МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <6 • 2008
УДК 532.516
© 2008 г. А. В. НОВОШИНЦЕВ, Г. Р. ШРАГЕР, В. А. ЯКУТЕНОК
ИСТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ИЗ ЕМКОСТЕЙ С УЧЕТОМ ФОРМИРОВАНИЯ СТРУИ
Представлены результаты численного моделирования медленного течения вязкой жидкости со свободными границами при сливе из емкостей с учетом формирования струи. Математическая постановка сформулирована в приближении ползущего движения. Использован численный алгоритм решения задачи для плоского случая на основе непрямого варианта метода граничных элементов. В результате параметрических исследований определены эволюция свободной границы внутри сливной емкости и формы струи в зависимости от определяющих параметров. Выявлены режимы истечения с быстрым образованием воронки и с формированием пленки на стенках емкости. С помощью анализа размерностей показано существование асимптотического режима истечения, что подтверждено результатами расчетов.
Ключевые слова: вязкая жидкость, свободная поверхность, истечение, струя, метод граничных элементов.
Истечение жидкостей из емкостей широко реализуется в различных отраслях производства. В частности, при использовании метода свободного литья при переработке полимерных материалов в текучем состоянии осуществляется слив жидкости с последующим заполнением пресс-формы. При сливе жидкости эволюция свободной поверхности в емкости характеризуется образованием воронки с возможным прорывом газа в пресс-форму. Попадание газа в заполняемый объем приводит к образованию дефектов в монолитности изделия, поэтому возникает необходимость контроля времени достижения фронтом свободной поверхности плоскости сливного отверстия и определения остатков массы жидкости в емкости в этот момент. Кроме того, эволюция формируемой на выходе струи и ее устойчивость также представляют интерес в целях правильной организации процесса.
В большинстве работ, посвященных исследованию истечения жидкости из емкостей, рассматриваются невязкие, либо маловязкие жидкости. Известны попытки оценки остатков массы жидкости в емкостях при истечении высоковязкой жидкости в приближении пленочного течения [1-5]. Результаты численного и экспериментального исследований истечения высоковязкой жидкости из осесимметричных емкостей представлены в [6-7].
В данной работе проводится математическое моделирование слива высоковязкой жидкости из емкостей с учетом формирования струи и возможности создания избыточного давления, либо разряжения в сливной емкости. Отсутствие закрученности потока при образовании воронки в данном случае объясняется быстрым затуханием где-либо возникающего возмущения вследствие высокой вязкости жидкости. Задача формулируется в плоской постановке с использованием ньютоновской реологической модели.
1. Постановка задачи. Основу математического описания течений вязкой жидкости составляют уравнения Навье-Стокса совместно с уравнением неразрывности. В случае медленных течений высоковязкой жидкости (Яе ^ 1) нестационарными и конвек-
\ \ \ Фиг. 1. Область течения О
тивными слагаемыми в уравнениях Навье-Стокса можно пренебречь. В плоской постановке в поле силы тяжести такие течения описываются уравнениями
ё+р* = 0 г' * = 1' 2
(1.1)
1гдн: ди■
Су = - р5, + 2 ц^,, е, = 1- ^ ш + ^
J 1
где Су - компоненты тензора напряжений, х* - декартовы координаты, р - плотность жидкости, * - компоненты вектора силы тяжести, р - давление, 5* - символы Кроне-кера, ц - коэффициент динамической вязкости, е* - компоненты тензора скоростей деформаций, и1 - компоненты вектора скорости.
К уравнениям (1.1) присоединяется уравнение неразрывности
д и-
=Н = 0 (1.2)
д х
Область течения О, имеющая границу Г = и Г^ и Г2, представлена на фиг. 1, где Г - верхняя свободная поверхность, на которую действует давление рх, Г2 - нижняя свободная поверхность с величиной внешнего давления р2, Г^ - стенки сливной емкости. Характерные геометрические параметры: Н - начальная высота заполнения, Ь -
длина сливного насадка, Я - полуширина сливного насадка, 01, 02 - углы раствора сливной емкости. На твердых стенках Г^ задаются условия прилипания
и1 = 0 (1.3)
Граничные условия на свободных поверхностях Г1 и Г2 заключаются в отсутствии касательных напряжений и равенстве нормального напряжения внешнему давлению
г; = -Р\п;, б Г1; г; = -р2щ, е Г2 (1.4)
где г; = а^Пу, г; - компоненты вектора поверхностной силы, п; - компоненты вектора внешней нормали к свободной поверхности, р1, р2 - величины внешнего давления на верхней и нижней свободных поверхностях Г1 и Г2.
В начальный момент времени свободные поверхности Г1 и Г2 имеют горизонтальную форму. Дополнительно свободная граница подчиняется кинематическому условию, записанному как (г - время)
-Х;
-Х =и; а5)
Для перехода к безразмерным переменным в качестве масштабов длины, скорости и давления используются величины Я, |Ар|Я/ц и |Др|, где Ар = р1 - р2, при этом введены безразмерные переменные по соотношениям
. х; . ц ,, |Дрк , р - Р2 . ац
Х; = и. = Г";-^ и;, г = ¡—^ г, р = , , 3:: = Г-1-.
; я ; |Ар|Я ; ц |Др| 1 |Ар|
Уравнение (1.1) с сохранением прежних обозначений для безразмерных переменных представляется в форме
да;:
¡Г-У + W ; = 0
дХ: (1.6) ^ = W2 = - Щ
В уравнении (1.6) можно избавиться от постоянного слагаемого, испо л 1>зуя потенциал вида ф = WjХj. В таком случае (1.6) примет вид
Щ = °' 1 = 1'2 (1.7)
где а у = -(р - ф)5у + 2г:.. Далее под величиной давления понимается его модифицированное значение (р - ф). Соответственно изменятся граничные условия (1.4) на Г и Г2, которые выражаются следующими формулами
г; = -(± 1 + Wx2)п; х> е г,
; 2 ; ; 1 (1.8)
г; = —Wx2n; х> е Г2
при этом в случае рх > р2 ^ Ар > 0 в условиях (1.8) необходимо использовать +1, напротив, в случае рх < р2 ^ Ар < 0 следует принять -1.
Уравнение (1.2) и граничное условие (1.3) в безразмерных переменных вида не меняют. Таким образом, математическая формулировка задачи включает уравнения (1.2), (1.7) при заданных граничных условиях (1.3), (1.5), (1.8).
2. Метод расчета. Система линейных уравнений (1.2), (1.7) для случая единичной сосредоточенной силы, действующей вдоль координатной оси I и приложенной в точке £,имеет вид
А и,- - V р , = 5( х - £)
(2.1)
V • и, = 0 ( )
где 5(х - £) - дельта-функция Дирака. Дифференцирование производится по координатам точки х, при этом точка £ рассматривается как параметр. Фундаментальное решение системы (2.1) согласно [8]
х'£) = -4П
5..ДЩ11 + УУ'
(2.2)
р,( Х'£) = -2Л- -2
г (2.3)
7(Х!- £)2 + (Х2- £2)2
где и.(х, £) - фундаментальное решение для компонент вектора скорости и,(х), Р ,(х, £) - фундаментальное решение для давления р(х), у, = х, - £,, г - расстояние между точкой наблюдения и точкой приложения нагрузки, £ , - декартовы координаты точки приложения нагрузки. Из (2.2), (2.3) следует, что фундаментальное решение для компонент вектора усилий Т.х, £) определяется формулами
Т.(х, £) = УуууП (2.4)
пг
Методика, предложенная в [9], позволяет перейти к интегральной формулировке задачи. Скорости и,(х) и усилия г,(х) в любой точке х области решений О можно найти сверткой фундаментальных сингулярных решений (2.2), (2.4) с неизвестными заранее функциями ф,(£)
и,- (х) = | и .( х,£)ф. (£) ¿Г(£) (2.5)
Г
г,(х) = |Т.(х, £)ф.(£)Щ£) (2.6)
Г
Система интегральных связей (2.5), (2.6) - точное решение задачи. Однако интегрирование в аналитическом виде и разрешение относительно фиктивных источников ф,(£) оказывается затруднительным и приходится пользоваться численными методами.
Для этого граница области Г разбивается на N прямолинейных отрезков (граничных элементов) и считается, что значение функции ф,(£) постоянно в пределах граничного элемента. Тогда (2.5) и (2.6) при х ^ х0 (х0 6 Г) приобретают вид
N
(хр) = X ф.(£а) | и .(хр, £а)Щ£а) (2.7)
а = ! АГе
N
г,(хр) = X ф.(£а) | Т.(хр, £а)^Г(£а) (2.8)
а =! АГа
Р п
где х0 - произвольная точка граничного элемента с номером Р, называемая узлом,
£а - точка приложения нагрузки. В качестве узлов выбраны середины граничных эле-
Фиг. 2. Процесс истечения жидкости под действием положительного перепада давления: Ь = 1, ©! = 02 = 30°, Н = 4.6, а - W = 0.1, б - W = 0.5, в - W = 4.0
ментов. Интегралы в уравнениях (2.7), (2.8) вычислены аналитически, как это показано в [10].
Последовательность форм свободных поверхностей находится с использованием кинематического условия (1.5).
Методические исследования показали, что использование данного подхода с применением разностных схем 2-го порядка типа предиктор-корректор для нахождения последовательности форм свободной поверхности наиболее оптимально для течений, характеризуемых быстрым воронкообразованием. Напротив, применение соотношения (1.5) для течений, когда свободная поверхность Г1 достаточно долго сохраняет горизонтальную форму, приводит к вычислительным трудностям, связанным с концентрацией расчетных узлов свободной границы вблизи оси симметрии. В таком случае более эффективно использование кинематического условия (1.5) в форме [11]
йх; = и„Н1й1, X 6 Г! иГ2
При этом почти равномерное распределение расчетных узлов на свободной поверхности сохраняется. Однако такой подход приводит к появлению пилообразной неустойчивости в поведении свободной поверхности, устранимой при использовании специальных сглаживающих алгоритмов, предложенных в [12].
3. Результаты численного исследования. Характер течения и эволюция свободных границ при сливе из емкостей определяется величиной безразмерного комплекса W = pgR|\Аp\, знаком перепада давления Ар, углами 0:, 02 и безразмерной высотой заполнения Н.
Фиг. 3. Режим течения прир < 0, Ж < Ь = 1, 01 = 02 = 30°, Н = 4.0, Ж = 0.24
Результаты расчетов, изображенные на фиг. 2, иллюстрируют характер течения и эволюцию свободных границ при сливе жидкости из емкости с плоскостью симметрии х1 = 0 для различных значений Ж в случае положительного перепада давления Ар > 0. Здесь и далее картина течения рассматривается до момента времени, когда фронт свободной границы Г1 достигает сечения сливного насадка. В рассматриваемом диапазоне изменения параметра Ж, при прочих равных условиях, реализуется течение
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.