ПИСЬМА В АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 40, № 6, с. 416-425
УДК 523.947
ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕСИММЕТРИЧНЫХ КОРОНАЛЬНЫХ АРОК
© 2014 г. Н. С. Петрухин*
Национальный исследовательский университет, Высшая школа экономики Поступила в редакцию 24.06.2013 г.
Исследуются собственные колебания корональных арок с постоянной плотностью и переменными магнитными полями, изменяющимися по параболическим законам. С помощью разработанного авторами метода получены волновые уравнения с постоянными коэффициентами, описывающие изгибные колебания симметричных и несимметричных магнитных трубок. Для таких моделей получены аналитические выражения для спектров и амплитуд колебаний, а также величины и направления смещений экстремумов основной и первой мод относительно их значений для однородных трубок. Для первой моды несимметричной петли определена зависимость смещения координаты внутреннего узла от соотношений величин магнитного поля в несимметричных частях, а также отношение значений амплитуды в точках экстремумов.
Ключевые слова: безотражательные волны, магнитозвуковые волны, корона, корональные петли, изгибные колебания.
DOI: 10.7868/S0320010814060072
ВВЕДЕНИЕ
Поперечные смещения в корональных магнитных арках, зафиксированные лабораторией TRACE, были первым волновым явлением, явно наблюдаемым в короне (Ашванден и др., 1999; Накаряков и др., 1999). Эти колебания были интерпретированы как основная мода стоячих изгибных волн в магнитных трубках. Позднее были обнаружены моды первого и не вполне уверенно более высоких порядков (Вервихт и др., 2004; Ван Доорселар и др., 2007; ОШии др., 2007). Поперечные возмущения, распространяющиеся вдоль магнитного поля, наблюдались также в фибриллах (Окамото и др., 2007) и хромосферных спикулах (Де Понтье и др., 2007).
Обнаружение колебаний арок сделало тематику корональной гелиосейсмологии одной из самых актуальных в солнечной астрофизике. Появилось множество теоретических работ, в которых предлагались симметричные модели арок и для этих моделей проводились расчеты, в основном численные или приближенные аналитические, с целью изучения свойств таких колебаний (см. обзоры, Андриес и др., 2009; Рудерман, Эрдели, 2009; Степанов, др., 2012; Де Мортель, Накоряков, 2012). Следует отметить статью Дымовой, Рудермана (2006), в которой получены аналитические решения для модели
Электронный адрес: npetruhin@hse.ru
с постоянным магнитным полем и плотностью, заданной в параболической форме. В работах (Верт, 2007; Верт, Ердели, 2008) численно и аналитически исследованы колебания корональной петли с постоянной плотностью, в которой магнитное поле задано квадратичной функцией.
В данной работе рассматриваются модели ко-рональных арок с постоянной плотностью и переменным магнитным полем, которое также, как и в работе (Верт, Ердели, 2008), меняется по параболическим законам. Для симметричной модели получено уточненное выражение для спектра изгибных колебаний, а также найдены простые аналитические выражения смещений экстремумов амплитуды первой моды.
Кроме того, рассмотрены модели корональных петель, в которых магнитное поле несимметрично относительно их вершин. В основу работы легли результаты наших недавних исследований, в которых было показано, что в сильно неоднородной среде могут существовать бегущие волны, которые не отражаются на неоднородностях. Математический прием получения таких решений связан с трансформационными преобразованиями аргументов и функций, при которых, например, волновое уравнение с переменными коэффициентами при определенных ограничениях сводится к уравнениям гиперболического типа с постоянными
коэффициентами, так что существование безотражательных бегущих волн становится очевидным. В частности, это проделано нами для внутренних и поверхностных волн в несжимаемой жидкости (Талипова и др., 2009), для вертикально распространяющихся акустических волн в неоднородных сжимаемых атмосферах Земли и Солнца (Петру-хин и др., 2011, 20^^^), а также для быстрых магнитозвуковых волн в корональных петлях (Ру-дерман и др., 2013).
БЕЗОТРАЖАТЕЛЬНЫЕ ИЗГИБНЫЕ
ВОЛНЫ В МАГНИТНЫХ ТРУБКАХ
Исследуем быстрые магнитозвуковые изгибные волны, распространяющиеся вдоль тонкой магнитной трубки. В общем случае предполагается, что невозмущенные параметры изменяются только вдоль трубки. Исследования показали (Ван До-орселар и др., 2009), что искривление с радиусом кривизны, характерным для корональных петель, оказывает слабое влияние на дисперсионные соотношения изгибных волн, поэтому будем считать трубку прямолинейной, расположенной вдоль оси ог. Таким образом, плотность плазмы можно определить соотношением
Р
рг; т<К (г), Ре; т>Е (г).
Здесь Е(г) — поперечный радиус трубки, рг и ре — плотность плазмы внутри и вне трубки соответственно, в данной работе постоянные величины. На границе трубки с окружающей средой должно выполняться условие равновесия
В2 В2
— + Д = — +Ре, 8тг 8тг '
д2п 2, . д2п дг2 У ' дг2
0,
где и = поперечное смещение трубки и
с(г) =
В
Л/2и(рг+ре)
скорость изгибной волны.
Уравнение (4) содержит переменный коэффициент с2(г), поэтому в общем случае его решение описывает процесс трансформации падающей волны в проходящую и отраженную на неоднород-ностях среды, и не распадается на два независимых решения, соответствующих бегущим волнам в противоположных направлениях. Существование невзаимодействующих встречных волн тривиально в случае уравнения с постоянными коэффициентами, поэтому важно найти преобразования, приводящие уравнение (4) к уравнению с постоянными коэффициентами. Основная идея такого метода обсуждалась в наших работах (Петрухин и др. 2011, 20^,б,в; Рудерман и др., 2013). Показано, что в результате этих преобразований волновое уравнение (4) приводится к виду
д 2Ф д2 Ф ^ - = /ЗФ,
дг
2
дт2
где
Ф(1,т)=и(1,г)/л/Щ,т(г) = ^
йг
Ф)
(6)
(7)
(1)
и в — произвольная постоянная. Уравнение (6) в переменных Ф(г,т) описывает бегущие в противоположных направлениях невзаимодействующие волны с дисперсионным соотношением
ш2 = к2 - в,
(8)
(2)
где Вге, Рг,е — напряженность магнитного поля и газовое давление, соответственно, внутри и вне трубки. Так как в корональной плазме выполняется неравенство ву8ж -С 1 (Ашванден, 2005), то из соотношения (2) следует
Ве ~ Вг ~ В. (3)
В работах (Спруит, 1981; Дымова, Рудерман, 2006; Рудерман и др., 2008) показано, что в такой трубке распространение изгибных волн описывается волновым уравнением
(4)
(5)
где ш — частота волны, а к — волновое число относительно новой координаты т. При этом функция с(г) должна удовлетворять, в частности, условию
с = М (г + N )2 + в/М, (9)
где М и N — произвольные константы. Модели корональных трубок, которые описывает уравнение (9), можно разделить на два вида. Первый, в котором М > 0, а следовательно, и в > 0, соответствуют параболе, ветви которой направлены вверх. В этом случае скорость с(г) с высотой падает. Второй случай (М < 0, а следовательно, и в < 0) описывает семейство парабол с направленными вниз ветвями. При таких параметрах скорость изгибной волны с(г) с высотой растет. В данной работе рассмотрен первый случай.
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИММЕТРИЧНОЙ ПЕТЛИ С ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ
Используя формулу (9), построим модели солнечных корональных петель, состоящих из параболических безотражательных профилей для скорости изгибных волн. Мы рассматриваем только ту часть трубки, которая находится над фотосферой. Замыкание магнитных силовых линий происходит в
плотных подфотосферных слоях. Как известно, на высоте фотосферы происходит резкое изменение плотности, поэтому будем считать этот уровень жесткой отражающей границей для изгибных волн, распространяющихся в корональной петле. Выберем ось ог вдоль трубки длиной 2Ь с началом координат в ее середине. Вначале рассмотрим симметричную модель с положительными значениями М и в .В этом случае N = 0. Обозначая с(г = 0) = = со, с(г = ±Ь) = сг и а = сг/с0, получаем
с = Cq
Полагая
Р — с0 L2 ■
Ф = ф(т )еш1,
L
) с0л/(ск - 1)
х arctg — lj
а для нечетных мод
г[т = т (L)] = 0, г[т = т (0)]=0. (18)
Удовлетворяя граничным условиям (17)—(18), получаем спектр собственных изгибных колебаний трубки
= \/(а-1)
n2
4
у (arctg л/а — 1)^ n = 1, 2,...
п2
(19)
(10)
(11)
(12)
получаем обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
(fi Ф
+ = (13)
Функция r(z), определяющая поперечные смещения трубки, связана с решением уравнения (13) соотношением
г = [ф)]1/2 R(z)tp(z) = p~h(z). (14)
Учитывая, что плотность в данной работе считается постоянной, переменные ф и r с точностью до постоянного множителя совпадают, поэтому общее решение уравнения (13) можно записать в виде
г[т (z)] = A вт(кт) + D сов(кт), (15)
где A и D — произвольные постоянные и к — волновое число, удовлетворяющее дисперсионному соотношению (8). Новая переменная т связана с физической координатой z формулой (7) и для рассматриваемого профиля изгибной скорости (10) определяется в явном виде
Здесь 0,п = шп/ш0, шп — собственная частота колебаний п-ой моды и ш0 = пс0/2Ь — частота основной моды в однородной трубке длиной 2Ь, изгибная скорость которой равна с0. Значение параметра а, равное единице, соответствует среде c постоянной скоростью с. В этом случае либо плотность плазмы и магнитное поле постоянны, либо они изменяются, компенсируя друг друга. Собственные функции для собственных частот можно записать в виде:
rn -
An cos Dn sin
im arctg (-
L)
2 arctg \/a — 1
(20)
(16)
Вследствие симметрии задачи относительно начала координат, граничные условия можно задать на одном из концов трубки, например, при г = Ь ив ее середине (т.е. при г = 0). Для основной моды, а также для всех мод с четным числом узлов, полагаем
йг
г[т = т(Ь)}= 0, — [т = т(0)]=0, (17)
п = 1, 3,... п = 2, 4,...
где Ап и Бп — произвольные константы. Верхние выражения в фигурных скобках соответствуют четным модам, а нижние — нечетным.
Важными характеристиками при использовании результатов теоретических исследований в гелио-сейсмологии являются знак и величина отклонения экстремумов амплитуд колебаний в сред
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.