкаре на двусвязные, или более
и^) и^)
Фиг. 7
обще, многосвязные контуры, связан с колебаниями значительной амплитуды на супергармонических частотах. Заметим, что в случае колебаний малой амплитуды на супергармонических частотах сечения Пуанкаре могут иметь сложную форму, но не распадаются на многосвязные контуры. Вопросы построения сечений Пуанкаре для уравнений, описывающих нелинейные колебательные системы, обсуждаются в [13, 14].
4.5. Вариация относительной вязкости демпфера. Поскольку вязкость довольно часто выражается в долях от
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.