РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 6, с. 582-590
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
УДК 517.9;519.6
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА НЕПЛОСКИХ ЭКРАНАХ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ СУБИЕРАРХИЧЕСКИМ МЕТОДОМ © 2015 г. М. Ю. Медведик, М. А. Москалева
Пензенский государственный университет Российская Федерация, 440026, Пенза, ул. Красная, 40 E-mail: medv@mail.ru Поступила в редакцию 10.01.2014 г.
Проведено исследование задачи дифракции электромагнитной волны на идеально проводящих тонких ограниченных неплоских экранах. Введено понятие обобщенных канонических расчетных сеток и обобщенных матриц. Подробно описан субиерархический метод. Представлены решения задач дифракции на экранах сложной формы в пространстве, полученные с применением субиерархического метода.
DOI: 10.7868/S003384941505006X
ВВЕДЕНИЕ
Решение трехмерных векторных задач дифракции на неплоских экранах сложной формы является одной из актуальных задач электродинамики. Распространенным подходом к решению рассматриваемой задачи является метод поверхностных интегральных уравнений. При применении этого метода задача сводится к интегродиф-ференциальному уравнению на экране [1, 2].
После дискретизации получается конечномерная система линейных алгебраических уравнений с плотной (заполненной) матрицей порядка 105... 106. Для решения задач дифракции на фигурах сложной формы эффективным является субиерархический метод, описание которого дано в [3, 4]. Базисные функции, используемые в методе Галеркина при решении интегродифференциаль-ного уравнения на экране введены в [5, 6]. Вопросы сходимости численных методов и другие аспекты реализации алгоритмов представлены в [7, 8].
Данное исследование является продолжением опубликованного в работе [9], где была рассмотрена задача дифракции стороннего электромагнитного поля на идеально проводящих тонких ограниченных экранах. Полученные результаты являются основой для решения более сложных задач на системе экранов и диэлектрических тел.
Задача сводится к решению векторного инте-гродифференциального уравнения [1]
где A — интегральный оператор,
Au =
= р
p (ik |x - y)
- y
■u(y)ds,
(2)
Lu: = (grad A(Divu) + k 2Aw)| = f,
(1)
Эту — касательная дивергенция на экране Здесь т — тангенциальный вектор, и — поверхностная плотность тока, к — волновое число, правая часть уравнения принадлежит пространству
Сю (О) и определяется следующим образом:
/ = 4п /к£°|. (3)
1. МЕТОД ГАЛЕРКИНА
Рассмотрим «-мерное пространство Уп с Ж. Будем проводить аппроксимации и элементами ип е Уп. Методом Галеркина находим ип из системы уравнений
(Ьиюч) = (/» Vv е у. (4)
Эти уравнения определяет конечномерный оператор Ьп:У п ^ У'п, где Уп есть антидуальное пространство к Vп.
Необходимое свойство сходимости метода Галеркина — выполнение свойства аппроксимации базисных функций. Нами используются базисные функции ф, введенные в работе [5] и представленные на рис. 1. Здесь базисная функция ф = ф1 в П1, ф = ф2 в П2, П1 и П2 — прямоугольники АСС1А1 и СВВ1С1, имеющие общее ребро СС1. Далее ф: = ф (Их), ф2 = ф (М2), е Пь М2 е П 2.
о
С,
А,
А
В,
Р2
В
Рис. 1. Базисные функции.
Функции ф, и ф2 определяются как ф! = Р\МЪ
РХМ\ АС, Р е ЛЛ1 и ф2 = Р2М2, М2Р2|| СБ, Р2 е ББ1.
В общем случае можно ожидать сходимость метода только тогда, когда подпространства Vп предельно плотны в V
уе¥п
- ^ ^ 0, п ^
да
(5)
для всех ф е X. Данное свойство называют также свойством аппроксимации (произвольный элемент из W может быть аппроксимирован элементами из подпространства Vп с любой точностью в норме IV).
2. ОБОБЩЕННЫЕ РАСЧЕТНЫЕ СЕТКИ И ОБОБЩЕННЫЕ МАТРИЦЫ
Для численного решения задачи построим расчетную сетку П^. Процесс дискретизации задачи представлен в [3, 4]. При использовании определенной расчетной сетки П^ (насколько мелкой ни была бы она) происходит наложение ограничений на выбор геометрии фигуры. Определенная расчетная сетка П^ строится под конкрет-
ную фигуру О, пусть даже фигуру канонической формы. Для того чтобы улучшить аппроксимацию границ дО для фигуры сложной геометрической формы О, добавим дополнительные носители
шрр/^ для сеточных базисных функций в расчетную сетку П№ здесь I — порядковый номер носителя, к — тип носителя. Это позволит применить субиерархический метод и для выбора сеточных базисных функций . Используя дополнительные типы сеточных базисных функ-
ч л
ций , можно лучше аппроксимировать границы фигуры дО и минимизировать число носителей
базисных функций $,\хрр/,к при выборе вектора геометрии Например, прямоугольными носителями трудно аппроксимировать круг. Для аппроксимации круга лучше подходят носители сеточных базисных функций, состоящие из треугольников (рис. 2).
Применим субиерархический метод для выбора сеточных базисных функций. Для этого построим расчетную сетку П№ позволяющую ввести
сеточные базисные функции нескольких различных типов. Будем называть подобные расчетные сетки обобщенными каноническими расчетны-
о
ми сетками П N .
Для задач дифракции на плоских экранах можно воспользоваться обобщенной канонической
о
расчетной сеткой П, представленной на рис. 3. Данная расчетная сетка является объединением треугольной и прямоугольной расчетных сеток. Например, в пространственном случае под обоб-
о
щенной расчетной сеткой П N можно понимать расчетную сетку, образованную гранями элементарных прямоугольных параллелепипедов (конечных элементов), полученных путем равномерного разбиения прямоугольного параллелепипеда канонической формы. Каждая грань элементарного
1
Рис. 2. Аппроксимация круглого экрана. 3 РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА том 60 № 6 2015
(а)
(в)
(б)
Рис. 3. Шаблоны носителей базисных функций на плоскости.
прямоугольного параллелепипеда (конечного элемента) разделена диагональными линиями на четыре треугольника.
Матрицы, составленные при использовании
о
обобщенных расчетных сеток П м, будем называть
о
обобщенными матрицами А. Конечными элемента-
о
ми обобщенной расчетной сетки П м являются прямоугольники или треугольники, параллельные одной из плоскостей декартовой системы координат и образованные горизонтальными, вертикальными или диагональными ребрами расчетной сетки.
Носитель сеточной базисной функции $,щ>р/к для
о
обобщенной расчетной сетки П м — это два несовпадающих конечных элемента, примыкающих к одному ребру, каждый из которых ориентирован вдоль одной из плоскостей декартовой системы координат. Шаблон носителей для обобщеннойрас-
о
четной сетки Пм — это совокупность всевозможных типов носителей базисных функций /к. В плоском случае обобщенная расчетная сетка — это прямоугольная расчетная сетка, каждая ячейка которой разделена на треугольники.
Рассмотрим в обобщенной расчетной сетке
о
П м, представленной на рис. 1, три типа базисных функций /¡к (к = 1, 2, 3). Первый тип (к = 1) — это
базисные функции построенные на базе шаблона носителей, состоящих только из треугольных конечных элементов. Второй тип (к = 2) — это базисные функции 2, построенные на базе шаблона носителей, которые состоят только из прямоугольных конечных элементов. Третий тип (к = 3) — это
гибридные базисные функции /¡3, построенные на базе шаблона, содержащего одновременно
Рис. 4. Обобщенная каноническая расчетная сетка П на плоскости.
N
прямоугольный и треугольный конечные элементы. Это могут быть, например, базисные "функции-крышки" (Rooftop), гибридные базисные функции [5] или базисные функции, построенные методом Рао—Уилтона—Глиссона (RWG) [6].
Шаблоны носителей для каждого из перечисленных типов базисных функций представлены на рис. 3а—3в. Обобщенный шаблон носителей для расчетной сетки, представленной на рис. 2, состоит из всех типов носителей.
Различные типы носителей fk позволяют более удобно аппроксимировать геометрию различных фигур. Прямоугольные фигуры удобнее аппроксимировать прямоугольными носителями, для треугольных фигур предпочтительнее использовать носители гибридных базисных функций. Более сложные геометрические фигуры, например круг, описывают, используя треугольные носители.
На рис. 4 представлены обобщенная расчетная
o
сетка ПN и фигура сложной геометрической формы G, построенная по этой сетке. На практике ча-
o
сто используются расчетные сетки П N, имеющие
ориентацию носителей suppfk в одном направлении (рис. 5). Алгоритм построения таких сеток более прост, однако при его использовании может возникнуть проблема аппроксимации границ фигуры. На рис. 5 справа аппроксимирована фигура, построенная на рис. 4 справа. Как видно, форму фигуры полностью восстановить не удалось, однако если уменьшить размер сетки, то можно более точно задать рассматриваемую фигуру. Справедливо следующее утверждение.
Любая геометрическая фигура О, построенная на равномерной обобщенной расчетной сетке
о
П ^, содержащей N конечных элементов вдоль одной из осей, может быть построена на равномер-
о
ной обобщенной расчетной сетке П2ш, содержащей 2N конечных элементов вдоль каждой из осей.
Рассмотрим произвольный конечный элемент
о
сетки П N, содержащей N конечных элементов вдоль одной из осей. Пусть рассматриваемый конечный элемент имеет прямоугольную форму, тогда деление его сторон на две равные части приведет к появлению четырех прямоугольных конечных элементов, которые полностью описывают исходный конечный элемент. Если рассматриваемый конечный элемент имеет треугольную форму, то подобное разбиение сетки приводит к появлению одного конечного элемента прямоугольной формы и двух конечных элементов треугольной формы, которые также более подробно описывают исходный конечный элемент.
о
Используя обобщенную матрицу А, можно эффективно решить проблему искусственной анизотропии, которая возникает при решении задачи на расчетной сетке П№ Носители этой сетки имеют выраженную ориентацию в одном направлении (рис. 5). Это приводит к появлению дополнительной погрешности при решении задачи. Обобщено
ная расчетная сетка П N позволяет эффективно решить эту проблему на этапе определения геометрии фигуры О за счет возможности выбора носителей базисных функций 8ирр/к.
Задать форм
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.