МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА <3 • 2008
УДК 531.38
© 2008 г. Ю.В. БОЛОТИН, А.В. ДЕРЕВЯНКИН, А.И. МАТАСОВ
ИТЕРАЦИОННАЯ СХЕМА КАЛИБРОВКИ БЛОКА АКСЕЛЕРОМЕТРОВ ПРИ ПОМОЩИ ГАРАНТИРУЮЩЕГО ПОДХОДА
Методы калибровки блока акселерометров обычно опираются на достаточно жесткие требования к знанию ориентации ускорения силы тяжести относительно блока (порядка долей угловой минуты). Однако не всегда можно рассчитывать на такие высокие точности в знании ориентации. В работе рассматривается один общий подход к калибровке блока акселерометров, для реализации которого достаточно довольно грубой угловой информации (порядка десятков угловых минут). При помощи гарантирующего подхода рассчитаны оптимальные планы калибровочных экспериментов и предложена итерационная схема калибровки.
1. Модель блока акселерометров. Одним из основных чувствительных элементов инерциальной навигационной системы является блок акселерометров [1, 2]. При существующих технологиях изготовления и установки чувствительные элементы обладают погрешностями, недопустимо ухудшающими точность функционирования навигационных систем; вследствие этого их необходимо калибровать. Рассмотрим блок из трех акселерометров, каждый из которых имеет модель общепринятого вида
А' = (1+ k,)Aia + dAi0 + 5A,, i = 1, 2, 3 (1.1)
где А' - показание i-го акселерометра, Aia - проекция на ось чувствительности i-го акселерометра удельной силы, действующей на его чувствительную массу, k¡ - постоянная ошибка масштабного коэффициента, dAi0 - постоянное смещение, 5A¡ - флуктуацион-ная (непараметрическая) ошибка i-го акселерометра.
Амплитуда флуктуационной (непараметрической) ошибки 5A¡ слишком велика для
высокоточной калибровки. Для ее уменьшения вместо исходных сигналов A' рассматривают их осредненные значения. Тогда постоянный полезный сигнал, представляющий собой параметрическую часть модели акселерометра, останется без изменений, а высокочастотный сигнал уменьшится практически до нуля. Итоговая величина, в основном характеризующая остаточную нестабильность электромеханической схемы акселерометра, будет иметь существенно меньшую амплитуду. Будем предполагать, что указанное осреднение уже проделано и об ошибке 5A¡ известно лишь, что
|5A¡| <5Amax (1.2)
где 5Amax - известная величина. Рассмотрим строительную (ортогональную правую) систему координат Op 1p2p3, по осям которой (в идеале) должны быть установлены акселерометры. Одна из типичных схем расположения маятниковых акселерометров такова (фиг. 1): ось подвеса маятника первого (продольного) акселерометра параллельна оси Op2, ось подвеса маятника второго (бокового) акселерометра параллельна оси Opb а ось подвеса маятника третьего (вертикального) акселерометра также лежит в плоскости Op1p2, но составляет угол в 45° с осью Op1. Далее при калибровке будем пренебрегать удалением чувствительных масс акселерометров от начала координат O строительной системы.
рз
Фиг. 1
Обозначим через а, I = 1, 2, 3, единичный направляющий вектор оси чувствительности г-го акселерометра. Из-за неидеальности установки акселерометров по строительным осям вектор аг неколлинеарен оси Ор. Пусть проекции единичных векторов аг на оси Ор1р2р3 имеют вид
/-2-2 Т
а1 = ч 1- ^12 - ^13.^12.^13 )
Т
Т (1.3)
a2 = (PsW1- М<21- ^23' ^23)
I-2-Г т
a3 = (M31'^32W 1- М31 - ^32)
где величины ц - < 1, г Ф}, описывают малые углы несоосности осей чувствительности со строительными осями, а знак "Г" означает транспонирование.
Обозначим через Ар = (А1р, А2р, А3р)Т вектор удельной силы в проекциях на оси строительного трехгранника Ор 1р2р31. Тогда вектор проекций удельной силы на оси чувствительности акселерометров имеет вид
A1a (Ap' fl1)
A2a = (Ар, a2 ) = a Ap
A3a ) V( ap' a3) )
/ \
Vi- 2 ^12- 2 ^13 ^12 V13
= ^21 k- vh- V23
V ^31 ^32 J1- v21- ^ )
(1.4)
1 Согласно второму закону Ньютона, эта удельная сила равна разности между абсолютным ускорением чувствительной массы и гравитационным ускорением в точке расположения чувствительной массы. При статических испытаниях удельная сила равна ускорению силы тяжести, взятому с обратным знаком.
Фиг. 2
Введем тройки чисел
Л' = (Л'1, Л'2, Л'3)Т, йЛ0 = (йЛ10, йЛ20, йЛ30)т, 5Л = (5Лх, 5Л2, 5Л3)т Тогда с учетом соотношений (1.1), (1.3), (1.4) матричная модель блока примет вид
Л' = ТарЛр + ¿Л0 + 5Л
T =
ap
1 + k1 v
12
'13
"21
"3i
1 + k 2 v
23
32
1 + k3
(1.5)
(1.6)
1 + ki = (1+ ki у 1- ц?2- ^23, Vi2
1+ k 2 = (1+ k2 )л/1-^21-^23, V21
(1+ k 1 )^12, v13 = (1+ k1 )Ml3 (1+ k 2 )^21, V23 = (1+ k2 )^23
(1.7)
1 + k 3 = (1+ k3)V 1-^21-^22, V3.1 = (1 + k3)M3.1, V32 = (1 + k3)^32
Введем углы Аа12, Аа13, Аа23 взаимных перекосов осей чувствительности акселерометров следующим образом. Рассмотрим плоскость Оа1а2, образованную первой и второй осями чувствительности акселерометров (фиг. 2). В плоскости Оа1а2 проведем ось
Оа*, перпендикулярную к Оа1 и составляющую острый угол с осью Оа2. Угол Аа12
определяется как угол между осями Оа* и Оа2, отсчитываемый от Оа* к Оа2. Остальные углы Аа13, Аа23 определяются аналогично.
Очевидно, что для углов взаимных перекосов имеют место формулы
(a1, а2) = cos (п/2- Да12) = sinДа12 ~Да12- (Да12) /6
3
(а1, а3) = cos (п/2- Да13) = sinДа13 ~Да13- (Да13) /6
(1.8)
(a2, а3) = cos (п/2- Да23) = sinДа23 = Да23- (Да23) /6
В дальнейшем будем полагать, что неизвестные безразмерные параметры k¡, |J.y, dAi0/g много меньше единицы, и поэтому членами высших порядков можно пренебрегать.
Таким образом, матричная модель блока акселерометров имеет вид (1.5)—(1.7), где
k¡, задаваемые (1.7), близки к ошибкам масштабных коэффициентов, а суммы V¡j + Vj¡, также определяемые (1.7), близки к углам взаимных перекосов осей чувствительности.
2. Основное калибровочное соотношение. Информация о векторе Ар = (А1р, А2р, А3р)Т в принципе доступна через измерения углов поворотного стола (или через показания си-нусо-косинусных трансформаторов (СКТ), определяющих взаимные углы поворотов рамок карданового подвеса) в предположении о точной ориентации основания поворотного стола (или основания карданового подвеса) по осям местного географического трехгранника. Однако ошибки в знании углов поворотного стола (или показаний СКТ) и погрешности угловой выставки основания стола (или угловой выставки моноблока) могут достигать десятков угловых минут. При этом использование информации об ориентации поворотного стола (или показаний СКТ) для определения компонент вектора Ар в исходной формуле (1.5) приводит к слишком большим ошибкам в вычислении значения Ар и мешает непосредственно воспользоваться этой формулой. Поэтому получим следствие формулы (1.5), которое существенно менее чувствительно к ошибкам в знании ориентации блока.
2.1. Вывод основного соотношения. Пусть в месте проведения испытаний истинное значение модуля ускорения силы тяжести равно g, и пусть £ - приближенная информация о £ такая, что
£ ' = £ + Д£, Д£/£ < 1 (2.1)
(в рассматриваемом случае достаточно знать £ с точностью 10-4£ ~ 100 мГал). Поделим соотношение (1.5) на известную скалярную величину Тогда с учетом формулы (2.1) получим
А- = Тар{ А V ¿П + ^ + 5А = Та/ {1-ДП + е + £А
£ ар\ £ ) £ £ ар £ (2.2)
е = (£1, £2, £э)Т = йА0/£, пР = (пр, пр, пр) = Ар/£, ||яР|| = 1
Вектор пР есть единичный вектор удельной силы, заданный своими проекциями на оси строительной системы координат Ор1р2р3. Будем в дальнейшем называть его вектором ориентации блока акселерометров или просто вектором ориентации.
Пусть имеется приближенная информация об ориентации строительной системы координат Ор1р2р3 относительно географического трехгранника, начало которого расположено в точке проведения испытаний. Эта информация вычисляется по датчикам углов поворотного стола (или показаниям СКТ углов крена, тангажа и курса) в предположении об идеальной выставке соответствующего основания по осям географического
трехгранника. Обозначим указанный информационный образ Ор1р2р3 через Ор1 р2р3, а вектор ориентации в проекциях на оси Ор1 р2р3 - через п. Так как ориентация Ор1 р2р3 известна точно, то п = (п1, п2, п3)Т известен точно. Пусть поворот строительной системы координат Ор1 р2р3 относительно Ор1 р2р3 определяется неизвестным вектором малого поворота ф = (ф1, ф2, ф3)Т, порожденным суммарной неточностью в знании углов поворотного стола и погрешностью в выставке его основания по осям географического трехгранника (или суммарной неточностью в знании углов поворота рамок карданового подвеса и погрешностью в знании ориентации моноблока). Тогда с точностью до членов третьего порядка малости относительно величины угла имеем:
р
n = (I + ф + Ф) n, ||я|| = 1
ф = (ф1, ф2, фз)Т, ф =
0 фз -ф2 Л
-фз 0 ф1 ф2 -ф1 0
1 Т Т С2-3)
ф = 2(фф - ф фI)
Введем матрицу X = Тар - I. Умножим слева соотношение (2.2) на п1 и заменим в нем
пр на н по формуле (2.3). Тогда, пренебрегая членами третьего порядка малости относительно неизвестных величин к\, VI, е, ф; и перенося единицу в левую часть, придем к основному калибровочному соотношению
пТ - 1 = пТ {X - 'Щ/) п + пТ е + ^гет( п) (2.4)
где остаточный член выражается формулой
ЛГ , ч nT5A т^ т„ Ag tv„ сч
Nrem(n) = —— + n Фп - n Xn—7 + n Xфn (2.5)
g'g'
Подчеркнем, что формулы (2.4), (2.5) не содержат линейных относительно неизвестного угла ф членов, так как nT ф n = 0. Именно поэтому ими удобнее пользоваться, чем исходным соотношением (1.5). В соотношении (2.4) скалярная величина nT(A'/g'), информация о модуле ускорения силы тяжести g' и компоненты вектора n известны точно, так как их значения однозначно определяются по измерениям.
В соотношении (2.4) происходит переход от векторной информации A к некоторому ее скалярному следствию nT(A'/g'). Отметим, что при этом информация по существу не теряется, так как оставшаяся ее часть слишком зашумлена и поэтому практически не пригодна для использования.
Пусть |5A;| < 5Amax (см. (1.2)) и | ki | < kmax, |Vy| < Vmax, |Ag/g'| < Agmax/g', ф < фтах. Тогда нетрудно подсчитать, что остаточный член Nrem ограничен известной величиной:
|^rem(n)| < Nmax = Тз^р + (2vmax + kmax)^73фтах + ^ ] + 3ф^ах
Выставляя бло
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.