ИСТОРИЯ ФИЛОСОФИИ
История понятия бесконечности от Античности до Николая Кузанского
И.В. ЛОЩИЦ
В статье предпринята попытка изложить историю понятия бесконечности от древнегреческих философов и учёных до Николая Кузанского, а также проследить, каким образом трансформация теологического и философского понимания бесконечности могла подготовить почву для рождения новой науки в XVl-XVII вв.
The paper attempts to provide the history of the concept of infinity from the ancient Greek philosophers and scientists to Nicholas of Cusa and observe how the transformation of theological and philosophical understanding of infinity could pave the way for the birth of the new science in the XVI-XVII centuries.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: бесконечность, Бог, метафизика, теология, математика, Николай Кузанский.
KEY WORDS: infinity, God, metaphysics, theology, mathematics, Nicholas of Cusa.
Бесконечность - одно из наиболее сложных и при этом востребованных понятий в истории человеческой мысли. К нему обращались и продолжают обращаться самые разные, зачастую чуждые, иногда даже враждебные друг другу области знания, такие как философия, наука, религия, математика. Через данное понятие перечисленные сферы могли влиять друг на друга, заимствовать основополагающие интуиции и парадигмы мышления, обмениваться средствами решения своих проблем. В настоящей статье будут рассмотрены различные варианты понимания бесконечности у античных и средневековых учёных и философов, и отдельно - у Николая Кузанского как центральной фигуры между Средневековьем и Новым временем.
Ниже понятие бесконечности будет употребляться по отношению, во-первых, ко времени и пространству (или материи) - их протяжённости или делимости, во-вторых, количеству, например, количеству чисел или вещей в мире, и, в-третьих, к качеству, например, бесконечному могуществу или благости. С самого начала следует обозначить различие между потенциальной и актуальной бесконечностью1. Потенциальную бесконечность проще всего представить как то, у чего нельзя найти конца или предела, что никогда не завершено, так как всегда возможно его превзойти (отсюда определение "потенциальное"): например, какое бы число мы ни взяли, всегда можно будет указать на большее.
© Лощиц И.В., 2014 г.
Потенциальная бесконечность - это возможность "идти дальше" в смысле увеличения или деления, это не определённая величина и не сущность, а принципиально не завершаемый процесс, каждый этап которого представляет собой нечто конечное. Напротив, актуальная бесконечность завершена, уже полностью дана в действительности (отсюда определение "актуальное"), это то, что принципиально не может быть превзойдено. Так, актуально бесконечным будет весь ряд натуральных чисел, взятый как математическая определённость.
Античность
Представление о бесконечности в той или иной форме можно встретить у большинства древнегреческих философов. Анаксимандр говорил о бесконечном первоначале (греч. й арепоп - безграничное, беспредельное), из которого происходят и в которое возвращаются мир и все вещи в мире (фр. А9); см.: [Фрагменты 1989]. Вселенная античных атомистов бесконечна: в беспредельном пустом пространстве бесконечные по числу и разнообразию атомы образуют бесчисленные миры [Лурье 1970, 207]. По Анаксагору (фр. В1), все вещи возникают из бессчётного числа до бесконечности делимых подобочаст-ных, которые приводит в движение ничем не ограниченный Ум (фр. В12). В пифагорейской школе беспредельное рассматривалось как одно из противоположных начал, от соединения которых образуются космос и все вещи в нём (Филолай, фр. В1). Здесь следует отметить, что одна из главных интуиций греческой философии связывала бытие и познание с такими категориями, как форма, мера и предел. В греческом сознании беспредельное соответствовало бесформенному, бесструктурному, несовершенному и сближалось с хаосом - в противоположность ограниченному и упорядоченному космосу. Поэтому в пифагорейской таблице противоположностей беспредельное находится на стороне тьмы, злого и кривого (Пифагорейская школа, фр. В5).
Можно привести и другие примеры учений, где бесконечность либо играет роль первоначала, либо выступает характеристикой величины вселенной и количества сущих в ней. Однако в этих учениях мы встречаем пока ещё не отрефлексированное представление о бесконечности, почти никто из названных философов, насколько можно судить по дошедшим текстам, не пытался закрепить его на понятийном уровне, то есть продумать до конца, каким образом бесконечность вообще возможна. Впервые такие попытки были предприняты в Элейской школе.
Единое бытие Парменида определённо и завершено, оно похоже на "глыбу совершенно-круглого Шара" (фр. В8, 43), - это положение можно интерпретировать и как утверждение предела в смысле отрицания бесконечности. На наш взгляд, здесь скорее следует говорить о попытке дать наглядный образ, указывающий на актуальную бесконечность. Действительно, в соответствии с принципом тождества бытия и мышления, беспредельное, будучи немыслимым, у Парменида фактически сводится к небытию: "сущему нельзя быть незаконченным" (фр. В8, 32). Между тем это не означает конечности бытия: оно не определено никакими внешними границами, то есть чем-то иным, ведь нет ничего, кроме него; но бытие определено в смысле своей завершённости и полноты, ограничено внутри себя самим собой. Именно в этом смысле неограниченности чем-то иным Мелисс позднее объявит бытие беспредельным (фр. В 2-5). И у Парменида, и у Мелисса мы находим атрибуты актуальной бесконечности: бытие едино и единственно в смысле отсутствия для него иного, но при этом закончено, совершенно (= завершено) благодаря своей самоопределённости.
Платон позднее показал неоднозначность, возможную несостоятельность понятия такого актуально бесконечного единого. В диалоге "Парменид", при рассмотрении первой гипотезы ("единое едино") он приходит к выводу, что если единое определено только своим единством и не имеет в себе или вне себя ничего иного, то оно не может быть познаваемо и нигде не существует, и абсолютное полагание единого приравнивается к его абсолютному отрицанию [Платон 2006, 353]. Также и иное, положенное абсолютно, беспредельное и лишённое всякого единства, не может быть ничем, даже многим [Там же,
5
131
398-399]. Бытие и познание возможны только при соединении единого и многого, предела и беспредельного; само по себе беспредельное Платон определяет как не-сущее.
С другой стороны к той же проблеме подошёл Зенон Элейский: в ряде своих апорий он показал, как допущение бесконечности приводит к невозможности мыслить движение и множество. Эти апории можно считать началом научной рефлексии над данной проблемой. Так, в "Дихотомии" и "Ахиллесе" допускается, что пространство состоит из бесконечного числа всегда далее делимых частей (в "Стреле" - из бесконечного числа неделимых точек), и поэтому невозможно преодолеть какое-либо расстояние за конечный промежуток времени (фр. А 25-26). Хотя Зенон и не доказывает здесь противоречивость самого понятия бесконечности, он ставит вопрос, попытки ответа на который определили взгляды позднейших мыслителей на проблему бесконечности.
Одним из вариантов решения этой проблемы в отношении физических тел была атомистика Левкиппа - Демокрита, то есть признание предела делимости материи. Вот как Аристотель воспроизводит ход мысли Демокрита, опирающийся на принцип запрета на регресс в бесконечность: ".. .поскольку тело делимо повсюду, допустим, что оно разделено. Что же останется? Величина? Это невозможно, так как тогда осталось бы что-то неразделенное, тело же, [как было сказано], делимо повсюду. Но если не останется ни тела, ни величины, а будет [только] деление, то тело будет состоять либо из точек и его составные части окажутся не имеющими протяжения, либо вообще будет ничем, так что получится, что оно возникло и составлено из ничего и целое будет не чем иным, как видимостью" [Аристотель 1981, 386]. Неясно, правда, каким образом Демокрит объяснял явное противоречие в утверждении о неделимости атомов, ведь атом - это объёмное тело, а протяжённость подразумевает возможность дальнейшего деления. Так или иначе, атомисты признавали, как было сказано, экстенсивную бесконечность пространства и количества сущих, но отрицали интенсивную бесконечность, то есть бесконечность в отношении делимости тел.
Сам Аристотель решил этот вопрос противоположным образом: он отрицал существование бесконечного тела, так как иначе нарушались бы основные принципы его науки о движении [Аристотель 2007, 60-63]. При этом для обоснования своей кинематики он ввёл принцип непрерывности, который оказался востребованным в науке Нового времени [Гайденко 2011, 65-88]. Пространство и время - континуумы, они состоят не из простых элементов, но из всегда далее делимых частей. Помимо интенсивной бесконечности Аристотель частично допускает экстенсивную, а именно бесконечность времени и числового ряда. Всё это примеры потенциально бесконечного, которое само по себе конечно, но не может быть пройдено до конца: "бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, а взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным" [Аристотель 2007, 63]. Аристотель, как и Платон, соотносит бесконечное с лишённостью и материей, оно не есть законченное целое, не имеет никаких определений, а потому непознаваемо: "бесконечное есть материя для завершенности величины и целое только в возможности, а не в действительности. Поэтому оно и не познаваемо, как бесконечное, ибо материя [как таковая] не имеет формы" [Там же, 66].
То, что аристотелевская физика не признавала существование актуально бесконечного, соответствовало принципам других областей греческой науки, прежде всего математики: "Наше рассуждение, отрицающее актуальность бесконечного в отношении увеличения, как не проходимого до конца, не отнимает у математиков их теории: ведь они не нуждаются в таком бесконечном и не пользуются им" [Там же, 67]. Действительно, античные математики работали только с потенциальной бесконечностью: прямые и плоскости мыслились ими всегда
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.