МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2013
УДК 532.11:539.3
© 2013 г. И. Н. МОИСЕЕВА, А. А. ШТЕЙН
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДАВЛЕНИЕ - ОБЪЕМ ДЛЯ ГЛАЗНОГО ЯБЛОКА ПРИ НАГРУЖЕНИИ ТОНКИМ СТЕРЖНЕМ
Решена статическая задача о нагружении глазного яблока тонким цилиндрическим стержнем, деформирующим роговицу, для получения данных о механических свойствах глаза при клиническом обследовании. Анализ проведен в рамках простой модели, рассматривающей роговицу как мягкую оболочку и учитывающей упругие свойства склеры и окружающих ее тканей посредством введения упругой связи между внутриглазным давлением и склеральной частью внутриглазного объема. Исследована зависимость внутриглазного объема от давления и веса груза, а также от упругих характеристик системы. Рассмотрена задача о связи внутриглазного давления с весом груза при постоянном объеме. Показано, что нагружение одного и того же глаза тонкими стержнями и плоскими штампами разных весов дает возможность найти при клиническом обследовании индивидуальные упругие характеристики глазного яблока и давление в ненагруженном глазу.
Ключевые слова: глаз, математические модели, оболочка глаза, внутриглазное давление, тонометрия, дифференциальная тонометрия.
В офтальмологии для оценки параметров, характеризующих механическое состояние глаза, пользуются методами, при которых к роговице прикладываются различные внешние нагрузки — статические или динамические. Чтобы расшифровать информацию, содержащуюся в деформационном отклике роговицы, и получить на основе таких измерений содержательные физические характеристики обследуемого глаза, необходимо рассматривать модели соответствующих процессов и решать механические задачи.
Основную цель измерительных процедур можно физически корректно сформулировать следующим образом. В результате механического воздействия, параметры которого известны, измеряются изменившиеся геометрические (деформационные) характеристики, например глубина прогиба роговицы под действием вдавливаемого стержня или радиус пятна ее контакта с приложенным штампом. На основе этих данных необходимо оценить внутриглазное давление, механические (в первую очередь упругие) свойства глазного яблока, а при длительном нагружении — еще и гидравлические параметры системы, связанные с притоком и оттоком внутриглазной жидкости.
В традиционной медицинской практике используются полуэмпирические оценки, зачастую приводящие к ошибочным выводам. Это связано как с неадекватностью явно или неявно применяемых простых моделей, так и с более глубокой причиной: значительным индивидуальным разбросом механических свойств глазной оболочки, не принимаемым во внимание при стандартной обработке опытных данных. Как правило, в результате такой обработки стремятся получить сведения о внутриглазном давлении (тонометрия) или гидравлических характеристиках исследуемого глаза (тоногра-фия). При этом упругие свойства глазного яблока учитываются единым образом для всех обследуемых глаз на основе статистических данных для множества людей. Между тем, как показывают современные исследования, упругие характеристики разных глаз могут различаться многократно и, помимо корреляции с возрастом, заболеванием и т.д.,
существенно зависят от неизвестных факторов, которые в совокупности можно назвать индивидуальностью. Имеются медицинские методы оценки упругости глаза: эластометрия (эластотонометрия), дифференциальная тонометрия, но все они исходят из того, что упругое поведение глазного яблока характеризуется единственной константой — по-разному определяемой "ригидностью". Однако глаз представляет собой сложную механическую систему, упругий отклик которой определяется механическими свойствами составляющих ее компонентов (роговицы, склеры и т.д.), и использование единственной интегральной упругой характеристики не позволяет достоверно рассчитать практически важные параметры.
В настоящее время основным средством математического моделирования механического поведения глазного яблока являются численные расчеты по большей части методом конечных элементов, основывающиеся на представлении тканей глаза упругими неоднородными анизотропными материалами. Понятно, что число констант, определяющих механическое поведение такой системы, оказывается очень большим. Оценки для них базируются на противоречивых данных и могут различаться на порядки. Если принять во внимание еще индивидуальные различия, становится очевидно, что такие расчеты, безусловно полезные для общего понимания механики глаза, по существу ничего не дают для решения практически важной обратной задачи нахождения по немногим косвенным измерениям совокупности параметров, определяющих механическое состояние глаза конкретного испытуемого с целью оценки его патологического состояния.
В [1, 2] разработан общий подход к анализу механики статических воздействий на глазное яблоко, позволяющий достаточно просто анализировать состояние этой системы, рассматриваемой как упругая оболочка с внутренним давлением. В результате удалось поставить задачу об оценке в простых экспериментах внутриглазного давления и интегральных упругих модулей, необходимых для интерпретации различных совершаемых над глазом процедур. Все эти характеристики могут быть найдены, если для данной процедуры известны функциональные зависимости внутриглазного объема У(р, Р) и некоторой непосредственно измеряемой геометрической характеристики деформации к(р, Р) от внутриглазного давления р и приложенной внешней силы Р (для многих процедур это вес груза). Остальные параметры, от которых зависят названные функции, определяются индивидуальными характеристиками глаза (геометрическими и упругими) и свойствами нагружающего устройства (тонометра). В каждой конкретной процедуре для конкретного глаза они — константы.
Как показано в [3], удовлетворительное согласование с эмпирическими данными достигается при моделировании роговицы мягкой оболочкой. В [4] предложено максимально простое и общее представление роговицы двумерной поверхностью, не сопротивляющейся изгибу. В той же работе предлагается учитывать остальные ткани глазного яблока (склеру и др.) как упругий элемент, реагирующий на изменение внутриглазного давления изменением объема. Объединяющая эти два допущения модель содержит всего два существенных упругих параметра. Она была использована для анализа аппланационного нагружения (широким плоским штампом). Результаты расчетов сопоставлены с данными клинических измерений.
В настоящей работе модель [4] применена для расчета функции объема У(р, Р) при другом элементарном типе нагружения — импрессионном (тонким стержнем). Математическое моделирование такого нагружения ранее не проводилось. Имеющиеся исследования выполнялись в 30-70-х годах прошлого века для тарирования тонометра Шиотца, в котором тонкий тяжелый стержень прикладывается к уже нагруженной системе (подробнее см. о тонометре Шиотца разд. 4), и базировались на эмпирических данных и полуэмпирических гипотезах [5, 6].
По рассчитанной функции объема изучен также режим нагружения при постоянном объеме, соответствующий клинической измерительной процедуре тонометрии.
Фиг. 1. Параметры, характеризующие роговицу (область оболочки глаза выше плоскости ЛБ), и схема приложения груза Р: а — общий вид передней части глазного яблока в начальном состоянии при давлении р0 (до приложения груза); б — область контакта плунжера (заштрихованное сечение) с роговицей в укрупненном масштабе; показано определение алгебраического угла ф при разных ориентациях нормали к роговице относительно оси
Показано, что совместное применение двух способов нагружения — аппланационного и импрессионного — открывает возможности для определения в клинике реальных механических характеристик индивидуального глаза.
1. Постановка задачи. Примем для вдавливаемого стержня форму и способ наложения, соответствующие плунжеру (стержню), используемому в тонометре Шиотца (фиг. 1). Это цилиндр кругового сечения с радиусом г*, сферически вогнутый в области контакта с роговицей с радиусом кривизны вогнутого участка гр (гр > г*), прикладываемый к роговице симметрично (при нагружении оси симметрии стержня и роговицы совпадают). Предполагаем, что радиус г* достаточно мал, чтобы в области контакта не произошло отрыва поверхности стержня от поверхности роговицы, как это имеет место при аппланационной тонометрии (широким штампом) [4].
Полагаем, что в некотором начальном состоянии при распирающем внутреннем давлении р0 роговица имеет форму сферического сегмента радиуса Ке (фиг. 1, а) с половиной угла раствора фе, а в дальнейшем она остается осесимметричной. В области свободной роговицы вне контакта с приложенной нагрузкой уравнения равновесия мягкой оболочки в предположении малых деформаций с учетом конечности смещений имеют вид [3, 4]
Здесь независимым параметром считается 5 — длина дуги образующей в ненагружен-ном состоянии, отсчитываемая от ее пересечения с осью симметрии (-феКе < 5 < феКе); Т и Т2 — касательные усилия в меридиональном и перпендикулярном к нему направлениях, г — расстояние точки поверхности, представляющей роговицу, от оси, ф — угол между направлениями нормали к этой поверхности и оси симметрии (фиг. 1, б). Угол ф
(гТ )' - Т^ф = 0 -Т^зтф - гоф'Т] + X г0 р = 0 г' = X С ОБ ф
(1.1)
(1.2) (1.3)
Г0 = Л^тф0, Ф0 =-5-, Х = 1 + ЕЬ Е2 = г - 1
Ке г0
(1.4)
считается положительным, если нормаль направлена во внешнюю относительно оси сторону (фиг. 1, б). Функции r0(s) и 9o(s) — значения функций r(s) и ф(я) при начальной сферической конфигурации (фиг. 1, а). В этой конфигурации усилия T1 и T2 равны между собой и определяются формулой T1 = T2 = T0 = p0Rc/2.
В предположении свободного проскальзывания в области контакта груза и роговицы система (1.1)—(1.4) остается справедливой и в этой области, за исключением проекции уравнения равновесия на нормальное к роговице направление (1.2), которая теперь должна включать силу нормальной реакции, действующую со стороны груза. Если распределением силы реакции не интересоваться, уравнение (1.2) можно не рассматривать и просто заменить его геометрической связью
sin ф = — (1
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.